A
3x4
adalah matriks A yang memiliki 3 baris dan 4 kolom atau disebut juga matriks A berdimensi 3x4.
Elemen matriks bisa berisi rangkaian bilangan riil sehingga matriksnya disebut real-valued matricel. Notasi A
∈ R
nxm
berarti A memilki elemen bilangan riil dan berdimensi n baris m kolom. Matriks bisa juga berisi campuran antara
bilangan riil dan imajiner sehingga matriksnya disebur complex-value matrice. Matriks memilki jenis yang bermacam-macam. Salah satunya adalah matriks baris
yaitu matriks yang terdiri dari satu baris data. Sebaliknya matriks kolom adalah matriks yang terdiri dari satu kolom data. Vektor adalah rangkaian data angka
dalam satu baris atau kolom. Oleh sebab itu matriks baris dan matriks kolom otomatis merupakan vektor. Skalar adalah sebuah angka tunggal.
Suatu matriks berukuran m ×n atau matriks m×n adalah suatu jajaran
bilangan berbentuk persegi panjang yang terdiri dari m baris dan n kolom. Matriks tersebut dinotasikan dalam bentuk:
= B …
C
…
C
… …
… …
…
C
D
Setiap bilangan
E
dalam matriks ini dinamakan elemen matriks. Indeks j dak k berturut-turut menyatakan baris dan kolom dari unsur matriks tersebut.
2.2.1 Matriks Identitas dan Determinan Matriks
Matriks identitas adalah matriks diagonal dimana nilai elemen diagonal utamanya masing-masing adalah satu sedangkan nilai elemen off-diagonalnya adalah sama
dengan nol. Matriks identitas memilki sifat seperti angka satu. Artinya, jika matriks identitas dikalikan dengan matriks lain asal dimensinya terpenuhi maka
hasilnya akan tetap sama dengan nilai semua matriks tersebut. Determinan matriks A det A atau |A| adalah skalar yang dihitung melalui
proses reduksi dan ekspansi dengan menggunakan minor dan kofaktor. Berikut langkah-langkah yang dapat dilakukan untuk memperoleh determinan matriks:
Universitas Sumatera Utara
1. Pilih baris atau kolom yang akan diekspansi dan kemudian tentukan nilai minor
M
ij
matriks B dengan cara menghitung determinan submatriks yang tersisa setelah baris i dan kolom j dihilangkan.
2. Hitung matriks kofaktor B
c
sesuai dengan nilai minor terkait dengan menggunakan rumus B
ij
= -1
i+j
M
ij
. 3.
Hitung det = ∑
I
E E C
EJ
dimana I
E
adalah nilai elemen baris 1 matriks B baris yang diekspansi.
Selain teknik tersebut ada alternatif yang mungkin lebih sederhana untuk menghitung determinan, yaitu dengan menjumlahkan hasil kali elemen-elemen
yang sejajar dengan diagonal utama dan menguranginya dengan hasil kali elemen- elemen yang berlawanan arah dengan diagonal utama.
2.3 Eigenvalue dan Eigenvector
Vektor kolom X merupakan eigenvector matriks A dan λ
adalah eigenvalue atau sering disebut juga characteristic value. Jika A adalah sebuah matriks
bujursangkar berukuran × dan X adalah suat vektor kolom, persamaan:
AX = λ
X dimana
λ adalah suatu bilangan, dapat ditulis sebagai:
B …
C
…
C
… …
C C
… … …
CC
D B…
C
D = λ B…
C
D
Atau − K +
+ ⋯ +
C C
= 0 + − K + ⋯ +
C C
= 0
C C
… … … … … … … … … … … … … … +
C C
+ ⋯ +
CC
− K
C
= 0 N
Penyelesaian tersebut akan mempunyai persamaan tak trivial jika dan hanya jika
O − K
− K …
C
…
C
… …
C C
… …
…
CC
− K O = 0
Universitas Sumatera Utara
yang dapat ditulis sebagai det − K
yang merupakan suatu suku banyak berderajat n dalam λ
. Akar dari persamaan suku banyak ini disebut eigenvalue nilai eigen dari atau nilai karakteristik dari
matriks A. Untuk setiap eigenvalue nilai eigen akan ada penyelesaian X ≠
yang merupakan suatu penyelesaian tak trivial yang dinamakan eigenvector vektor eigen atau vektor karakteristik dari nilai eigennya.
2.4 Dekomposisi Matriks
