Maka dapat diperoleh:
[ ,
; ]
∙
[ ,
; ] = [
∙
,
∙
; ]
, dan
∙
=
⋃
[
∙
,
∙
; ]
2.22
d. Untuk setiap
[ 0,1]
dan , diperoleh:
∙
=
⋃
[ ,
; ]
, jika 2.23
Misalkan
= ,
=
, untuk semua
[ 0,1]
, maka 2.23 dapat menjelaskan 2.22.
Sama halnya −
=
⋃
[
−
,
−
; ]
2.24 Misalkan
= ,
=
, untuk semua
[ 0,1]
, maka 2.24 dapat menjelaskan 2.20.
2.7 Metode Signed Distance
Signed distance dari ke 0 dimana
, 0
didefinisikan sebagai
, 0 =
. Jika , jarak dari ke 0 adalah
, 0 =
. Jika , jarak dari ke 0 adalah
−
, 0 =
− . Hal inilah yang menjadi alasan mengapa
, 0
diberi istilah
signed distance dari ke 0.
Dengan teorema dekomposisi, ,
≤ ≤
1
, dapat didefinisikan sebagai:
=
⋃
[ ,
; ]
2.25
1
x
Gambar 2.3 -cut Himpunan Fuzzy
Universitas Sumatera Utara
Untuk setiap
[ 0,1]
, signed distance dari interval
[ ,
]
ke 0 dapat didefinisikan sebagai:
[ ,
], 0 = [
, 0 + , 0 ]
= [
+ ]
2.26
Untuk setiap
[ 0,1]
, interval crisp
[ ,
]
dan interval fuzzy
[ ,
]
level adalah korespondensi satu-satu. Maka secara umum signed distance dari
[ ,
; ]
ke dapat didefinisikan sebagai:
[ ,
], 0 = [
, ] , 0
= [
+ ]
2.27
Hal ini merupakan fungsi kontinu dari pada ≤ ≤
1
. Nilai rata-rata diperoleh dari integrasi. Jadi, jika
=
⋃
[ ,
; ]
dan , maka
dari 2.25 dan 2.27 signed distance dari ke dapat didefinisikan sebagai:
, 0 =
∫
[ +
]
2.28
Universitas Sumatera Utara
BAB 3
PEMBAHASAN
3.1 Formulasi Model Persediaan dengan Backorder dalam Bentuk Fuzzy
3.1.1 Total Permintaan dan Persediaan Maksimum dalam Bentuk Fuzzy
Pada setiap periode perencanaan persediaan, sangat sulit menentukan nilai pasti untuk total permintaan. Sebaliknya, akan lebih mudah untuk membuat total
permintaan dalam interval
[
− ∆
, +
∆
]
, dimana ∆
, 0
∆ dan ∆
,
∆ ditentukan oleh pengambil keputusan.
Misalkan adalah bilangan yang diketahui. Pengambil keputusan ingin memilih nilai yang sesuai pada interval
[
− ∆
, +
∆
]
sebagai taksiran yang tepat dari total permintaan. Hal ini terjadi ketika nilai yang dipilih tepat sama dengan dan
tingkat error adalah 0. Jika nilai menyimpang jauh dari pada kedua sisi , maka tingkat error akan lebih besar. Tingkat error akan mencapai maksimum pada kedua
titik ujung − ∆ dan
+
∆ .
Dengan pendekatan teori fuzzy, tingkat error dapat diubah ke tingkat yang bisa dipercayai. Jika tingkat error adalah 0, maka tingkat yang bisa dipercayai adalah
1. Semakin jauh nilai menyimpang dari kedua sisi , maka semakin rendah tingkat yang bisa dipercayai. Tingkat yang bisa dipercayai akan semakin minimum pada
kedua titik ujung − ∆ dan
+
∆ .
Jadi bersesuaian dengan interval
[
− ∆
, +
∆
]
, total permintaan di setiap periode perencanaan persediaan dapat ditulis dalam bentuk fuzzy number:
=
− ∆
, , +
∆
, 0
∆
, 0
∆ 3.1
Universitas Sumatera Utara
Nilai keanggotaan pada adalah 1. Semakin jauh titik pada
[
− ∆
, +
∆
]
menyimpang dari kedua sisi , maka semakin rendah nilai keanggotaannya. Jadi nilai yang sesuai dapat dibuat di antara nilai keanggotaan dan tingkat yang bisa
dipercayai. Hal inilah yang menjadi alasan untuk membuat nilai sebagai fuzzy number pada 3.1.
