Percepatan Mortalita Forces of Mortality

14

B. Percepatan Mortalita Forces of Mortality

Pada tabel mortalita, nilai x l hanya menggambarkan keadaan suatu kelompok untuk x bilangan bulat. Pada prakteknya selama perjalanan waktu nilai x tidak hanya bilangan bulat. Sehingga dapat dinyatakan bahwa x l adalah fungsi kontinu. Pada interval usia x sampai 1 + x banyak orang yang meninggal x d adalah 1 + − x x l l dan x x x x x x l l l l d q 1 + − = = . Sedangkan untuk interval usia x sampai t x Δ + banyak orang yang meninggal adalah t x x l l Δ + − , sehingga peluang meninggalnya adalah : x t x x x t l l l q Δ + Δ − = Jika persamaan diatas dibagi dengan t Δ , maka didapatkan tingkat mortalita yaitu : x t x x x t tl l l t q Δ − = Δ Δ + Δ 2.7 Dengan → Δt maka persamaan 2.7 disebut sebagai percepatan mortalita forces of mortality yang didefinisikan berikut : t q x t t x Δ = Δ → Δ lim μ x t x x t tl l l Δ − = Δ + → Δ lim t l l l x x t x t Δ − − = Δ + → Δ lim 15 x μ dt dl l x x 1 − = 2.8 atau dapat juga dinyatakan dengan : dt l d x x ln − = μ 2.9 dt l d x x . ln μ − = Kemudian diintegralkan dari 0 sampai x yaitu : dt l d x t x t ∫ ∫ − = ln μ ] dt l x t x t ∫ − = ln μ ∫ − = − x t x dt l l ln ln μ ∫ = − x t dt x e l l μ Sehingga diperoleh berikut : ∫ = − x t dt x e l l . μ 2.10 Jika persamaan 2.8 dinyatakan dengan : x x x dl dt l − = μ maka untuk usia t x + dengan ,... 3 , 2 , 1 = t persamaan diatas menjadi : PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 16 t x t x t x dl dt l + + + − = μ 2.11 atau dapat dinyatakan dengan : dt dl l t x t x t x + + + − = μ 2.12 Jika 1 + − = x x x l l d maka dengan menggunakan definisi Integral Riemann diperoleh ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− = − + + 1 1 dt dl l l t x x x dt ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− = + 1 dt dl d t x x dt 2.13 Kemudian substitusikan persamaan 2.12 ke 2.13 sehingga diperoleh : ∫ + + = 1 dt l d t x t x x μ 2.14 Jika x x x l d q = maka didapat : x t x t x x l dt l q ∫ + + = 1 μ dt p q t x x t x + ∫ = μ 1 2.15 Untuk 1 n persamaan 2.15 menjadi : dt p q t x n x t x n + ∫ = μ Persamaan 2.11 dapat juga dinyatakan dengan : PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 17 dt dl l t x t x t x + + + − = 1 μ dt p d p x t x t 1 − = dt p d x t ln − = dt l l d x t x ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = + ln ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = + + x t x t x l l d dt ln μ Kemudian diintegralkan dari 0 sampai n yaitu : ∫ ∫ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = + + n x t x n t x l l d dt ln μ n x t x l l ln ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = + x x x n x l l l l ln ln + − = + x n x l l + − = ln dt n t x ∫ + μ x n p ln − = 2.16 Sehingga diperoleh : ∫ = + − n t x dt x n e p μ 2.17 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 18 dan ∫ − = + − n t x dt x n e q 1 μ 2.18

C. Tabel Penyusutan Jamak Multiple Decrement Table