24
Rumus dari perkiraan nilai β
i
adalah sebai berikut di bawah ini:
[2.33a]. p {b
i
- t
α 2
Sb
i
≤
β
i
≤
b
i
+ t
α 2
Sb
i
} = 1- α atau [2.33b]. p b
i
± t
α 2
Sb
i
Sb
i
= 1- α, dan untuk setiap b dan b
1
seperti: [2.34a]. p {b
- t
α 2
Sb
≤
β
≤
b + t
α 2
Sb } = 1- α untuk b
[2.34b]. p {b
1
- t
α 2
Sb
1
≤
β
1
≤
b
1
+ t
α 2
Sb
1
} = 1- α untuk b
1
2.8.3 Uji keeratan hubungan atau uji r
Pada uji-uji sebelum ini, seperti uji Ragam Regresi uji F, uji Koefisien Regresi uji t berdasarkan nilai Varians Galat Regresi. Sedangkan, pada uji keeratan hubungan selain
memakai Varians Galat Regresi juga memakai parameter tertentu yaitu koefisien korelasi atau sering disebut dengan keeratan hubungan dengan simbul r
xy
atau r
yx
yang sering ditulis dengan r saja.
Adapun rumus dari pada koefisien korelasi r adalah: [2.35a]. r
XY
=
2 2
y x
xy Σ
Σ Σ
atau [2.35b]. r
XY
= Y
JK X
JK XY
JHK
atau menggunakan notasi lain maka nilai r
menjadi:
[2.35c]. r
XY
=
−
− −
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑ ∑
n Y
Y n
X X
n Y
X XY
2 2
2 2
n = jumlah sampel
Perhitungan nilai r berdasarkan rumus di atas disebut nilai koefisien korelasi seserhana atau koefisien korelasi order nol atau koefisien korelasi produc moment atau koefisien
korelasi Pearson. Sepintas gambaran bahwa nilai r berkisar antara –1 sampai dengan + 1 atau sering
ditulis dengan -1
≤ r ≤ +2. Jadi nilai koefisien korelasi itu selalu pecahan seperti: r = 0,87; r = 0,78; r = - 0,347; dan lain sebagainya.
Hubungan antara koefisien korelasi r dengan koefisien regresi b
2.
Lihatlah kembali
rumus koefisien regresi seperti [2.19c] dan koefisien korelasi r seperti [2.35c]:
[2.19c]. b
1
=
∑ ∑
∑ ∑ ∑
− −
n X
X n
Y X
XY
2 2
atau
b
1
−
∑ ∑
n X
X
2 2
=
∑ ∑ ∑
− n
Y X
XY atau
b
1
JK X = JHK XY dan
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
25
[2.35c]. r =
−
−
−
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑ ∑
n Y
Y n
X X
n Y
X XY
2 2
2 2
atau dapat ditulis
r =
∑ ∑ ∑
− n
Y X
XY di mana
r
Y JK
X JK
= JHK XY Dari kesamaan kedua persamaan di atas [2.19] dan [2.356] dapat ditulis menjadi:
[2.36a] b
1
JK X = r
Y JK
X JK
Dari kesamaan [2.36a] di atas dapat ditulis kembali menjadi:
[2.36b] b
1
JK X = r
Y JK
X JK
atau
[2.36c] b
1
X JK
X JK
= r
Y JK
X JK
atau [2.36d] b
1
X JK
X JK
= r
Y JK
X JK
atau
Jadi: [2.36e] b
1
X JK
= r Y
JK atau
Apabila kedua ruas dari persamaan: [2.36e] sama-sama dibagi dengan 1
− n
maka didapatkan:
[2.36e] b
1
1 −
n X
JK
= r
1 −
n X
JK atau
[2.36f] b
1
X KT
= r
Y KT
atau
[2.36g] b
1
S
X
= r S
Y
Apabila data yang dianalisis dinyatakan dalam nilai standar baku atau data di transformasi ke nilai Z di mana Z
X
=
X i
S X
X
−
−
dan Z
Y
=
Y i
S Y
Y
−
−
, sehingga nilai S
X
= S
Y
= 1; sehingga persamaan [2.36g] menjadi:
[2.36h] b
1
= r Yang jelas dalam uji r, apabila nilai koefisien regresinya b
1
negatif, maka nilai koefisien
korelasinya r juga negatif.
