SEJARAH MATEMATIKA DAN MATEMATIKAWAN DUNIA

DOSEN PENGAMPUH :

1. Dr. Somakim , M.Pd

2. Dr. Eli Susanti, M.Pd

PRODI MAGISTER PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNIVERSITAS SRIWIJAYA

SEJARAH FUNGSI Yeni Widiastuti (06022681721001) Email : yeniwidiastuti393@gmail.com

A. PENDAHULUAN

Beberapa bidang matematika berhubungan secara langsung atau tidak langsung dengan fungsi: analisis matematis mempertimbangkan fungsi dari satu, dua, atau n variabel, mempelajari sifat-sifatnya dan juga sifat turunannya; teori persamaan diferensial dan integral bertujuan untuk memecahkan persamaan dimana fungsi yang tidak diketahui adalah fungsi; analisis fungsional bekerja dengan ruang yang terdiri dari fungsi; dan analisis numerik mempelajari proses pengendalian kesalahan dalam evaluasi semua jenis fungsi yang berbeda. Bidang matematika lainnya berhubungan dengan konsep yang membentuk generalisasi atau perkembangan dari gagasan fungsi; Sebagai contoh, aljabar mempertimbangkan operasi dan relasi, dan logika matematika mempelajari fungsi rekursif.

Telah lama diperdebatkan bahwa fungsi harus merupakan konsep mendasar dalam matematika sekolah menengah (Klein, 1908/1945) dan orientasi kurikulum terbaru dengan jelas menekankan pentingnya fungsi (National Council of Teachers Mathematics, 1989). Bergantung pada sudut pandang matematis yang dominan, pengertian fungsi dapat dilihat dalam sejumlah cara yang berbeda, masing-masing memiliki implikasi pendidikan yang berbeda.

Makalah ini mengulas beberapa aspek yang lebih menonjol dari sejarah konsep fungsi, dan membahas penggunaannya dalam kegiatan pembelajaran di sekolah.

B. TINJAUAN SEJARAH

Konsep fungsi dianggap sebagai salah satu yang paling penting dalam semua matematika. Sebagai intinya, garis, dan bidang adalah elemen dasar Konsep fungsi dianggap sebagai salah satu yang paling penting dalam semua matematika. Sebagai intinya, garis, dan bidang adalah elemen dasar

Konsep fungsi telah berkembang secara signifikan dari waktu ke waktu. Sampai Abad Pertengahan, konsep fungsi tidak muncul dengan definisi, meskipun pengertian tentang hubungan fungsional ada. Contoh fungsi tertentu dapat ditemukan pada zaman purba; misalnya menghitung, menyiratkan korespondensi antara seperangkat benda yang diberikan dan barisan perhitungan bilangan; empat operasi aritmatika dasar, yang merupakan fungsi dua variabel; dan tabel Babilonia yaitu reciprocal, kuadrat, akar kuadrat, kubik, dan akar kubik. (Ponte, 1992).

Gambar 1. Table of Reciprocal, Square, and Square Secara historis, beberapa matematikawan dapat dianggap telah

meramalkan dan mendekati perumusan modern tentang konsep fungsi. Diantaranya adalah Oresme (1323-1382), yang mengembangkan teori geometrik garis lintang bentuk yang mewakili tingkat intensitas dan ekstensi yang berbeda. Dalam teorinya, beberapa gagasan umum tentang jumlah variabel independen dan dependen tampaknya hadir. Namun kemunculan fungsi dalam penelitian matematika sebagai konsep individual yang jelas dan sebagai objek studi dengan sendirinya sangat baru sampai akhir abad ke-17.

Munculnya gagasan fungsi sebagai entitas matematika individual dapat ditelusuri pada permulaan kalkulus yang sangat kecil. Descartes (1596-1650) dengan jelas menyatakan bahwa sebuah persamaan dalam dua variabel, yang digambarkan secara geometris oleh sebuah kurva, mengindikasikan ketergantungan antara jumlah variabel. Gagasan turunan muncul sebagai cara untuk menemukan garis singgung pada setiap titik kurva ini.

Newton (1642-1727) adalah salah satu matematikawan pertama yang menunjukkan bagaimana fungsi dapat dikembangkan dalam rangkaian daya tak terbatas, sehingga memungkinkan terjadinya intervensi proses tak terbatas. Dia menggunakan "fluent" untuk menunjuk variabel independen, "relata quantitas" untuk menunjukkan variabel dependen, dan "genita" untuk merujuk pada jumlah yang diperoleh dari yang lain menggunakan empat operasi aritmatika fundamental.