Dengan teorema dekomposisi, ,
≤ ≤
1
, dapat didefinisikan sebagai:
=
⋃
[ ,
; ]
3.2
Dengan persamaan 3.1, titik ujung kiri dan titik ujung kanan dari ,
≤ ≤
1
, dapat didefenisikan sebagai:
=
−
1
− ∆
=
− ∆
+
∆
= + 1
− ∆
= +
∆ − ∆
3.3
Demikian juga halnya dalam menentukan nilai pasti untuk jumlah
persediaan di setiap periode perencanaan persediaan, akan lebih mudah untuk membuat jumlah persediaan dalam interval
[
− ∆
, +
∆
]
, dimana ∆
, 0
∆ dan ∆
,
∆ ditentukan oleh pengambil keputusan.
Jadi bersesuaian dengan interval
[
− ∆
, +
∆
]
, jumlah persediaan di setiap periode perencanaan persediaan, dapat ditulis dalam bentuk fuzzy number:
=
− ∆
, , +
∆
, 0
∆
, 0
∆ 3.4
Dengan teorema dekomposisi, ,
≤ ≤
1
dapat didefinisikan sebagai:
=
⋃
[ ,
; ]
3.5
Dengan persamaan 3.4, titik ujung kiri dan titik ujung kanan dari ,
≤ ≤
1
, dapat didefenisikan sebagai:
=
−
1
− ∆
=
− ∆
+
∆
= + 1
− ∆
= +
∆ − ∆
3.6
Universitas Sumatera Utara
3.1.2 Total Biaya Persediaan dalam Bentuk Fuzzy
Dengan menggunakan persamaan 3.1 dan 3.4, untuk yang diberikan, maka total biaya persediaan pada 2.6 dapat ditulis dalam bentuk fuzzy sebagai:
, =
∙
+
∙ −
+
∙ 3.7
dimana
= ,
= ,
=
, adalah titik fuzzy pada
, j = 1, 2, 3 dan adalah titik fuzzy pada q.
Dengan persamaan 2.22, ,
≤ ≤
1
dapat didefinisikan sebagai:
=
⋃
[ ,
; ]
3.8
Dengan menggunakan operasi fuzzy pada 3.7, 2.22, dan dengan 3.5
~
3,8, dimana ,
= 1, 2, 3
dan , diperoleh:
∙
=
⋃
, ;
3.9
Dengan menggunakan signed distance method, ∙
didefuzzifikasi sehingga diperoleh:
∙
, 0 =
∫
+ =
∫
[
−
1
− ∆
] + [ + 1
− ∆
] =
∫
[
− ∆
+
∆
] + [ +
∆ − ∆
] =
∆
− ∆
+
∆ −
∆
+
∆ − ∆
=
∆
− ∆
+
∆ −
∆
+
∆ − ∆ −
∆
− ∆ −
∆
+
∆
=
∆
−
∆
− ∆ −
∆
+
∆
+
∆
=
∆
− − ∆
−
∆
−
+
∆
=
∆
− −
3
∆
+ 3
∆ − ∆ −
∆
−
+ 3
∆
+ 3
∆
+
∆
Universitas Sumatera Utara
=
− ∆
+
∆
+ +
∆
+
∆
=
− ∆
+
− ∆ ∆
+
∆
+ +
∆ −
+
∆ ∆
+
∆ 3.10
Dengan persamaan 2.24, −
, ≤ ≤
1
didefinisikan sebagai: −
=
⋃
[
−
,
−
; ]
3.11
dimana untuk setiap
[ 0,1]
: −
=
− −
1
− ∆
=
− − ∆
+
∆ ≥ − − ∆
−
=
−
+ 1
− ∆
=
−
+
∆ − ∆
3.12
Dengan persamaan 3.4 pengambil keputusan mengambil nilai ∆
