41
1 :n
x
A
x t
n t
t
q v
∑
− =
+
=
1 1
Sehingga persamaan 2.36 dapat ditulis menjadi :
x n
n x
x n
x
q v
q v
vq A
1 2
1 :
...
−
+ +
+ =
Akan dibuktikan bahwa :
1 :n
x
A
n x
n x
a a
v
: :
− =
Bukti :
1 :n
x
A ...
1
1 2
2 x
n x
n n
x x
x
p p
v p
p v
p v
− +
+ −
+ −
=
− x
n n
x n
n x
x x
p v
p v
p v
p v
vp v
− +
+ −
+ −
=
−1 2
2 2
... ...
...
2 2
1 2
x n
n x
x x
n n
x
p v
p v
vp p
v p
v v
+ +
+ −
+ +
+ =
−
... ...
1
2 2
1 x
n n
x x
x n
n x
p v
p v
vp p
v vp
v +
+ +
− +
+ +
=
−
x n
t n
t t
t x
t t
p v
p v
v
∑ ∑
− =
=
− =
1 1
1 :n
x
A
n x
n x
a a
v
: :
− =
b. Asuransi Seumur Hidup
Asuransi berjangka relatif sederhana dan murah preminya rendah. Akan tetapi bila jangka waktu sudah habis maka tertanggung tidak memperoleh apapun
dari perusahaan asuransi. Bila tertanggung mempunyai keinginan mengasuransikan dirinya terus menerus maka dia harus membeli polis baru karena
kontraknya sudah selesai. Pembelian polis baru akan memakan biaya yang relatif PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
mahal mengingat usianya yang semakin bertambah tua sehingga peluang meninggal makin tinggi. Asuransi seumur hidup merupakan solusi tepat untuk
mengatasi situasi tersebut, karena lebih murah dan praktis dibandingkan dengan asuransi berjangka yang bersambung. Uang santunan asuransi claim dalam
asuransi seumur hidup pasti akan dibayar oleh perusahaan tanpa mempedulikan kapan tertanggung meninggal.
Misalkan
x
A menyatakan nilai tunai atau premi tunggal bersih dari asuransi seumur hidup sebesar Rp.1 bagi seseorang yang berusia
x
. Bila seseorang berusia
x
meninggal, maka kepada pewarisnya akan dibayarkan Rp.1 pada akhir tahun orang tersebut meninggal. Dengan cara yang sama pada asuransi berjangka, maka
nilai tunai seluruh pembayaran tiap tahunnya adalah :
=
x
A
x w
x w
x x
x x
l d
v l
d v
l d
v
1 1
2
...
+ −
+
+ +
+
2.38
x t
x w
t t
x
q v
A
∑
− =
+
=
1
Komutasinya didapat dari mengalikan persamaan 2.38 dengan
x x
v v
, yaitu :
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
+ +
+ =
+ −
+ x
x x
w x
w x
x x
v v
l d
v d
v vd
A
1 1
2
...
=
x x
w w
x x
x x
l v
d v
d v
d v
1 1
2 1
...
+ +
+ +
+ +
+
x w
x x
D C
C C
+ +
+ =
+
...
1
43
x x
x
D M
A =
2.39
Contoh 2.4. Tono pada saat berusia 50 tahun, membeli polis asuransi jiwa dengan claim
sebesar Rp.50.000.000,00
4 =
i
jika : a
Tono membeli polis asuransi berjangka selama 15 tahun. Dengan menggunakan persamaan 2.37 maka besar premi yang harus dibayarkan
adalah :
Rp.50.000.000,00
=
1 15
: 50
A
Rp.50.000.000,00
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
−
50 65
50
D M
M
=
Rp.8.773.969,98 b
Tono membeli polis asuransi seumur hidup. Dengan menggunakan persamaan 2.39 maka besar premi yang harus dibayarkan adalah :
Rp.50.000.000,00
=
50
A
Rp.50.000.000,00
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
50 50
D M
=
Rp.21.946.654,15
Selain dengan komutasi, persamaan 2.38 dapat juga dinyatakan dalam bentuk anuitas.
Akan dibuktikan bahwa :
x
A
x x
a a
v −
=
Bukti : PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
44
Jika
x n
q
∑
− =
=
1 1
|
n t
x t
q maka persamaan 2.38 dapat dinyatakan dengan :
x x
w x
w x
x x
x
q v
q v
q v
vq A
| ...
|
1 2
3 2
− −
−
+ +
+ +
= Selanjutnya diperoleh berikut :
x
A
... 1
2 2
+ −
+ −
=
x x
x
p p
v p
v
+
x x
w x
x w
x w
p p
v
− −
− −
−
1 x
x w
x w
x x
w x
w x
x x
p v
p v
p v
p v
vp v
− −
− −
−
− +
+ −
+ −
=
1 2
2 2
... ...
...
2 2
1 2
x x
w x
w x
x x
x w
x w
x
p v
p v
vp p
v p
v v
− −
− −
−
+ +
+ −
+ +
+ =
... ...
1
2 2
1 1
2 2
x x
w x
w x
x x
x w
x w
x x
p v
p v
vp p
v p
v vp
v
− −
− −
− −
+ +
+ −
+ +
+ =
x x
w t
x w
t t
t x
t t
p v
p v
v
∑ ∑
− −
= −
=
− =
1 1
x
A
x x
a a
v −
=
2. Asuransi Jiwa dengan Pembayaran Premi Tahunan
