3
s a
h f
I
d f
l
G s
m
3.1 Umum
Harmon sebesar kelip
adalah gelom harmonisa y
frekuensi fu Indonesia m
Gelomb distorsi cac
fundamental listrik yang b
Gambar 3.1 sedangkan g
mengandung Gamb
Si nisa adalah g
patan bilang mbang dari
yang ditinja undamental s
memakai frek bang teganga
cat bentuk l. Harmonis
berulang set
1 menunjukk gambar 3.2
g harmonisa bar
3.1 Gelo nusoidal
Mu
HA
gelombang-g gan bulat da
sebuah fung au adalah ge
sebesar 50 H kuensi fundam
an dan arus adalah berb
sa merupaka tiap perioden
kan suatu g menunjukk
. mbang
urni
46
BAB III ARMONI
gelombang s ari frekuensi
gsi sinus. P elombang ar
Hz standar mental 50 H
listrik pada bentuk sinus
an salah sat nya.
gelombang kan suatu g
ISA
sinusoidal ya i fundamenta
ada sistem t rus listrik a
IEC ataupu Hz yang sesua
sistem tena s dengan fre
tu jenis dist
sinusoidal y gelombang y
Gambar 3
Menga ang mempun
al. Gelomba tenaga listrik
ataupun tega un 60 Hz st
ai dengan sta ga listrik ya
ekuensi sebe torsi pada s
yang bebas yang terdist
3.2 Gelomba andung
Harm nyai frekuen
ang sinusoid k, gelomban
angan denga tandar ANSI
andar IEC. ang bebas da
esar frekuen sistem tenag
dari distors orsi sehingg
ang yang
monisa nsi
dal ng
an I.
ari nsi
ga
si, ga
Universitas Sumatera Utara
47
3.1
3.2
3.2 Deret Fourier
Pada tahun 1800, seorang ahli matematika perancis Jean Baptiste Fourier menemukan bahwa suatu gelombang non-sinus periodik dapat diuraikan menjadi
deret penjumlahan gelombang-gelombang sinus yang mempunyai frekuensi sebesar kelipatan bilangan bulat dari frekuensi fundamental. Deret penjumlahan ini disebut
deret fourier yang merupakan deret tak berhingga. Sejalan dengan itu, apabila suatu gelombang sinus mengalami distorsi sehingga menjadi suatu gelombang non-sinus
maka gelombang itu dapat diuraikan menjadi penjumlahan dari gelombang harmonisanya. Harmonisa pertama disebut juga frekuensi fundamental. Jika
frekuensi gelombang harmonisanya sama dengan dua kali frekuensi fundamental maka disebut harmonisa kedua, jika frekuensi gelombang harmonisanya sama
dengan tiga kali frekuensi fundamental maka disebut harmonisa ketiga, dan seterusnya. Dalam sistem tenaga listrik di Indonesia, frekuensi fundamental adalah
50 Hz maka harmonisa keduanya mempunyai frekuensi 100 Hz, harmonisa ketiganya mempunyai frekuensi 150 Hz, dan seterusnya. Gelombang dengan frekuensi 50 Hz
disebut harmonisa pertama ataupun frekuensi fundamental.
Misalkan fungsi ft berada pada interval 0 t T dan periodik dengan periode T. Deret fourier untuk fungsi tersebut adalah:
atau ekivalen dengan
Nilai n dalam persamaan 3.1 dan 3.2 merupakan bilangan asli 1, 2, 3, ..., n.
Fungsi ft ini adalah suatu pernyataan deret tak berhingga dimana a
n
dan b
n
adalah koefisien fourier, dan
ω adalah frekuensi sudut. Suku dari persamaan 3.1 dan 3.2 menyatakan nilai rata-rata atau komponen searah dc dari bentuk gelombang ft.
Universitas Sumatera Utara
48
3.3 Nilai n disebut juga orde dari suatu harmonisa. Jika
, disebut orde ke 2, jika , disebut orde ke 3, dan seterusnya.
Apabila ruas kiri dan ruas kanan dari persamaan 3.1 diintegralkan dengan batas integral dari 0 sampai T, maka akan menghasilkan:
Karena nilai rata-rata dari sebuah fungsi sinus dan cosinus sama dengan nol, maka ruas kanan kedua pada persamaan 3.3 sama akan dengan nol sehingga menjadi:
Untuk menentukan a
n
, kedua ruas pada persamaan 3.1 dikalikan dengan cos 2n
πt T ⁄ dan diintegralkan dengan batas dari 0 sampai T sehingga menghasilkan:
Integral suku pertama, kedua, dan keempat dari persamaan di atas sama dengan nol karena nilai rata-rata dari sebuah fungsi sinus dan cosinus sama dengan nol
sehingga persamaan di atas menjadi: .
3.4
Universitas Sumatera Utara
49
3.6 3.5
Sehingga:
Untuk menentukan b
n
, kedua pada persamaan 3.1 dikalikan dengan sin 2n πt T
⁄ dan diintegralkan dengan batas dari 0 sampai T sehingga menghasilkan:
Integral suku pertama, kedua, dan keempat dari persamaan di atas sama dengan nol karena karena nilai rata-rata dari sebuah fungsi sinus dan cosinus sama dengan
nol sehingga persamaan di atas menjadi:
.