Leibniz (1646-1716) yang pertama kali menggunakan istilah "fungsi" pada tahun 1673. Dia mengambil fungsi untuk menunjuk, dalam istilah yang sangat umum, ketergantungan jumlah geometris seperti subtansi dan subnormal pada bentuk kurva. Dia juga memperkenalkan istilah "konstan," "variabel," dan "parameter".

Dengan berkembangnya studi kurva dengan metode aljabar, sebuah istilah untuk mewakili kuantitas yang bergantung pada satu variabel dengan menggunakan ekspresi analitis semakin diperlukan. Akhirnya, "fungsi" diadopsi untuk tujuan itu dalam korespondensi oleh Leibniz dan Jean Bernoulli (1667- 1748).

Istilah fungsi tidak muncul dalam kamus matematika yang diterbitkan pada tahun 1716. Dua tahun kemudian, bagaimanapun, Jean Bernoulli menerbitkan sebuah artikel, yang akan menyebarkan secara luas, yang berisi definisi tentang fungsi suatu variabel sebagai jumlah yang disusun dengan cara Istilah fungsi tidak muncul dalam kamus matematika yang diterbitkan pada tahun 1716. Dua tahun kemudian, bagaimanapun, Jean Bernoulli menerbitkan sebuah artikel, yang akan menyebarkan secara luas, yang berisi definisi tentang fungsi suatu variabel sebagai jumlah yang disusun dengan cara

, menambahkan sentuhannya pada definisi tersebut yang berbicara tentang ekspresi analitis dan bukan kuantitas.

Oleh karena itu, konsep fungsi diidentifikasi dalam praktik dengan konsep analitis ekspresi. Perumusan ini segera dianggap menimbulkan beberapa ketidakcocokan; Sebenarnya, fungsi yang sama bisa ditunjukkan oleh beberapa ekspresi analitis yang berbeda. Perumusannya juga menghasilkan keterbatasan pada kelas fungsi. Dalam terminologi ini, kita dapat mengatakan bahwa definisi Euler hanya mencakup fungsi analitik, subset terbatas dari kelas fungsi kontinyu yang sudah kecil. Sadar akan kekurangan ini, Euler mengusulkan sebuah definisi alternatif yang saat ini tidak banyak menarik perhatian. Pada abad ke-19, bagaimanapun, pengertian fungsi mengalami pembesaran dan klarifikasi secara berturut-turut yang sangat mengubah sifat dan maknanya.

Dorongan yang signifikan terhadap pembesaran konsep fungsi muncul lebih dulu dari kontroversi yang terkenal mengenai masalah senar yang bergetar. Masalah ini bisa diwakili oleh persamaan

Dimana y, variabel dependen, menunjukkan perpindahan dari posisi ekuilibrium, x mewakili jarak dari titik asal, dan t mengindikasikan waktu.Sejauh ini menyangkut matematika arus utama, identifikasi fungsi dengan ekspresi analitis akan tetap tidak berubah untuk semua abad ke-18. Pada abad ke-19, bagaimanapun, pengertian fungsi mengalami perkembangan dan klarifikasi secara berturut-turut yang sangat mengubah sifat dan maknanya. Euler dalam bukunya mendefinisikan fungsi sebagai berikut :

“ A function of a variable quantity is an analytic expression composed in any way whatsoever of the variable quantity and numbers or constant quantities.”

Kontribusi penting lainnya terhadap evolusi fungsi berasal dari karya Fourier (1768-1830), yang peduli dengan masalah aliran panas di badan material. Fourier dianggap sebagai suhu sebagai fungsi dari dua variabel, yaitu waktu dan ruang. Pada titik tertentu, dia menduga bahwa akan memungkinkan untuk mendapatkan pengembangan fungsi apapun dalam rangkaian trigonometri dalam interval yang sesuai. Fourier, bagaimanapun, tidak pernah memberikan bukti matematis dari asersinya. Masalahnya kemudian diambil oleh Dirichlet (1805- 1859) yang merumuskan kondisi yang cukup sehingga sebuah fungsi dapat diwakili oleh deret Fourier. Untuk melakukannya, Dirichlet perlu memisahkan konsep fungsi dari representasi analitisnya. Dia melakukan ini pada tahun 1837, memberikan definisi fungsi dalam hal korespondensi sewenang-wenang antara variabel yang mewakili rangkaian numerik. Sebuah fungsi, kemudian, menjadi korespondensi antara dua variabel sehingga untuk setiap nilai dari variabel independen, ada hubungan satu dan hanya satu nilai dari variabel dependen.

