Prinsip Metode Kuadrat Terkecil

2.2.1 Prinsip Metode Kuadrat Terkecil

Perhatikan bentuk persamaan regresi linier sederhana berikut: � � = � + � 1 � � + � � , untuk � = 1,2, … , �, sehingga jumlah kuadrat semua kesalahan penggangguerror dari garis yang sebenarnya adalah � = ∑ � � 2 � �=1 = ∑ � � − � − � 1 � � 2 � �=1 . 2.4 Sebagai nilai dugaan kita akan memilih � dan � 1 yang memiliki nilai yang jika nilai-nilai itu disubstitusikan ke dalam � dan � 1 dalam persamaan 2.4, maka akan dihasilkan nilai � yang paling kecil. Kita dapat menentukan � dan � 1 dengan cara mendiferensialkan persamaan 2.4 terhadap � dan kemudian terhadap � 1 dan kemudian menyamakan hasil pendiferensialan itu dengan nol. Sekarang, �� �� = −2 � � � − � − � 1 � � � �=1 2.5 �� �� 1 = −2 ∑ � � � � − � − � 1 � �=1 � � . Sehingga nilai dugaan � dan � 1 dapat diperoleh dari ∑ � � − � − � 1 � � = 0 � �=1 2.6 ∑ � � � � − � − � 1 � � � �=1 = 0 dengan mensubstitusikan � , � 1 untuk � , � 1 ketika kita menyamakan persamaan 2.5 dengan nol. Dari persamaan 2.6 kita memperoleh ∑ � � − �� − � 1 ∑ � � � �=1 � �=1 = 0 2.7 ∑ � � � �=1 � � − � ∑ � � − � 1 ∑ � � 2 � �=1 � �=1 = 0 atau � � + � 1 ∑ � � = ∑ � � � �=1 � �=1 2.8 � ∑ � � + � 1 ∑ � � 2 � �=1 � �=1 = ∑ � � � � � �=1 . 2.9 Kedua persamaan ini disebut persamaan-persamaan normal Draper Smith, 1992. Universitas Sumatera Utara Dari persamaan 2.8 diperoleh: � � + � 1 � � � � �=1 = � � � � �=1 � � = � � � − � 1 � � � � �=1 � �=1 � = ∑ � � − � 1 ∑ � � � �=1 � �=1 � � = ∑ � � � �=1 � − � 1 ∑ � � � �=1 � 2.10 � = �� − � 1 ��. 2.11 Substitusi persamaan 2.10 kedalam persamaan 2.9, diperoleh: � ∑ � � � �=1 � − � 1 ∑ � � � �=1 � � ∑ � � � �=1 + � 1 ∑ � � 2 � �=1 = ∑ � � � � � �=1 ∑ � � � �=1 ∑ � � � �=1 � − � 1 ∑ � � � �=1 2 � + � 1 ∑ � � 2 � �=1 = ∑ � � � �=1 � �� � 1 �∑ � � 2 � �=1 − ∑ � � � �=1 2 � � = ∑ � � � � � �=1 − ∑ � � ∑ � � � �=1 � �=1 � � 1 � � ∑ � � 2 −∑ � � � �=1 2 � �=1 � � = � ∑ � � � � −∑ � � ∑ � � � �=1 � �=1 � �=1 � � 1 = � ∑ � � � � −∑ � � ∑ � � � �=1 � �=1 � �=1 � ∑ � � 2 � �=1 −∑ � � � �=1 2 . 2.12 Makridakis 1992, suatu cara yang sering dipakai untuk menyatakan persamaan regresi adalah dalam bentuk deviasi dari nilai-nilai tengah � dan � . Data ditransformasi dengan mensubstitusikan: � � = � � − �� atau � � = � � + �� �� � = �� � − �� atau �� � = � � + ��. Persamaan regresi, �� = � + � 1 � � , kemudian menjadi: �� � + �� = � + � 1 � � + �� yang dapat disederhanakan menjadi �� � = � + � 1 � � + � 1 �� − ��. Tetapi karena, � = �� − � 1 �� �� � = �� − � 1 �� + � 1 � � + � 1 �� − �� dan �� � = � 1 � � . 2.13 Demikian pula, dengan substitusi: ∑ � � 2 = ∑ � � − �� � � �=1 2 � �=1 = ∑ � � − � 1 � � 2 � �=1 . 2.14 Universitas Sumatera Utara Diferensialkan persamaan 2.14 terhadap � 1 kemudian samakan persamaan baru yang didapat dengan nol. � ∑ � � 2 � �=1 �� 1 = −2∑ � � � � − � 1 � � � �=1 = −2∑ � � � � � �=1 − � 1 ∑ � � 2 � �=1 0 = −2 ∑ � � � � + 2 � 1 ∑ � � 2 � �=1 � �=1 � 1 = ∑ � � � � � �=1 ∑ � � 2 � �=1 . 2.15 Gujarati 1988, penduga yang diperoleh tadi dikenal sebagai penduga kuadrat terkecil karena diperoleh dari prinsip kuadrat terkecil. Penduga kuadrat terkecil � dan � 1 dinyatakan dalam nilai-nilai observasi dari sampel sebanyak n pasang nilai X i ,Y i dan merupakan penduga tunggal point estimator, maksudnya dari suatu sampel tertentu hanya dihitung satu nilai � dan satu nilai � 1 . Penduga � dan � 1 tersebut setelah dihitung berdasarkan suatu sampel tertentu akan diperoleh nilai � dan � 1 yang memungkinkan untuk penggambaran kurva garis regresi yang mempunyai sifat-sifat sebagai berikut: 1. Garis tersebut melalui rata-rata �� dan ��. Hal ini jelas ditunjukkan oleh persamaan 2.11 dimana � = �� − � 1 �� 2. Nilai rata-rata Y yang ditaksir ��� adalah sama dengan nilai rata-rata pengamatan Y Bukti : �� � = � + � 1 � � = �� − � 1 �� + � 1 � � = �� + � 1 � � − �� jumlahkan untuk seluruh nilai sampel ∑ �� � � �=1 = ��� + � 1 ∑ � � − �� � �=1 karena ∑ � � − �� = 0 � �=1 maka ∑ �� � � �=1 = ��� kalikan 1 � 1 � � � � � � �=1 = �� Jadi, ��� � = �� Universitas Sumatera Utara 3. Rata-rata kesalahan penggangguerror adalah nol atau � � = 0 Bukti : � � = � � − �� � = � � − � − � 1 � � � � � = � � � − � − � �=1 � �=1 � 1 � � � � � � � = � � � − �� − � �=1 � 1 �� − � 1 � � = � � � − �� − � 1 � � − �� � �=1 = � � � − �� − � 1 � � � − �� � �=1 � �=1 ∑ � � � �=1 = 0 kalikan 1 � 1 � � � � � �=1 = 0 �̅ � = 0.

2.3 Sifat-Sifat Penduga yang Utama