15
2.5 Varians
didefinisikan sebagai varians sampel yang merupakan estimator dari varians populasi
. Varians sampel variabel pertama dengan pengamatan
adalah ∑
̅̅̅ 2.7
Sedangkan secara umum, varians sampel untuk variabel ke-j adalah ∑
̅ 2.8
Dengan mengambil sebesar vektor kolom dari matriks
didapat :
[ ]
2.9
Varians populasi dinyatakan dalam dan simpangan baku populasi
adalah . Untuk menghitung nilai varians populasi digunakan rumus berikut :
∑ 2.10
dengan menyatakan variansi untuk variabel-variabel
menyatakan nilai ke-i dari variabel menyatakan rataan populasi dari variabel
menyatakan ukuran populasi
2.6 Varians- Kovarians
Kovarians merupakan ukuran keterikatan dua variabel, misal dan
. Menurut Johnson Wichern 2002: 8 kovariansi sampel untuk variabel ke-1 dan
variabel ke- adalah
16
∑ ̅
̅ 2.11
Secara umum, kovariansi sampel untuk variabel ke-j dan k adalah
∑ ̅
̅
∑ ̅
̅ 2.12
dengan
menyatakan kovariansi antara dua variabel yaitu variabel dan
menyatakan nilai ke-i dari variabel menyatakan nilai ke-i dari variabel
̅ menyatakan rataan nilai variabel
̅ menyatakan rataan nilai variabel
menyatakan ukuran sampel Sehubungan dengan kovariansi, variansi sampel dapat pula diartikan
sebagai kovariansi variabel ke-k dan variabel ke-j. Suatu matriks yang entri- entrinya terdiri atas variansi dan kovariansi dari sekumpulan variabel disebut
dengan matriks variansi-kovariansi dinotasikan dengan S dapat dinyatakan dalam bentuk
[ ]
[ ̅
̅ ̅
̅ ̅
̅ ̅
̅ ̅
] [
̅ ̅
̅ ̅
̅ ̅
̅ ̅
̅ ]
17
, karena
̅ dan
̅ ̅
̅ 2.13
Untuk menghitung nilai kovariansi populasi ditentukan dengan rumus sebagai berikut :
∑ ∑
2.14 dengan
menyatakan kovariansi antara dua variabel yaitu variabel dan
menyatakan nilai ke-i dari variabel menyatakan nilai ke-r dari variabel
menyatakan rataan nilai variabel menyatakan rataan nilai variabel
menyatakan ukuran populasi Entri-entri diagonal matriks varians-kovarians disimbolkan dengan
adalah nilai varians sedangkan entri matriks yang bukan diagonal adalah nilai kovarians atau
dapat ditulis sebagai berikut :
[ ]
2.15
Oleh karena , maka untuk setiap
dan dengan berlaku :
18 [
]
2.16
2.7 Korelasi
Menurut Johnson Wichern 2007:8 Koefisien korelasi merupakan ukuran keeratan linear antara 2 variabel. Koefisien korelasi sampel untuk variabel
random dan
adalah :
√ √
∑ ̅
̅̅̅̅ √∑
̅ √∑
̅̅̅̅
2.17 dan untuk setiap dan sehingga diperoleh matriks
korelasi sampel
[ ]
2.18
Koefisien korelasi untuk populasi disimbolkan didefinisikan sebagai
rasio kovariansi dengan variansi
dan . Sehingga diperoleh korelasi
populasi sebagai berikut :
√ √
2.19 Koefisien korelasi populasi untuk matriks
[ √
√ √
√ √
√ √
√ √
√ √
√
√ √
√ √
√ √
]
19 [
]
2.20
Adapun hubungan matriks korelasi dan matriks kovarians sebagai berikut :
2.21
dengan [
√ √
√ ]
, merupakan matriks dari standar
deviasi.
2.8 Standardisasi Data
Kategori