Dalam uji r yang umum dialakukan adalah membandingkan nilai koefisien korelasi r yang dihitung atau r
hitung dengan r tabel. Nilai r tabel dapat dilihat pada tabel r yang
susunannya serupa dengan tabel t.
r
hitung
≈ r
tabel
di mana r
tabel
= r
α2, n-2
; n-2 = db Galat; dan
α = taraf nyata
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
26
Berdasarkan hasil uji r ternyata bahwa kreteria pengujian nilai r
hitung
adalah: 1.
Jika r
hitung
≤ r
tabel 5, db galat
Hal ini dapat dikatakan bahwa tidak terdapat hubungan linier atau korelasi sederhana antara variabel
yang satu dengan variabel yang lainnya. 2.
Jika r
hitung
r
tabel 5, db galat
Hal ini dikatakan bahwa tolak H , yang berarti
bahwa terdapat hubungan linier atau korelasi sederhana antara variabel yang satu dengan variabel yang lainnya.
Selain pengujian r seperti di atas nilai r hitung dapat pula diuji dengan menggunakan uji t dengan rumus pengujian seperti berikut yaitu:
[2.37a]. t-hitung r =
r
S r
di mana S
r
= salah baku r
S
r
= 2
1
2
− −
n r
sehingga
[2.37b]. t-hitung r =
2 1
r
2
− −
n r
atau
[2.37c]. t-hitung r =
1 2
r
2
r n
− −
Berdasarkan hasil uji t untuk nilai r ternyata bahwa kreteria pengujian adalah: 1. Jika t
hitung
≤ t
tabel 5, db galat.
Hal ini dapat dikatakan bahwa tidak terdapat hubungan atau korelasi antara variabel yang satu dengan variabel
yang lainnya. 2. Jika t
hitung
t
tabel 5, db galat.
Hal ini dikatakan bahwa tolak H , yang berarti bahwa
terdapat hubungan atau korelasi antara variabel yang satu dengan variabel yang lainnya.
Hubungan lain antara parameter r, b
1,
dan dengan garis regresi penduga Ŷ dapat
dijabarkan kembali melalui persamaan: [2.35b] seperti berikut. [2.35b].
r
XY
= Y
JK X
JK XY
JHK
Modifikasi dari rumus r
2
atau R
2
adalah seperti berikut:
[2.38a]. r
2
XY
= Y
JK X
JK XY
JHK XY
JHK atau
[2.38b]. r
2
XY
= X
JK XY
JHK
Y JK
XY JHK
ingat: b
1
=
X JK
XY JHK
[2.38c]. r
2
XY
= b
1
Y JK
XY JHK
ingat: JK Y = JK Total [2.38d].
r
2
XY
=
1
Y JK
XY JHK
b ingat: b
1
JHK XY = JK Regresi [2.38e].
r
2
XY
= Re
Total JK
gresi JK
rumus di tas tersebut bersifat umum
Jadi [2.38f]. JK regresi = r
2
. JK Total
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
27
Yang lebih penting dalam pembicaraan hubungan antara koefisien korelasi r; koefisien regresi b
1
; atau dengan garis regresi penduga
Ŷ adalah parameter r
2
yang dalam persamaan regresi sering ditulis dengan R
2
yang disebut dengan koefisien determinasi atau koefisien penentu atau coeficien of determination.
Arti dari pada koefisien determinasi atau koefisien penentu R
2
adalah suatu nilai yang menunjukkan bahwa persentase dari variasi keragaman total Y atau variasi Y yang dapat
diterangkan oleh variasi X. Atau sering diartikan bahwa koefisien determinasi R
2
adalah persentase dari variabel tak bebas Y yang dipengaruhi oleh variabel bebas X. Sisanya 1 - R
2
yang menunjukkan persentase dari variasi total atau variabel Y yang disebabkan oleh faktor lain diluar X
atau variabel selain X. Dalam analisis keragaman atau uji F regresi di mana:
[2.39a]. JK regresi = JK Total - JK Galat
atau
[2.39b]. r
2
JK Total = JK Total - JK Galat atau
[2.39c]. JK Galat = JK Total - r
2
. JK Total atau
[2.39d]. JK Galat = 1 - r
2
. JK Total Sehingga JK Total dapat dihitung dari JK Galat dan r sepert :
[2.40]. JK Total =
r -
1
2
Galat JK
=
2
r Re grasi
JK Selanjutnya, dalam analisis keragaman regresi linier sederhana dan uji F di mana DB
Regresi = 1 dan DB Galat = n – 2, sehingga F
hitung
mempunyai rumus:
[2.41a]. F-hitung =
Galat grasi
KT KT
Re [2.41b].