dan ∆
yang sesuai dan memenuhi kondisi ∆
, 0
∆ − , sehingga diperoleh:
− −
untuk semua
[ 0,1]
3.13
Dari persamaan 3.11, 3.13, dan 2.22, −
, ≤ ≤
1
dapat didefinisikan sebagai:
−
=
⋃ −
,
−
;
3.14
Dengan menggunakan operasi fuzzy pada 3.7, 2.22, dan dengan 3.11
~
3.14, dimana ,
= 1, 2, 3
dan , diperoleh:
∙ −
=
⋃ −
,
−
;
3.15
Dengan menggunakan signed distance method, ∙
− didefuzzifikasi
sehingga diperoleh: ∙
−
, 0 =
∫ −
+
−
=
∫
[
− −
1
− ∆
+
−
+ 1
− ∆
] =
∫
[
− − ∆
+
∆
] + [
−
+
∆ − ∆
] =
∆
− − ∆
+
∆ −
∆
−
+
∆ − ∆
Universitas Sumatera Utara
=
∆
− − ∆
+
∆ −
∆
−
+
∆ − ∆ −
∆
− −
∆ −
∆
−
+
∆
=
∆
− −
∆
− − ∆
−
∆
−
+
∆
−
+
∆
=
∆
− −
− − ∆
−
∆
− −
−
+
∆
=
∆
− −
− −
3
− ∆
+ 3
− ∆
− ∆ −
∆
− −
−
+ 3
− ∆
+ 3
− ∆
+
∆
=
− −
− ∆
+
∆
+
−
+
− ∆
+
∆
=
− − ∆
+
− − ∆ ∆
+
∆
+
−
+
∆ −
−
+
∆ ∆
+
∆ 3.16
Dengan menggunakan operasi fuzzy pada 3.7, 2.22, dan dengan 3.2, 3.3, dimana
,
= 1, 2, 3
, dan , diperoleh:
∙
=
⋃
, ;
3.17
Dengan menggunakan signed distance method, ∙
didefuzzifikasi sehingga diperoleh:
∙
, 0 =
∫
+ =
∫
[
−
1
− ∆
+ + 1
− ∆
] =
∫
[
− ∆
+
∆
+ +
∆ − ∆
] =
− ∆
+
∆
+ +
∆ −
∆
=
− ∆
+
∆
+ +
∆ − ∆ 3.18
Universitas Sumatera Utara
Dengan menggunakan signed distance method, total biaya persediaan pada 3.7 didefuzzifikasi dan diperoleh 3.10, 3.16, 3.18, sehingga total biaya
persediaan dapat ditulis dalam bentuk fuzzy sebagai:
, = ,
, 0 =
− ∆
+
− ∆ ∆
+
∆
+ +
∆ −
+
∆ ∆
+
∆
+
− − ∆
+
− − ∆ ∆
+
∆
+
−
+
∆ −
−
+
∆ ∆
+
∆
+
− ∆
+
∆
+ +
∆ − ∆
=
−
2
∆
+
∆
+
∆ − ∆
+
∆
+ + 2
∆
+
∆ −
∆
+
∆
+
∆
+
−
+
∆
+
∆ − ∆
− ∆
+
∆
+
− − ∆
− ∆ − ∆
+
∆
+
∆
+ 2
− ∆
+
∆
=
− ∆
+
∆
+ +
∆
+
∆ −
2 +
∆
+ +
∆
+
∆
–
∆ − ∆
+
∆
+
−
2
− ∆
+
− ∆ − ∆
–
∆
+
∆
+
∆
+ 2 +
∆ − ∆
= 2
+
∆ − ∆
+
∆
+
∆
+
−
2
− ∆
+ +
∆
+
∆
+
−
2 +
∆
+
− ∆
+
∆
+ 2 +
∆ − ∆
= 2
+
∆ − ∆
+
∆
+
∆
+ 2
−
[ 4 +
∆ − ∆
] + 2
+
∆ − ∆
+
∆
+
∆
+ 2 +
∆ − ∆ 3.19
3.2 Solusi Optimal dalam Bentuk Fuzzy
Tujuan yang ingin dicapai adalah menentukan nilai dan
yang dapat meminimumkan
,
. Untuk memperoleh nilai optimal bagi dan , maka
,
pada 3.19 diturunkan secara parsial terhadap dan terhadap kemudian menyamakannya dengan nol.
