Apabila bentuk persamaan 2.15 dan 2.16 disederhanakan maka nilai koefisien b
dan b
1
dapat diperoleh dengan rumus berikut yaitu : b
= ∑ Y
i n
i=1
∑ X
i 2
n i=1
− ∑ X
i n
i=1
∑ X
i
Y
i n
i=1
n ∑ X
i 2
− ∑ X
i n
i=1 2
n i=1
2.17 �
1
= �∑
�
�
�
� �
�=1
− ∑ �
� �
�=1
∑ �
� �
�=1
�∑ �
2 �
�=1
− ∑ �
� �
�=1 2
2.18
Untuk menentukan hubungan pengaruh perubahan variabel yang satu terhadap variabel yang lainnya, maka dibutuhkan peranan garis regresi.
Selanjutnya, dari hubungan dua variabel ini dapat dikembangkan untuk permasalahan regresi berganda.
2.2.4 Analisis Regresi Linier Berganda
Untuk memperkirakan nilai variabel tak bebas Y, akan lebih baik apabila kita ikut memperhitungkan variabel-variabel bebas lain yang ikut mempengaruhi nilai Y.
dengan demikian dimiliki hubungan antara satu variabel tidak bebas Y dengan beberapa variabel lain yang bebas X
1
, X
2
, X
3
, ..., X
n
. Untuk itulah digunakan regresi linear berganda. Dalam pembahasan mengenai regresi sederhana, simbol
yang digunakan untuk variabel bebasnya adalah X. Dalam regresi berganda, persamaan regresinya memiliki lebih dari satu variabel bebas maka perlu
menambah tanda bilangan pada setiap variabel tersebut, dalam hal ini X
1
, X
2
, ..., X
n
Sudjana, 1996. Secara umum persamaan regresi berganda dapat ditulis sebagai berikut :
Y
i
= β
+ β
1
X
1i
+ β
2
X
2i
+ . . . + β
n
X
ni
+ ε
i
2.19 Untuk populasi
Y
i
= b + b
1
X
1i
+ b
2
X
2i
+ . . . + b
n
X
ni
+ ε
i
2.20 Untuk sampel
dimana : i = 1, 2, . . , n b
, b
1
, b
2
,... , b
n
dan ε
i
= pendugaan atas β
, β
1
, β
2
,... , β
n
dan ε
i
.
Universitas Sumatera Utara
Dalam penelitian ini, digunakan empat variabel yang terdiri dari satu variabel bebas Y dan tiga variabel X yaitu X
1
, X
2
dan X
3
. Maka persamaan regresi bergandanya adalah :
Y
i
= b + b
1
X
1i
+ b
2
X
2i
+ b
3
X
3i
+ e
i
2.21
Sebagaimana halnya persamaan regresi linear sederhana yang sebelumnya, dengan menggunakan metode kuadrat terkecil, dapat ditentukan nilai b
, b
1
, b
2
, ..., b
n
dengan terlebih dahulu meminimumkan kuadrat sisanya, maka: S =
� e
2 n
i=1
= �Y
i
− Y
ı
�
2 n
i=1
= �Y
i
− b − b
1
X
1i
− b
2
X
2i
− b
3
X
3i
− ⋯ − b
n
X
ni 2
n i=1
2.22 Untuk penelitian ini yang menggunakan tiga variabel bebas X1, X2 dan X3 maka