F-hitung =
2 JK
1 Re
− n
Galat grasi
JK [2.41c].
F-hitung =
Galat grasi
JK n
JK Re
2 −
Masukan persamaan [2.40] ke dalam persamaan [2.41c] maka menghasilkan:
[2.42a]. F-hitung =
Total JK
Total JK
r n
r -
1 2
2 2
− sehingga didapatkan
[2.42b]. F-hitung =
r -
1 2
2 2
r n
− Kreteria pengujian nilai F
hitung
sama seperti pengujian-pengujian di atas, sehingga kreteria pengujian adalah:
1. Jika F
hit
≤ F
tabel 5
. Hal ini berarti bahwa garis regresi penduga Ŷ linier sederhana
yang didapat tersebut bukan garis regresi yang terbaik. 2. Jika F
hit
F
tabel 5.
Hal ini berarti bahwa terdapat hubungan linier yang nyata p = 0,05, bahwa terdapat pengaruh antara variabel X
terhadap variabel tak bebas Y.
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
28 2.9
Peramalan atau Prediksi Garis Regresi
Pembicaraan mengenai perkiraan nilai populasi beta β pada persamaan [2.33]
bertujuan untuk mengetahui perkiraan nilai interval koefisien regresi populasi β
i
baik b maupun
b
2.
Selanjutnya, yang diharapkan pada garis regresi penduga adalah: a penaksiran atau peramalan nilai rata-rata untuk nilai X
i
tertentu yang telah diketaui yang sering diberi simbul
μ
XY
, dan b penaksiran atau peramalan nilai individu Y apabila nilai
X
i
tertentu yang telah diketaui. Dalam penaksiran atau peramalan garis regresi membicarakan sejauh mana garis
regresi penduga Ŷ yang telah didapat betul-betul dapat dipercaya sebagai penduga
garis μ
XY
yang terbaik. Dengan demikian, dalam penaksiran diperlukan selang kepercayaan nilai
γ yaitu sebesar 1 –
α di mana α adalah peluang kesalahan tipe I. Dalam perhitungan nilai selang kepercayaan juga menggunakan dasar Analisis Ragam Regresi.
Suatu hal yang perlu diperhatikan di dalam penaksiran atau peramalan garis regresi adalah terdapat dua buah nilai taksiran yang berada di sebelah-menyebelah garis
regresi penduga Ŷ, sehingga terdapat daerah atau range, yang umum disebut dengan
selang kepercayaan Ŷ atau interval taksiran garis regresi penduga Ŷ; masing-masing
taksiran tersebut adalah: 1. Taksiran nilai rata-rata.
[2.43]. Ŷ
- t
α2, n – 2
Y
S ≤
μ
XY
≤
Ŷ + t
α2, n – 2
Y
S Di mana:
Y
S adalah nilai salah baku dari penaksiran rata-rata dengan rumus:
2 Y
S = KT Galat Regresi
− +
X JK
X X
n
2 _
1
;
_
X = nilai rata-rata X
i
. n = jumlah penamatan atau sampel, JK X dan KT Galat Regresi dari
Analisis Varians Regresi X
= suatu nilai X
i
yang telah diketahui atau ditentukan 2. Taksiran nilai individu
[2.44]. Ŷ
- t
α2, n – 2
Y
S
ˆˆ
≤ Y
ˆˆ ≤
Ŷ + t
α2, n – 2
Y
S
ˆˆ
Di mana:
Y
S
ˆˆ
adalah nilai salah baku dari penaksiran individu dengan rumus:
2 ˆˆY
S
= KT Galat Regresi
−
+ +
X JK
X X
n
2 _
1 1
JK X dan KT Galat Regresi dari Analisis Varians Regresi n = jumlah penamatan atau sampel
_
X
= nilai rata-rata X
i
X =
suatu nilai X
i
yang telah diketahui atau ditentukan.
2.9.1 Interpolasi dan ekstrapolasi
