42 Hal yang sering sekali terjadi adalah bagian sebelah atas kubah bulat
dihilangkan seperti yang diperlihatkan pada Gambar 3.3. c dan gelang penguat atas upper reinforcing ring digunakan untuk menumpu struktur atas. Bila 2
φ merupakan sudut yang bertalian dengan bukaan dan P merupakan beban vertikal
per satuan panjang gelang penguat atas, maka resultan R yang bertalian dengan sudut
φ adalah : � = 2� ∫ �
2
� sin � �� + 2� �� sin �
� �
3.16 kemudian dari persamaan 3.11 dan 3.12 akan diperoleh :
�
�
= −��
cos � − cos �
sin
2
�
− �
sin �
sin
2
�
�
�
= �� �
cos � − cos �
sin
2
�
– cos �� + �
sin �
sin
2
�
3.3. Struktur Cangkang yang Kekuatannya Tetap
Menurut Timoshenko, 1992, suatu struktur cangkang yang kekuatannya tetap ditinjau suatu kubah yang ketebalannya tak merata serta menumpu beratnya
sendiri. Berat cangkang per satuan luas pada permukaan bagian tengah adalah �ℎ,
dan kedua buah komponen berat sepanjang sumbu-sumbu koordinatnya adalah : � = �ℎ sin �
� = �ℎ cos � 3.18
pada cangkang yang kekuatannya tetap, bentuk meridian yang ditentukan dengan cara sedemikian rupa sehingga tegangan tekan konstan dan sama dengan
σ menurut semua arah pada permukaan bagian tengah, yaitu :
�
�
= �
�
= −�ℎ
3.19 dengan mensubstitusikan persamaan ini ke dalam persamaan 3.12 yang didapat
sebelumnya akan diperoleh : 3.17
Universitas Sumatera Utara
43 �ℎ �
1 �
1
+
1 �
2
� = �ℎ cos � 3.20
atau dengan mensubstitusikan r
2
= r sin
φ serta dengan menyelesaikan r
1
didapat : �
1
=
�
� �
� cos � − sin �
3.21 dari Gambar 3.1. b, akan didapatkan :
�
1
�� =
�� cos �
jadi, persamaan 3.21 dapat dituliskan sebagai berikut :
�� ��
=
� cos �
� �
� cos � − sin �
3.22 pada bagian puncak kubah, dimana
φ = 0, makan nilai ruas kanan persamaan ini menjadi tak terhingga. Untuk mempermudah perhitungan, digunakan persamaan
3.20. Oleh karena kondisi simetri pada bagian puncak, maka r
1
= r
2
maka dapat disimpulkan bahwa :
�
1
= �
2
=
2 �
�
dan ��
= �
1
�� =
2 �
�
�� 3.23
sehingga untuk bagian puncak kubah akan didapat :
�� ��
=
2 �
�
3.24 dengan menggunakan persamaan 3.24 dan 3.22 akan diperoleh bentuk
meridian dengan menerapkan integrasi angka, mulai dari bagian puncak kubah dan menghitung untuk setiap pertambahan Δφ dari sudut φ pertambahan Δr
dari jari-jari r
yang bertalian dengan hal ini. Untuk mendapatkan variasi ketebalan cangkang, persamaan 3.6 pada pembahasan sebelumnya harus digunakan.
Dengan mensubstitusikan N
φ
= − �ℎ ke dalam persamaan tersebut dan dengan
mengambil nilai σ adalah konstan maka akan diperoleh :
−
� ��
ℎ� +
ℎ�
1
cos � +
� �
�
1
� ℎ sin � = 0
3.25
Universitas Sumatera Utara
44 dengan mengganti r
1
dengan persamaan c maka akan diperoleh persamaan berikut :
� ��
ℎ� =
ℎ�
cos � +
� �
� sin
�
� �
� cos � − sin �
3.26 untuk
φ = 0, akan diperoleh dari persamaan 3.25
� ��
ℎ� ≈ ℎ�
1
= ℎ
�� ��
Disini dapat dilihat bahwa untuk Δφ yang pertama dari sudut φ, dapat diambil
sembarang harga h yang konstan. Kemudian untuk titik-titik lain pada meridian, ketebalan diperoleh dengan integrasi angka-angka dari persamaan 3.26. Hasil
perhitungan dengan cara ini digambarkan pada Gambar 3.4.. Disini dapat dilihat bahwa :
�
�
= �
�
= − �ℎ
3.27 memberikan tidak hanya suatu bentuk tertentu dari permukaan tengah kubah,
tetapi juga teori tertentu tentang variasi ketebalan kubah itu sepanjang meridiannya.
Gambar 3.4. Stuktur Kubah dengan Ketebalan Sepanjang Meridiannya
Sumber : Timoshenko, 1992
Universitas Sumatera Utara
45
3.4. Perpindahan pada Cangkang yang Dibebani secara Simetris dan Terbentuk dari Permukaan yang Berputar
Menurut Timoshenko, 1992, jika deformasi suatu cangkang ternyata simetris, perpindahan yang kecil dari suatu titik dapat diuraikan atas dua buah
komponen, yaitu v menurut arah garis singgung meridian dan w menurut arah tegak lurus terhadap permukaan tengah. Dengan melihat elemen AB dari meridian
seperti diperlihatkan pada Gambar 3.5. maka dapat dilihat bahwa pertambahan panjang elemen yang disebabkan oleh perpindahan tangensial v dan v +
dvdφ dφ dari ujung-ujungnya adalah sama dengan dvdφ dφ. Akibat perpindahan arah
radial w dari titik A dan B, maka panjangnya elemen berkurang sejumlah w dφ.
