49 persamaan keseimbangan yang ketiga diperoleh dengan menggambarkankan
gaya-gaya pada sumbu x. Oleh karena itu, proyeksi gaya geser pada sumbu ini hilang, persamaan tersebut cocok dijabarkan untuk pembebanan yang simetris.
Permasalahan penentuan tegangan selaput tipis yang mengalami pembebanan yang tidak simetris mengurangi penyelesaian persamaan-persamaaan
untuk nilai komponen X, Y dan Z dari intensitas beban luar yang telah ditentukan.
3.6. Tegangan yang Dihasilkan oleh Tekanan Angin
Menurut Timoshenko, 1992, dengan menganggap bahwa angin mengarah pada bidang meridian
θ = 0 dan tekanan dianggap juga tegak lurus pada permukaan itu, dapat dituliskan :
X = Y = 0 Z = p sin
φ cos θ 3.45
kemudian persamaan keseimbangan menjadi :
� ��
�� �
�
� +
��
��
��
�
1
− �
�
�
1
cos � = 0
� ��
�� �
��
� +
��
�
��
�
1
+ �
��
�
1
cos � = 0 �
�
� +
�
�
�
1
sin � = − � �
�
1
sin � cos �
dengan menggunakan bagian akhir persamaan ini, gaya N
θ
dan akan diperoleh persamaan diferensial orde kesatu untuk menetapkan N
φ
dan N
θφ
= N
φθ
yaitu :
��
�
��
+ �
1 �
�� ��
+ cot �� �
�
+
�
1
� ��
��
��
= − ��
1
cos � cos �
��
��
��
+ �
1 �
�� ��
+
�
1
�
2
cot �� �
��
−
1 sin
� ��
�
��
= − ��
1
sin �
Untuk cangkang berbentuk bola, dimana r
1
= r
2
= a, persamaan 3.47 dapat ditulis sebagai berikut :
�
�
= �
�
cos � �
��
= �
��
sin �
3.48 3.46
3.47
Universitas Sumatera Utara
50 dimana S
φ
dan S
θφ
merupakan fungsi φ saja. Dengan mensubstitusikan persamaan
3.47, akan diperoleh persamaan diferensial biasa untuk penentuan fungsi yaitu sebagai berikut :
��
�
��
+ 2 cot ��
�
+
1 sin
�
�
��
= − �� cos �
��
��
��
+ 2 cot ��
��
+
1 sin
�
�
�
= − ��
dengan menambahkan dan mengurangi persamaan ini, serta dengan mengadakan notasi :
U
1
= S
φ
+ S
θφ
U
2
= S
φ
- S
θφ
3.50 maka akan diperoleh dua buah persamaan diferensial biasa yang masing-masing
hanya mengandung satu bilangan yang tidak diketahui, yaitu sebagai berikut :
�U
1
��
+ �2 cot � +
1 sin
�
� �
1
= −�� 1 + cos �
�U
2
��
+ �2 cot � −
1 sin
�
� �
2
= �� 1 − cos �
dengan menerapkan aturan umum untuk mengintegralkan persamaan diferensial orde satu, akan diperoleh :
�
1
=
1 + cos �
sin
3
�
��
1
+ �� �cos � −
1 3
cos
3
��� �
2
=
1 − cos �
sin
3
�
��
2
− �� �cos � −
1 3
cos
3
��� dimana C
1
dan C
2
merupakan konstanta integrasi. Dengan mensubstitusikan persamaan di atas ke dalam persamaan 3.50 dan dengan menggunakan
persamaan 3.48 maka akan diperoleh : �
�
=
cos � sin
3
�
�
�
1
+ �
2
2
+
�
1
− �
2
2
cos � + �� �cos
2
� −
1 3
cos
4
��� �
��
=
sin �
sin
3
�
�
�
1
− �
2
2
+
�
1
+ �
2
2
cos � + �� �cos � −
1 3
cos
3
��� 3.49
3.51
3.52
3.53
Universitas Sumatera Utara
51 Untuk menetapkan konstanta-konstanta integrasi C
1
dan C
2
, dilihat sebuah cangkang berbentuk bola dan diambil
φ = π2 dalam persamaan 3.53. Gaya sepanjang garis tengah cangkang tersebut adalah :
�
�
=
�
1
+ �
2
2
cos � �
��
=
�
1
− �
2
2
sin �
3.54 Karena tekanan pada setiap titik pada bola itu mengarah radial, momen
gaya angin terhadap diameter bola dan tegak lurus terhadap bidang θ = 0 adalah
nol. Dengan menggunakan fakta ini, serta dengan menerapkan bagian pertama persamaan 3.54 akan diperoleh :
∫ �
�
�
2
cos � �� = �
2 �
1
+ �
2
2 2
�
∫ cos
2
� �� = 0
2 �
3.55 yang memberikan :
C
1
= − C
2
3.56 persamaan kedua yang diperlukan didapat dengan menuliskan jumlah komponen
semua gaya yang bekerja pada setengah bola menurut arah diameter horizontal bidang
θ = 0. Hal ini akan memberikan : ∫ �
�� 2
�
� sin � �� = − ∫ ∫ � sin � cos � �
2
sin � sin � cos � �� ��
2 �
�2
��
�
1
− �
2
2
= −��
2 2
3
� 3.57
dari 3.56 dan 3.57 akan diperoleh : C
1
= −
2 3
�� C
2
=
2 3
�� 3.58
dengan mensubstitusikan besaran-besaran ini untuk konstanta-konstanta dalam persamaan 3.53 dan dengan menggunakan bagian ketiga dari persamaan 3.46
akan diperoleh :
Universitas Sumatera Utara
52 �
�
= −
�� 3
cos � cos � sin
3
�
2 − 3 cos � + cos
3
� �
�
=
�� 3
cos � sin
3
�
2 cos � − 3 sin
2
� − 2 cos
4
� �
��
= −
�� 3
sin �
sin
3
�
2 − 3 cos � + cos
3
� dengan menggunakan persamaan ini maka tegangan angin di titik sembarang pada
cangkang dapat langsung dihitung. Jika cangkang ini berbentuk setengah bola, maka tidak terdapat gaya normal yang bekerja sepanjang tepi cangkang itu, karena
N
φ φ = π2
= 0. Gaya geser N
θφ
sepanjang tepi ternyata tidak nol dan ternyata sama dan berlawanan arah dengan resultan horizontal tekanan angin ini. Besarnya nilai
mekasimum gaya ini diperoleh pada ujung diameter yang tegak lurus pada bidang θ = 0, dimana pada titik ini besarnya gaya tersebut sama dengan ± 2��3.
3.7. Pembebanan