Dengan berkembangnya teori himpunan, diprakarsai oleh Cantor (1845- 1918), konsep fungsi terus berkembang. Pada abad ke-20, fungsi diperluas untuk mencakup semua korespondensi sewenang-wenang yang memenuhi kondisi keunikan antara perangkat, numerik atau nonnumerik.

Evolusi fungsi terus berlanjut. Dari pengertian korespondensi, matematikawan beralih ke pengertian relasi. Relatif dekat dengan konsep fungsi merupakan konsep primitif dalam teori kategori. Dalam teori perhitungan, misalnya, seperti dalam l-kalkulus, sebuah fungsi tidak dipandang sebagai relasi tapi sebagai aturan komputasi.

Pada permulaannya, pengertian fungsi digunakan untuk menunjuk korespondensi antara entitas geometris. Melalui hubungannya dengan studi ekspresi analitis, fungsi merupakan dasar dalam arus utama pemikiran matematis.

C. PEMBELAJARAN FUNGSI DI SEKOLAH

Pentingnya fungsi dalam matematika sekolah telah berkembang pesat dalam beberapa abad yang lalu. Fungsi telah berkembang dari yang sedikit terwakili dalam matematika sekolah menjadi topik matematika inti. C.B. Boyer (1946) mengakui "Perkembangan konsep fungsi telah merevolusi matematika dengan cara yang sama seperti peningkatan geometri non-Euclidean yang hampir simultan. Ini telah mengubah matematika dari sains alami murni - ratu sains - menjadi sesuatu yang sangat besar. Hal tersebut telah menetapkan matematika sebagai dasar dari semua pemikiran yang pasti – logika dari semua kemungkinan relasi "(Markovits, Eylor, & Bruckheimer, 1986, hal 18).

Felix Klein, seorang matematikawan Jerman, adalah seorang advokat untuk konsep fungsi yang termasuk dalam matematika sekolah. Klein menekankan pandangan bahwa "'pemikiran fungsional' harus dijadikan prinsip pengikatan atau pemersatu matematika sekolah" (Hamley, 1934a, hal.169).

Pidato dan dokumen historis, seperti Klein pada Evanston Colloquium tahun 1893, pidato kepresidenan Moore tahun 1902 kepada American Mathematical Society, The Reorganization of Mathematics in Secondary Education Report (1923), dan The Report of Progressive Education and Joint Committee (1940), menganjurkan bahwa fungsi dan "relational thinking" menjadi konsep inti dalam matematika sekolah.

Untungnya, rekomendasi tersebut dibuat beberapa dekade yang lalu yang berkaitan dengan pentingnya fungsi, dan kebutuhan untuk segera mengintegrasikan konsep fungsi ke dalam matematika sekolah oleh para peneliti tidak diabaikan. Rekomendasi yang dibuat mengenai fungsi beberapa dekade Untungnya, rekomendasi tersebut dibuat beberapa dekade yang lalu yang berkaitan dengan pentingnya fungsi, dan kebutuhan untuk segera mengintegrasikan konsep fungsi ke dalam matematika sekolah oleh para peneliti tidak diabaikan. Rekomendasi yang dibuat mengenai fungsi beberapa dekade

Kebanyakan siswa di sekolah menengah banyak kesulitan dalam berpikir abstrak. Bagi banyak orang, berurusan dengan grafik Cartesian dan ekspresi aljabar bukanlah tugas yang mudah. Ajaran fungsi perlu mengartikulasikan secara seimbang tiga bentuk representasi terpenting, yaitu bentuk numerik, grafis, dan aljabar.

Hal ini akan menjadi kesalahan tafsir yang serius tentang pentingnya representasi analitik dan geometris dari fungsi sehingga memungkinkan untuk mengecilkan peran aspek numerik pada pembelajaran tentang fungsi, terutama tabel dan perhitungan. Dalam situasi dunia nyata, nilai numerik konkret mendasari ungkapan aljabar dan kurva geometris. Matematikawan dari abad 17 dan 18 menghabiskan banyak waktu untuk melakukan operasi aritmatika, mencari pola dan hubungan. Newton, misalnya, mengisi banyak halaman dengan perhitungan aritmatika panjang. Penelitian telah menemukan bahwa dalam interpretasi hubungan fungsional yang diberikan melalui grafik Cartesian, siswa sering menggunakan strategi penalaran numerik, yang dengannya mereka lebih percaya diri (Ponte, 1984).

