14
25 50
75 100
125
120 140
160
Pendapatan K
on s
u n
si
Gambar 2.2. Perhitungan β = ∆Y∆X Secara Sederhana
2.6 Pendekatan Matematis Regresi Linier Sederhana
Adalah tidak mungkin untuk memperkirakan bentuk hubungan antara dua variabel atau lebih tanpa diawali dengan membuat asumsi terlebih dahulu. Dalam beberapa hal
dimungkinkan untuk mengecek atau menguji asumsi atau hipotesis setelah bentuk hubungan itu diperkirakan.
Suatu bentuk hubungan atau fungsi linier atau regresi linier di samping mudah interprestasinya, juga dapat dipergunakan sebagai pendekatan bentuk hubungan yang
bukan linier non linier menjadi bentuk linier. Fungsi linier sama dengan persamaan linier atau model linier atau regresi linier yang mempunyai bentuk hubungan atau bentuk
fungsi: Y = A + BX. Seperti pada persamaan [2.1] A dan B adalah konstanta, yaitu parameter yang digunakan. A ialah: jarak titik acuan 0, 0 dengan perpotongan antara
sumbu tegak Y dengan garis linier atau besarnya nilai variabel Y, apabila nilai X = 0. A sering disebut intersep atau intercept coefficient dan B ialah: koefisien arah adalah
koefisien garis regresi yang sama dengan tangen arah yang menunjukkan besarnya pengaruh perubahan X terhadap perubah Y yaitu apabila variabel X naik atau turun atau
berubah satu unit satuan X, maka variabel Y bertambah atau menurun atau berubah sebanyak B kali. B sering disebut kemiringan atau kecondongan garis
regresi atau slope atau slope coefficient adalah tangen sudut yang dibuat oleh garis regresi dengan sumbu X.
Perhatika Gambar 2.3 di bawah ini, yang menunjukkan garis-garis regresi linier dari beberapa pengamatan.
Oleh karena dalam pembicaraan ini hendak berusaha mencari cara untuk menentukan persamaan garis regresi linier sederhana yang baik atau yang terbaik. Untuk itu haruslah
terlebih dahulu mengetahui apa yang dimaksud dengan garis regresi yang baik. Suatu pertanyaan yang berhubungan dengan hal tersebut di atas adalah: Kapankah suatu
garis regresi dapat dikatakan sebagai garis regresi yang baik?.
Dengan demikian kembali ke Gambar 2.3 di atas yang manakah dari ketiga garis tersebut termasuk garis regresi yang terbaik, yang dipakai untuk menghampiri titik-titik P,
Q dan R. Apabila ada garis tertentu selain ketiga garis Y
PQ
, Y
PR
, dan Y
QR
yang merupakan garis regresi terbaik sebagai penghampir titik-titik pasangan pengamatan X
i
,Y
i
sebagai garis regresi tersebut. Y
1
Y
2
∆ Y = Y
2
-Y
1
∆X = X
2
- X
1
X
1
X
2
β
A
P Q
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
15
25 50
75 100
125 150
120 140
160
Pendapatan K
on s
u n
si
Gambar 2.3. Penggambaran Regresi Penduga Ŷ = α + β X
Sebuah garis dikatakan sebagai garis regresi terbaik yang disebut dengan garis regresi penduga diberi simbul dengan:
Ŷ dibaca Y topi atau Y cup atau Y penduga. Sehingga garis regresi linier sederhana dengan persamaan penduga menjadi :
[2.3a]. Ŷ = α + β X atau ditulis dengan
[2.3b]. Ŷ = β + β
1
X atau
untuk populasi
[2.3c]. Ŷ = β
1
+ β
2
X [2.4a]. Ŷ = a + b X
atau ditulis dengan
[2.4b]. Ŷ = b + b
1
X atau
untuk sampel
[2.4c]. Ŷ = b
1
+ b
2
X
Suatu hal yang harus dipahami bahwa dalam pendugaan garis regresi, besarnya nilai variabel tak bebas Y, tidak hanya tergantung pada variabel bebas X saja, tetapi ada
faktor-faktor lain yang ikut mempengaruhi. Faktor-faktor tersebut secara keseluruhan dinamakan kesalahan pengganggu disturbance error yang diberi simbul dengan e.
Kadang-kadang nilai e diartikan faktor-faktor tertentu yang belum diketahui penyebabnya atau faktor-faktor yang belum dijelaskan.
Faktor-faktor tersebut yang dapat terdiri atas: salah hitung, salah catat, salah ukur, alat kurang sempurna, dan nilai-nilai kebetulan, serta banyak lagi nilai-nilai yang lainnya.
Kesalahan pengganggu e tersebut menyebabkan ramalan menjadi kurang tepat terhadap garis regresi penduga seperti:
[2.5]. Ŷ = A + BX untuk populasi Jadi kesalahan e tersebut dapat mengakibatkan adanya resiko. Oleh karena itu, resiko
tersebut hendaknya dibuat sekecil-kecilnya atau minimal. Untuk melakukan dugaan atau membuat keputusan selalu ada resiko walaupun betapa kecilnya.
P Q
R
Ŷ = α + β X
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
16
Karena dalam suatu pendugaan nilai A dan B tidak dapat dihitung belum diketahui nilainya, biasanya ditaksir dengan nilai a dan b atau dengan nilai b
dan b
1
; sehingga garis regresi linier penduga mempunyai bentuk persamaan:
[2.6]. Ŷ
= b + b
1
X untuk sampel
Jadi a dan b atau b dan
b
1
sebagai penaksir A dan B.
Hubungan antara nilai kesalahan e, dengan nilai penduga
Ŷ dan dengan nilai pengamatan Y
i
dapat ditulis:
[2.7a]. Ŷ = b + b
1
X dan Yi = Ŷ + e atau
[2.7b]. e = Y
i
- Ŷ Untuk sejumlah n pasangan pengamatan, maka penulisannya menjadi seperti:
[2.8]. e
i
= Y
i
- b + b
1
X Nilai e sebagai penduga nilai kesalahan E adalah kesalahan penggangu populasi dan e
adalah kesalahan penganggu sampel. Nilai e dapat berharga positif bila nilai pengamatan Y
i
berada di atas garis penduga Ŷ;
dapat berharga negatif bila nilai pengamatan Y
i
berada di bawah garis penduga
Ŷ; dan dapat pula berharga nol bila nilai pengamatan Y
i
berada tepat pada garis penduga Ŷ.
Seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.3 dengan menggambar scatter diagram dengan Ŷ, Y
i
, dan e
i
.
25 50
75 100
125 150
120 130
140 150
160
Pendapatan K
o n
s u
m si
Gambar 2.3. Nilai Penduga Ŷ, Nilai Pengamatan Y
i
, dan Nilai Kesalahan Penganggu e
i
Y
2
e
2
- Ŷ
e
1
+
+ e
3
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
17
2.7 Pendekatan Garis Penduga Terbaik
Kategori