Universitas Sumatera Utara
, =
−
2 +
∆ − ∆
+
∆
+
∆
+ 2
−
2 +
∆ − ∆
+
∆
+
∆ −
2 +
∆ − ∆ 3.20
, = [ 4 +
∆ − ∆
] +
−
4 + +
∆
−
∆
3.21
Dari persamaan 3.20,
, = 0
, maka diperoleh: −
2 +
∆ − ∆
+
∆
+
∆
+
2
2
−
2 +
∆ − ∆
+
∆
+
∆ −
2 2 +
∆ − ∆
= 0
−
2 +
∆ − ∆
+
∆
+
∆
+ 2
2
−
2 +
∆ − ∆
+
∆
+
∆ −
2 2 +
∆ − ∆
= 0
3.22
2
−
+ 2
+
∆ − ∆
+
∆
+
∆ −
4
− ∆ − ∆
= 0
Dari persamaan 3.21,
, = 0
, maka diperoleh:
[ 4 +
∆ − ∆
] +
−
4 + +
∆
−
∆
= 0 [ 4 +
∆ − ∆
] +
−
4 + +
∆
−
∆
= 0 4
+
∆ − ∆ −
4 + 4
+
∆ − ∆
= 0 4
+ 4 +
∆
+
∆ − ∆ −
∆ −
4 = 0
4 +
+ +
∆ − ∆ −
4 = 0
3.23
Dari persamaan 3.23 diperoleh:
= 4 +
∆ − ∆ 3.24
Nilai pada 3.24 disubstitusi ke 3.22 sehingga diperoleh:
2 4 +
∆ − ∆ −
+ 2
+
∆ − ∆
+
∆
+
∆ −
4
− ∆ − ∆
= 0
Universitas Sumatera Utara
16 + 8
∆ − ∆
+
∆ − ∆ −
+ 2
+
∆ − ∆
+
∆
+
∆ −
4
− ∆ − ∆
= 0 +
∆ ∆
+
∆ − ∆ −
+ 2
+
∆ − ∆
+
∆
+
∆ −
4
− ∆ − ∆
= 0 +
∆ ∆
−
2 +
−
+
∆ − ∆ −
4 +
∆ − ∆ −
+
∆
+
∆ −
∆ − ∆
= 0 2
+
−
1 + +
∆ − ∆ −
1
−
4 +
∆
,
∆
,
∆
,
∆
= 0
dimana
∆
,
∆
,
∆
,
∆
= +
8
∆ − ∆ −
1 3
+
∆
+
∆ −
∆ − ∆
2 +
+
∆ − ∆ −
4 +
∆
,
∆
,
∆
,
∆
= 0 +
∆ − ∆ −
∆
,
∆
,
∆
,
∆
= 0 +
∆ − ∆ −
+
∆
,
∆
,
∆
,
∆
= 0 +
∆ − ∆ −
+
∆
,
∆
,
∆
,
∆
= 0
3.25
Persamaan 3.25 disederhanakan sehingga diperoleh:
+
∆ − ∆ −
−
∆
,
∆
,
∆
,
∆
= 0 4
+ 2
∆ − ∆ −
4
− ∆
,
∆
,
∆
,
∆
= 0 2 +
∆ − ∆ −
∆ − ∆ −
4
− ∆
,
∆
,
∆
,
∆
= 0 2 +
∆ − ∆
=
∆ − ∆
+ [ 4
− ∆
,
∆
,
∆
,
∆
] 2 +
∆ − ∆
=
√
dimana
=
∆ − ∆
+ [ 4
− ∆
,
∆
,
∆
,
∆
]
Universitas Sumatera Utara
2 =
− ∆ − ∆
+
√ ≡
∗
=
− ∆ − ∆
+
√ 3.26
Nilai pada 3.26 disubstitusikan ke 3.24 untuk mendapatkan: ≡
∗
= 4
∗
+
∆ − ∆ 3.27
Pengambil keputusan dapat mengambil nilai ∆ ,
= 1, 2, 3, 4
yang sesuai dan memenuhi kondisi:
∆
, 0
∆ dalam persamaan 3.1, ∆
∗
, 0
∆
∗
−
∗
dengan 3.13, 3.26, dan 3.27, 3.28
4
− ∆
,
∆
,
∆
,
∆ nilai B pada 3.26
Dari persamaan 3.28 dan ∆
∗
, 0
∆
∗
−
∗
, dapat diperoleh bahwa
−
∗
≤ ∆ − ∆
∗
−
∗
sehingga
∗
. Dari persamaan 3.27 dan
4
− ∆
,
∆
,
∆
,
∆ diperoleh
∗
. Untuk membuktikan bahwa nilai
∗
dan
∗
yang diperoleh adalah optimal, maka
∗
,
∗
. Untuk itu,
,
harus diturunkan secara parsial dua kali.
, = 2
+
∆ − ∆
+
∆
+
∆
+ 2
+
∆ − ∆
+
∆
+
∆
+ 2 +
∆ − ∆ 3.29
, =
−
2 +
∆ − ∆
+
∆
+
∆
+ 2
−
2 +
∆ − ∆
+
∆
+
∆ −
2 +
∆ − ∆
=
−
[ 2 +
∆ − ∆
]
−
[ 2 +
∆ − ∆
] =
−
+ [ 2
+
∆ − ∆
] =
−
+ [ 4 +
∆ − ∆
] =
−
[ 4 +
∆ − ∆
]
−
4 +
∆ − ∆ 3.30
, = +
3.31
Universitas Sumatera Utara
Maka
∗
dan
∗
mencapai optimal ketika:
∗
,
∗
=
∗
,
∗ ∗
,
∗ ∗
,
∗ ∗
,
∗
Dimana:
∗
,
∗
= ,
∗
,
∗
∗
,
∗
=
∗
,
∗
= ,
∗
,
∗
∗
,
∗
= ,
∗
,
∗
3.3 Pembahasan Contoh Numerik
