14
B. Percepatan Mortalita Forces of Mortality
Pada tabel mortalita, nilai
x
l
hanya menggambarkan keadaan suatu kelompok untuk
x
bilangan bulat. Pada prakteknya selama perjalanan waktu nilai
x
tidak hanya bilangan bulat. Sehingga dapat dinyatakan bahwa
x
l
adalah fungsi kontinu. Pada interval usia
x
sampai
1 +
x
banyak orang yang meninggal
x
d
adalah
1 +
−
x x
l l
dan
x x
x x
x x
l l
l l
d q
1 +
− =
=
. Sedangkan untuk interval usia
x
sampai
t x
Δ +
banyak orang yang meninggal adalah
t x
x
l l
Δ +
−
, sehingga peluang meninggalnya adalah :
x t
x x
x t
l l
l q
Δ +
Δ
− =
Jika persamaan diatas dibagi dengan
t Δ
, maka didapatkan tingkat mortalita yaitu :
x t
x x
x t
tl l
l t
q Δ
− =
Δ
Δ +
Δ
2.7 Dengan
→ Δt
maka persamaan 2.7 disebut sebagai percepatan mortalita forces of mortality yang didefinisikan berikut :
t q
x t
t x
Δ =
Δ →
Δ
lim
μ
x t
x x
t
tl l
l Δ
− =
Δ +
→ Δ
lim
t l
l l
x x
t x
t
Δ −
− =
Δ +
→ Δ
lim
15
x
μ
dt dl
l
x x
1 −
=
2.8
atau dapat juga dinyatakan dengan :
dt l
d
x x
ln −
=
μ
2.9
dt l
d
x x
. ln
μ −
=
Kemudian diintegralkan dari 0 sampai
x
yaitu :
dt l
d
x t
x t
∫ ∫
− =
ln
μ
]
dt l
x t
x t
∫
− =
ln
μ
∫
− =
−
x t
x
dt l
l ln
ln
μ
∫ =
−
x t
dt x
e l
l
μ
Sehingga diperoleh berikut :
∫ =
−
x t
dt x
e l
l .
μ
2.10 Jika persamaan 2.8 dinyatakan dengan :
x x
x
dl dt
l −
=
μ
maka untuk usia t
x + dengan
,... 3
, 2
, 1
= t
persamaan diatas menjadi : PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
t x
t x
t x
dl dt
l
+ +
+
− =
μ
2.11 atau dapat dinyatakan dengan :
dt dl
l
t x
t x
t x
+ +
+
− =
μ
2.12
Jika
1 +
− =
x x
x
l l
d
maka dengan menggunakan definisi Integral Riemann diperoleh
∫
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛−
= −
+ +
1 1
dt dl
l l
t x
x x
dt
∫
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛−
=
+ 1
dt dl
d
t x
x
dt
2.13 Kemudian substitusikan persamaan 2.12 ke 2.13 sehingga diperoleh :
∫
+ +
=
1
dt l
d
t x
t x
x
μ
2.14
Jika
x x
x
l d
q =
maka didapat :
x t
x t
x x
l dt
l q
∫
+ +
=
1
μ
dt p
q
t x
x t
x +
∫
=
μ
1
2.15
Untuk
1 n
persamaan 2.15 menjadi :
dt p
q
t x
n x
t x
n +
∫
=
μ
Persamaan 2.11 dapat juga dinyatakan dengan : PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
dt dl
l
t x
t x
t x
+ +
+
− =
1
μ
dt p
d p
x t
x t
1 −
=
dt p
d
x t
ln −
=
dt l
l d
x t
x
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
− =
+
ln
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
− =
+ +
x t
x t
x
l l
d dt
ln
μ
Kemudian diintegralkan dari 0 sampai
n
yaitu :
∫ ∫
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
− =
+ +
n x
t x
n t
x
l l
d dt
ln
μ
n x
t x
l l
ln ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎣
⎡ ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ −
=
+
x x
x n
x
l l
l l
ln ln
+ −
=
+
x n
x
l l
+
− = ln
dt
n t
x
∫
+
μ
x n
p ln
− =
2.16
Sehingga diperoleh :
∫ =
+
−
n t
x
dt x
n
e p
μ
2.17 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
dan
∫ −
=
+
−
n t
x
dt x
n
e q
1
μ
2.18
C. Tabel Penyusutan Jamak Multiple Decrement Table