Peluang State n Langkah Peluang Steady State

Untuk n langkah, secara umum dapat diperoleh: n 1 1 1 1 P P P P P P P P P P = = = = = n- n- n- n- n 2.12 Oleh karena itu, matriks probabilitas n langkah n P dapat diperoleh memangkatkan n matriks peluang transisi satu langkah P.

2.3.3. Peluang State n Langkah

Dalam proses Rantai Markov, sistem pada awalnya berada pada state i, kemidian setelah n transisi akan berada pada state j dengan peluang yang diberikan oleh suku i, j dari matriks P. secara umum, jika didefinisikan vektor baris   , 2 , 1 , 2 1 = = n , , p p p n n n adalah vektor peluang state setelah n langkah n j p yaitu vektor peluang berada pada state j setelah n langkah, dimana n ≥ 1, j ≥ 0. ∑ ∑ ∑ ∞ = ∞ = ∞ = = = = = = = = = = = | , i n ij i i n i n n n j p p i x j x p i x p i x j x p j x p p 2.13 Karena n ij p merupakan peluang tansisi setelah n langkah sehingga n ij p adalah elemen dari n P , maka persamaan 2.7 di atas dapat ditulis dalam bentuk vektor dan matriks seperti berikut:  , , n p p n n 2 1 , = = P 2.14 keterangan: n p = Peluang state pada waktu ke n,  , , n 2 1 = p = Peluang state pada awal proses. n P = Matriks peluang transisi P setelah n langkah. Universitas Sumatera Utara Vektor peluang berada pada state j setelah n langkah n j p juga dapat ditunjukkan dengan persamaan berikut ∑ ∑ ∑ ∞ = ∞ = − − ∞ = − = = = = = = = = = = 1 1 1 | , i n ij i i n n n i n n n n j p p i x j x p i x p i x j x p j x p p 2.15 Jika dituliskan dalam bentuk vektor dan matriks, maka persamaan 2.9 di atas menjadi  , , n p p n n 2 1 , 1 = = − P 2.16 keterangan: n p = Peluang state pada waktu ke n,  , , n 2 1 = 1 − n p = Peluang state pada waktu ke n-1. P = Matriks peluang transisi

2.3.4. Peluang Steady State

Peluang steady state merupakan peluang transisi yang telah mencapai kondisi seimbang atau kondisi tetap. Kondisi sistem pada suatu waktu pengamatan, pada dasarnya tidak dapat ditentukan dengan pasti, yang dapat dilakukan adalah menentukan peluang untuk semua keadaan yang mungkin terjadi. Untuk menentukan peluang steady state dilakukan dengan menguraikan setiap peluang state sistem tersebut dalam sebuah vektor kolom atau vektor keadaan Anton dan Rorres, 2005. Didefinisikan bahwa sebuah matriks transisi P disebut matriks peluang transisi reguler bujur sangkar jika terdapat suatu bilangan bulat positif m sedemikian sehingga seluruh entri m P adalah besar atau sama dengan nol. Universitas Sumatera Utara                 = m m m m m m m m m m m m m m m m m nn n n n n n n P P P P P P P P P P P P P P P P 2 1 2 1 22 21 20 12 11 10 02 01 00          P dimana ≥ m ij P Teorema 2.3.1 Anton dan Rorres, 2005 Jika P adalah sebuah matriks transisi regular, maka             → k k k n q q q q q q q q q P        2 2 2 1 1 1 pada saat ∞ → n . Dengan i q adalah bilangan –bilangan positif sedemikian sehingga 1 2 1 = + + + k q q q  2.17 Jika dimisalkan matriks             = k k k q q q q q q q q q        2 2 2 1 1 1 Q dan             = k q q q q  2 1 Matriks Q adalah matriks peluang transisi, dengan seluruh kolomnya sama dengan vektor peluang q. jika x adalah suatu vektor probabilitas, maka             + + + + + + + =                         = k k k k k k k k k k x q x q x q x q x q x q x q x q x q x x x q q q q q q q q q x                2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 1 2 2 2 1 1 1 Q [ ] q q q q q x x x x k k = =             + + + = 1 2 1 2 1   Q Universitas Sumatera Utara Dengan kata lain, Q mentransformasikan setiap vektor peluang x menjadi vektor peluang tetap q. Apabila ada P adalah sebuah matriks transisi regular dan x adalah suatu vektor peluang, maka berlaku q q q q x P k n =             →  2 1 2.18 pada saat ∞ → n . dimana q merupakan sebuah vektor peluang tetap yang tidak tergantung pada n dan seluruh elemen dari q adalah positif. Teorema 2.3.2 Anton dan Rorres, 2005 Vektor keadaan tetap q dari sebuah matriks transisi regular P merupakan vektor probabilitas yang unik dan memenuhi persamaan q q = P 2.19 Jika diketahui sebuah matriks peluang transisi regular P, maka dapat ditunjukkan bahwa terdapat vektor keadaan q yang unik tunggal . Karena 1 + = n n P P P Maka untuk ∞ → n , n P dan 1 + n P akan menuju sebuah matriks Q dan berlaku Q Q P = dimana matriks Q adalah matriks peluang transisi, dengan seluruh kolomnya sama dengan vektor peluang q             = k k k q q q q q q q q q        2 2 2 1 1 1 Q dan             = k q q q q  2 1 sehingga diperoleh bentuk q q = P Universitas Sumatera Utara Untuk menunjukkan bahwa q adalah satu-satunya vektor peluang yang memenuhi persamaan 2.11, andaikan v adalah sembarang vektor peluang sedemikian sehingga v v = P Selanjutnya  , , n v v n 2 1 , = = P Ketika ∞ → n , maka v n P menuju matriks q. Sehingga q adalah merupakan solusi tunggal. Universitas Sumatera Utara

2.5. Kerangka Pemikiran