Perubahan panjang elemen yang disebabkan oleh perbedaan perpindahan radial titik A dan B dapat diabaikan karena sangat kecil. Dengan demikian perubahan
total menurut panjang elemen AB yang disebabkan oleh deformasi ini adalah :
�� ��
�� − � �� 3.28
dengan membagi hasil ini dengan panjang awal r
1
dφ dari elemen, akan didapatkan regangan cangkang menurut arah meridian yang besarnya adalah :
�
�
=
1 �
1
�� ��
−
� �
1
3.29
Gambar 3.5. Meridian dengan Pertambahan Panjang Elemen
Sumber : Timoshenko, 1992
Universitas Sumatera Utara
46 dengan memperhatikan suatu elemen yang paralel, maka dapat dilihat seperti pada
Gambar 3.5. bahwa akibat perpindahan v dan w, jari-jari lingkaran r akan
bertambah menjadi : v cos
φ – w sin φ 3.30
keliling lingkaran paralel bertambah menurut jumlah yang sama dengan jari- jarinya, sehingga :
� =
1 �
� cos � − � sin � 3.31
atau dengan mensubstitusikan r = r
2
sin φ akan menjadi :
� =
� �
2
cot � −
� �
2
3.32 dengan menghilangkan w dari persamaan 3.29 dan 3.32 akan diperoleh untuk
v, persamaan diferensial berikut ini :
�� ��
− � cot � = �
1
�
�
− �
2
�
�
3.33 komponen regangan
�
�
dan �
�
dapat dinyatakan dalam suku gaya-gaya N
φ
dan N
θ
yaitu dengan menerapkan hokum Hooke. Sehingga didapat : �
�
=
1 �ℎ
�
�
− � �
�
�
�
=
1 �ℎ
�
�
− � �
�
dengan mensubstitusikan persamaan di atas ke dalam persamaan 3.33 akan diperoleh :
�� ��
− � cot � =
1 �ℎ
��
�
�
1
+ � �
2
− �
�
�
2
+ � �
1
� 3.35 pada saat tertentu, gaya-gaya
�
�
dan �
�
dapat diperoleh dari kondisi pembebanan, dan kemudian perpindahan v akan diperoleh dengan mengadakan
integrasi persamaan diferensial 3.35. Dengan menandai ruas kanan persamaan ini dengan f
φ dapat dituliskan sebagai berikut : 3.34
Universitas Sumatera Utara
47
�� ��
− � cot � = �� 3.36
penyelesaian umum persamaan ini adalah : � = sin � �∫
�� sin
�
�� + �� 3.37
dimana C merupakan nilai konstanta integrasi yang harus ditentukan dari kondisi pada tumpuan .
3.5. Cangkang yang Terbentuk dari Permukaan yang Berputar dan Mengalami Pembebanan yang Tidak Simetris
Menurut Timoshenko, 1992, dengan meninjau elemen yang dipotong dari suatu cangkang oleh dua buah meridian yang berdekatan dan dua buah
lingkaran yang paralel seperti pada Gambar 3.6. pada umumnya, tidak hanya gaya normal N
φ
dan N
θ
yang akan bekerja pada sisi-sisi elemen ini, tetapi juga gaya geser N
φθ
= N
θφ
. Dengan melihat menurut arah y semua gaya yang bekerja pada elemen itu, maka harus ditambahkan terhadap gaya :
��
��
��
�
1
�� �� 3.38
yang menggambarkan perbedaan gaya geser yang bekerja pada sisi-sisi lateral elemen. Oleh karena itu, digunakan persamaan :
� ��
��
�
� � +
��
��
��
�
1
− �
�
�
1
cos � + ��
1
� = 0 3.39
Universitas Sumatera Utara
48 Gambar 3.6. Elemen yang Dipotong Oleh Dua Buah Meridian yang
Saling Berdekatan dan Dua Buah Lingkaran Paralel dengan memperhitungkan gaya menurut arah x, maka harus mencakupkan
perbedaan gaya geser yang bekerja pada bagian atas dan bawah elemen, seperti yang dinyatakan oleh persamaan :
�
�� ��
��
���� +
��
��
��
� ���� =
� ��
�� �
��
����� 3.40 maka gaya :
��
�
��
�
1
�
�
�
�
3.41 yang disebabkan oleh variasi gaya N
θ
dan gaya : �
��
�
1
cos � ���� 3.42
yang disebabkan oleh sudut cos φ dθ yang kecil antara gaya geser N
θφ
yang bekerja pada sisi-sisi lateral dari elemen. Komponen menurut arah x dari beban
luar yang bekerja pada elemen adalah : X r
r
1
dθ dφ 3.43
dengan menjumlahkan semua gaya ini, akan diperoleh persamaan :
� ��
�� �
��
� +
��
�
��
�
1
+ �
��
�
1
cos � + � � �
1
= 0 3.44
Sumber : Timoshenko, 1992
Universitas Sumatera Utara
49 persamaan keseimbangan yang ketiga diperoleh dengan menggambarkankan
gaya-gaya pada sumbu x. Oleh karena itu, proyeksi gaya geser pada sumbu ini hilang, persamaan tersebut cocok dijabarkan untuk pembebanan yang simetris.
Permasalahan penentuan tegangan selaput tipis yang mengalami pembebanan yang tidak simetris mengurangi penyelesaian persamaan-persamaaan
untuk nilai komponen X, Y dan Z dari intensitas beban luar yang telah ditentukan.
3.6. Tegangan yang Dihasilkan oleh Tekanan Angin