menentukan nilai b0, b1, b2 dab b3 yaitu: S =
� e
2 n
i=1
= �Y
i
− Y
ı
�
2 n
i=1
= �Y
i
− b − b
1
X
1i
− b
2
X
2i
− b
3
X
3i 2
n i=1
2.23
Agar diperoleh nilai paling minimum maka dilakukan pendiferensialan terhadap b
, b
1
, b
2
dan b
3
, masing-masing kemudian disamakan dengan nol, sebagai berikut :
untuk b :
∂S ∂b
= −2 �Y
i
− b − b
1
X
1i
− b
2
X
2i
− b
3
X
3i n
i=1
= 0
� Y
i
− nb − b
1
� X
1i
− b
2
� X
2i
− b
3
� X
3i n
i=1 n
i=1
= 0
n i=1
n i=1
� Y
i
= nb + b
1
� X
i n
i=1
+
n i=1
b
2
� X
2i
+ b
3
� X
i n
i=1 n
i=1
2.24
Universitas Sumatera Utara
untuk b
1
: ∂S
∂b
1
= 2 �Y
i
− b − b
1
X
1i
− b
2
X
2i
− b
3
X
3i
−X
1i n
i=1
= 0
−2X
1i
�Y
i
− b − b
1
X
1i
− b
2
X
2i
− b
3
X
3i
= 0
n i=1
� X
1i
Y
i
− b � X
1i n
i=1
− b
1
� X
1i 2
− b
2
� X
1i
X
2i
− b
3
� X
3i n
i=1 n
i=1
= 0
n i−1
n i=1
� X
1i
Y
i
= b � X
1i n
i=1
+ b
1
� X
1i 2
n i−1
+ b
2
� X
1i
X
2i
+ b
3
� X
1i
X
3i n
i=1 n
i=1
2.25
n i=1
untuk b
2
: ∂S
∂b
1
= 2 �Y
i
− b − b
1
X
1i
− b
2
X
2i
− b
3
X
3i
−X
2i n
i=1
= 0
−2X
2i
�Y
i
− b − b
1
X
1i
− b
2
X
2i
− b
3
X
3i
= 0
n i=1
� X
2i
Y
i
− b � X
2i n
i=1
− b
1
� X
1i
X
2i
− b
2
� X
2i 2
n i=1
− b
3
� X
2i
X
3i n
i=1
= 0
n i−1
n i=1
� X
2i
Y
i
= b � X
2i n
i=1
+ b
1
� X
1i
X
2i
+ b
2
� X
2i 2
n i=1
n i−1
+ b
3
� X
2i
X
3i n
i=1
2.26
n i=1
Untuk b
3
: ∂S
∂b
3
= 2 �Y
i
− b − b
1
X
1i
− b
2
X
2i
− b
3
X
3i
−X
3i n
i=1
= 0
−2X
3i
�Y
i
− b − b
1
X
1i
− b
2
X
2i
− b
3
X
3i
= 0
n i=1
� X
3i
Y
i
− b � X
3i n
i=1
− b
1
� X
1i
X
3i
− b
2
� X
2i
X
3i
− b
3
� X
3i 2
n i=1
n i=1
= 0
n i−1
n i=1
� X
3i
Y
i
= b � X
3i n
i=1
+ b
1
� X
1i
X
3i
+ b
2
� X
2i
X
3i
+ b
3
� X
3i 2
n i=1
n i=1
n i−1
n i=1
2.27
Universitas Sumatera Utara
Dengan demikian diperolehlah empat buah persamaan untuk menentukan nilai b
0,
b
1
, b
2
dan b
3
yaitu: � Y
i
= nb + b
1
� X
1i n
i=1
+
n i=1
b
2
� X
2i
+ b
3
� X
i n
i=1 n
i=1
� X
1i
Y
i
= b � X
1i n
i=1
+ b
1
� X
1i 2
n i−1
+ b
2
� X
1i
X
2i
+ b
3
� X
1i
X
3i n
i=1 n
i=1 n
i=1
� X
2i
Y
i
= b � X
2i n
i=1
+ b
1
� X
1i
X
2i
+ b
2
� X
2i 2
n i=1
n i−1
+ b
3
� X
2i
X
3i n
i=1 n
i=1
� X
3i
Y
i
= b � X
3i n
i=1
+ b
1
� X
1i
X
3i
+ b
2
� X
2i
X
3i
+ b
3
� X
3i 2
n i=1
n i=1
n i−1
n i=1
2.28
2.3 Kesalahan Relatif
