BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Regresi Linier Sederhana
Regresi linier sederhana merupakan bagian regresi yang mencakup hubungan linier satu peubah acak tak bebas Y dengan satu peubah bebas X. Hubungan linier Y dan X
dari satu populasi disebut garis regresi populasi yang dinyatakan persamaan sebagai berikut:
µ
Y.X
= E YX = α + βX
1
µ
Y.X
= rata-rata Y untuk nilai X tertentu α
= jarak titik pangkal dengan titik potong garis regresi dengan sumbu Y intercept
= nilai Y tanpa pengaruh X β
= kemiringan slope atau gradien garis regresi = besarnya peubah Y sebagai akibat peubahan X satu satuan
Kalau ingin menduga rataan
µ
Y.X
, maka nilai Y perlu ditentukan untuk suatunilai X tertentu. Nilai Y tersebut untuk X
i
tertentu dinyatakan dengan Y
i
. Nilai Y
i
Universitas Sumatera Utara
dan
µ
Y.X
pada umumnya tidak sama. Perbedaan tersebut tergantung pada ketepatan model untuk menggambarkan keadaan yang sebenarnya dan ketepatan pengukuran
peubah Y dan X.
Perbedaan antara Y
i
dan
µ
Y.X
disebut galat acak random error dan dinyatakan dengan simbol
ε
i.
Dengan demikian:
ε
i
= Y
i
-
µ
Y.X
2
Dari persamaan ini diperoleh model regresi l;inier sederhana dari suatu populasi sebagai berikut:
Y
i
= α + βX
i
+ ε
i
3
Paramenter β
o
dan β
1
diduga dengan menggunakan garis regresi. Bentuk persamaan garis regresi adalah sebagai berikut:
Ŷ = a + b X
4
Dimana: a = intersept, jarak titik pangkal dan titik potong garis regresi dengan sumbu Y
b = koefisien regresi
Universitas Sumatera Utara
Dalam hal ini: a
merupakan penduga titik bagi α
b merupakan penduga titik bagi
β Ŷ merupakan penduga titik bagi
µ
Y.X
Nilai a dan b diperoleh dengan menggunakan metode kuadrat terkecil least – squares methode. Metode kuadrat terkecil merupakan satu cara memperoleh a dan b,
prinsip dari kuadrat terkecil meliputi meminimumkan jumlah dari simpangan kuadrat the sum of squared deviations dari nilai-nilai observasi terhadap nilai rata-ratanya.
Cara meminimumkannya adalah sebagai berikut:
S =
n
i 1
e
i 2
=
n
i 1
Y
i
– Ŷ
2
=
n
i 1
Y
i
– a – bX
i 2
5
Menghitung turunan S terhadap a dan b, hasilnya sebagai berikut:
a
S
=
i i
i
bX a
Y a
2
=
i i
i
bX a
Y 1
2 = -2
i i
i
bX a
Y
b
S =
i i
i
bX a
Y b
2
=
i i
i i
X bX
a Y
2
= -2
i i
i i
bX a
Y X
Samakan kedua hasil turunan tersebut dengan nol 0, maka diperoleh syarat minimum adalah:
Universitas Sumatera Utara
-2
i i
i
bX a
Y = 0
-2
i i
i i
bX a
Y X
= 0 5
Dari dua persyaratan diatas diperoleh persamaan normal sebagai berikut:
n a + b
n i
i
X
1
=
n i
i
Y
1
a
n
i i
X
1
+ b
n
i i
X
1 2
=
n
i i
i
Y X
1
6
dan dari persamaan normal diperoleh:
b =
n i
n i
i i
n i
n i
i n
i i
i i
X n
X Y
X n
Y X
1 1
2 1
1 1
1 1
=
n i
i i
n i
i
X X
Y Y
X X
1 2
1
a =
Ŷ – bX 7
atau a =
2 2
2 i
i i
i i
i i
X X
n Y
X X
X Y
b =
2 2
i i
i i
i i
X X
n Y
X Y
X n
8
Universitas Sumatera Utara
Dengan menyelesaikan persamaan-persamaan ini, maka akan memperoleh nilai koefisien a dan nilai koefisien b.
2.2 Regresi Linier berganda
Bila regresi linier sederhana digunakan untuk mengetahui hubungan dua variabel yaitu satu variabel bebas X dan satu variabel tak bebas Y , maka regresi linier berganda
digunakan untuk mengetahui hubungan antara dua variabel atau lebih variabel bebas X dengan variabel tak bebas Y dan juga digunakan untuk meramalkan nilai
variabel tak bebas Y jika seluruh variabel bebasnya sudah diketahui nilainya dan semua koefisien regresi parsial sudah dihitung.
Bila jika dalam regresi linier sederhana hanya ada satu variabel bebas X yang dihubungkan dengan variabel tak bebas y linier dalam X, sehingga bentuk taksiran
Y = a + bX, maka dalam regresi linier berganda terdapat sejumlah sebut saja k buah, k1 variabel bebas yang yang dihubungkan dengan linier dalam semua variabel
bebas. Jika variabel bebas
1
X
,
2
X
,
3
X , …,X
k
dan variabel tak bebas Y, maka bentuk umum linier berganda atas X
1
, X
2
, X
3
, … X
k
akan ditaksir oleh :
Y = a + b
1
X
1
+b
2
X
2
+b
3
X
3
+…+b
k
X
k
Dengan konstanta a dan koefisien a
1
, a
2
, a
3
,…,a
k
dapat ditaksir berdasarkan n buah pasangan data X
1
, X
2
, X
3
, … , X
k
. Y seperti halnya mencari a dan b dalam model
Y = a + bX diperlukan n buah pasangan data X dan Y, maka untuk mencari a, a
1
, a
2
, …, a
k
diperlukan juga pasangan data X
1
, X
2
,…, X
k
,Y.
Universitas Sumatera Utara
Dengan menggunakan metode kuadrat terkecil, maka koefisien – koefisien a, a
1
, a
2
dapat dihitung dengan sistem persamaan :
Y
=
2 2
1 1
X a
X a
na
1
YX
=
2 1
2 2
1 1
1
X X
a X
a X
a
2
YX
=
2 2
2 2
1 1
2
X a
X X
a X
a
Untuk mendapatkan harga – harga a, a
1,
dan a
2
dari persamaan di atas disusun menurut datanya dan kemudian dapat diselesaikan dengan metode eliminasi dan
substitusi.
2.3 Uji Keberartian Regresi
Kategori