Sehingga:
Penting diperhatikan bahwa batas integral pada persamaan 3.4, 3.5, dan 3.6 tidaklah baku, tetapi dapat dievaluasi untuk setiap periode lengkap yaitu dari t ke
t + T 2 ⁄ , sebagai contoh dapat dievaluasi dari t = -
T 2
ke t =
T 2
. Batas integral persamaan 3.4, 3.5 dan 3.6 dapat diganti menjadi dari t = -
T 2
ke t =
T 2
sehingga menjadi:
Universitas Sumatera Utara
50
3.11 Mengingat dalam integral tertentu integral dengan batas, berlaku persamaan
sebagai berikut:
Dengan mensubstitusikan persamaan 3.10 dan 3.11 ke ruas kanan pertama pada persamaan 3.7, akan menghasilkan:
3.7
3.9
3.10
3.12 3.8
Universitas Sumatera Utara
51
3.15 Dengan mensubstitusikan persamaan 3.10 dan 3.11 ke ruas kanan pertama pada
persamaan 3.8, akan menghasilkan:
Dengan cara yang sama, jika mensubstitusikan persamaan 3.10 dan 3.11 ke ruas kanan pertama pada persamaan 3.9, akan menghasilkan:
Ada beberapa kemungkinan bentuk simetri fungsi ft yang bisa mempermudah penganalisisan deret fourier dari ft tersebut, yaitu apabila fungsi ft merupakan
fungsi ganjil, fungsi genap, ataupun fungsi simetris setengah gelombang. 3.14
3.13
Universitas Sumatera Utara
52
¾ Fungsi Ganjil Fungsi ganjil adalah fungsi yang memenuhi persamaan:
. Apabila persamaan ini disubstitusi ke persamaan 3.13, 3.14, dan 3.15, maka
akan menghasilkan:
Apabila ketiga koefisien fourier a , a
n
, dan b
n
ini disubtitusikan ke persamaan 3.1, maka deret fourier dari suatu fungsi ganjil tidak mengandung
komponen dc dan suku cosinus karena a
n
dan a sama dengan nol sehingga
hanya mengandung suku sinus saja. Berikut ini diberikan contoh gambar dua buah grafik fungsi ganjil:
¾ Fungsi Genap Fungsi genap adalah fungsi yang memenuhi persamaan:
sehingga grafik fungsi ini simetris terhadap sumbu Y. Apabila persamaan ini disubstitusi ke persamaan 3.13, 3.14, dan 3.15, maka akan menghasilkan:
Gambar 3.3 Bentuk Grafik Fungsi Ganjil
Universitas Sumatera Utara
53
Apabila ketiga koefisien fourier ini disubtitusikan ke persamaan 3.1, maka deret fourier dari suatu fungsi genap tidak mengandung suku sinus karena b
n
= 0 sehingga hanya mengandung suku cosinus dan komponen dc saja. Berikut ini
diberikan contoh gambar dua buah grafik fungsi genap:
¾ Fungsi Simetris Setengah Gelombang Bentuk grafik fungsi ini simetris terhadap garis rata-rata fungsi tersebut.
Dengan kata lain, setengah gelombang bagian atas fungsi ini merupakan refleksi terhadap setengah gelombang bagian bawahnya.
Di bawah ini diberikan contoh gambar dua buah grafik fungsi simetris setengah gelombang:
Gambar 3.4 Bentuk Grafik Fungsi Genap
Gambar 3.5 Bentuk Grafik Fungsi Simetris Setengah Gelombang
Universitas Sumatera Utara
54
3.17 3.16
Gambar 3.5 sebelah kiri menunjukkan grafik fungsi persegi yang simetris terhadap sumbu X sebagai garis rata-ratanya, sedangkan gambar sebelah kanan
menunjukkan grafik fungsi persegi yang simetris terhadap garis A sebagai garis rata-ratanya. Selanjutnya di bawah ini di bawah ini diberikan sebuah contoh
gambar grafik fungsi yang bukan simetris setengah gelombang:
Dalam fungsi simetris setengah gelombang ini berlaku persamaan:
Dengan mensubstitusikan persamaan 3.12 ⁄ ke ruas kanan pertama
pada persamaan 3.8, akan menghasilkan:
⁄ ⁄
⁄ ⁄
Dengan mensubstitusikan persamaan 3.16 ke ruas kanan pertama pada persamaan 3.17, akan menghasilkan:
⁄ ⁄
Gambar 3.6 Bentuk Grafik Fungsi yang Bukan Simetris Setengah Gelombang
Universitas Sumatera Utara
55
3.19 3.18
Dengan cara yang sama pada persamaan 3.9, juga akan menghasilkan:
Jika n bilangan ganjil, maka:
Dengan mensubstitusikan persamaan 3.19a ke persamaan 3.18 dan persamaan 3.19b ke persamaan 3.19, maka akan menghasilkan:
Jika n bilangan genap, maka:
Dengan mensubstitusikan persamaan 3.19c ke persamaan 3.18 dan persamaan 3.19d ke persamaan 3.19, maka akan menghasilkan:
3.19a 3.19b
3.19c 3.19d
Universitas Sumatera Utara
56
Jadi pada fungsi simetris setengah gelombang, a
n
dan b
n
sama dengan nol
sewaktu n merupakan bilangan genap, tetapi tidak demikian sewaktu n
merupakan bilangan ganjil sehingga deret fourier pada fungsi simetris setengah gelombang tidak memiliki harmonisa genap. Karena gelombang arus maupun
tegangan pada sistem tenaga listrik merupakan fungsi simetris setengah gelombang, maka pada sistem tenaga listrik hanya ditinjau harmonisa ganjil saja.
3.3 Jenis-Jenis Harmonisa Berdasarkan Urutan