Dapat dikatakan bahwa banyak kesulitan yang dialami siswa dalam matematika sekolah timbul dari tekanan untuk berurusan dengan entitas yang lebih abstrak, tanpa memperhatikan landasan alami mereka. Untuk membangun dan menganalisis tabel, menghitung nilai numerik, mengembangkan pemikiran kuantitatif, dan mendapatkan gagasan untuk perkiraan yang dapat diterima dan Dapat dikatakan bahwa banyak kesulitan yang dialami siswa dalam matematika sekolah timbul dari tekanan untuk berurusan dengan entitas yang lebih abstrak, tanpa memperhatikan landasan alami mereka. Untuk membangun dan menganalisis tabel, menghitung nilai numerik, mengembangkan pemikiran kuantitatif, dan mendapatkan gagasan untuk perkiraan yang dapat diterima dan

Interpretasi ciri - ciri signifikan fungsi dari grafik Cartesian tentu layak mendapat tempat yang pasti dalam kurikulum matematika. Gagasan yang terkait dengan variasi, seperti kenaikan, penurunan, keteguhan, maksimum, dan minimum, dan dengan variasi variasi, seperti variasi cepat dan lambat, tingkat perubahan, kelancaran, kontinuitas, dan diskontinuitas, lebih baik dipahami dari representasi grafis. Mampu menyeimbangkan matematis berarti dapat menggunakan konsep ini untuk membuat prediksi, interpolasi, dan ekstrapolasi; untuk dapat membangun hubungan antara fungsi yang berbeda dengan grafik; dan juga, untuk dapat membangun kurva regresi yang mendekati hubungan untuk data yang diperoleh secara empiris dan memiliki gagasan tentang tingkat hubungan antara dua variabel.

Tentu, mengerjakan dengan ekspresi analitis terus menjadi penting. Tapi, yang lebih mendasar daripada kemampuan siswa untuk memanipulasi ekspresi panjang dan rumit dengan benar, adalah bahwa siswa memahami makna ungkapan ini dalam situasi nyata. Rumus dari geometri, fisika, dan dari ilmu lain dapat diambil sebagai contoh dan dieksplorasi dari sudut pandang yang beragam.

Beberapa perkembangan teknologi terkini mungkin memiliki peran yang sangat penting dalam mempelajari fungsi. Terutama yang penting adalah kalkulator grafis dan komputer dengan perangkat lunak yang sesuai seperti spreadsheet , graph plotter, dan program manipulasi simbol. Instrumen teknologi ini, yang digunakan secara bijak di kelas matematika, dapat membantu siswa mengembangkan pemahaman matematis yang lebih dalam, memfasilitasi proses dugaan, dan menguji dan membuat generalisasi. Teknologi ini juga dapat memberi siswa kekuatan yang diperlukan untuk memecahkan masalah yang lebih Beberapa perkembangan teknologi terkini mungkin memiliki peran yang sangat penting dalam mempelajari fungsi. Terutama yang penting adalah kalkulator grafis dan komputer dengan perangkat lunak yang sesuai seperti spreadsheet , graph plotter, dan program manipulasi simbol. Instrumen teknologi ini, yang digunakan secara bijak di kelas matematika, dapat membantu siswa mengembangkan pemahaman matematis yang lebih dalam, memfasilitasi proses dugaan, dan menguji dan membuat generalisasi. Teknologi ini juga dapat memberi siswa kekuatan yang diperlukan untuk memecahkan masalah yang lebih

Tentunya mungkin untuk mendefinisikan fungsi dalam bentuk yang sangat umum, misalnya, rangkaian pasangan terurut, yang menekankan perspektif aljabar dalam matematika dasar. Ini bukan merupakan dasar yang sesuai untuk menghasilkan teori matematika dasar yang mudah diakses, kaya akan hasil menarik dan aplikasi yang signifikan.

Sebaliknya, fungsi numerik memiliki sifat dasar yang sangat menarik, memiliki representasi geometris yang sederhana dan intuitif, dan berguna untuk menggambarkan berbagai jenis situasi. Hal ini memungkinkan siswa untuk beroperasi dari landasan pengetahuan terdahulu dan dalam banyak representasi situasi yang dengannya mereka sudah terbiasa.

Fungsi numerik, memanfaatkan pengerjaan sebelumnya yang dilakukan dengan aritmatika dan aljabar dasar, memberikan perspektif baru untuk melihat gagasan yang sebelumnya dihadapi dan membangun jembatan menuju geometri melalui representasi Cartesian. Oleh karena itu, fungsi numerik adalah cara yang sangat tepat untuk memperkenalkan gagasan fungsi penting dan lebih umum.

D. KESIMPULAN

Fungsi-fungsi yang dipelajari dalam analisis matematis dan digunakan dalam aplikasi dipertahankan sebagai pusat gagasan ketergantungan antar variabel numerik. Mereka yang dianggap aljabar menekankan pengertian hubungan dan yang dipelajari dalam logika matematika dan ilmu komputer sebagian besar menghargai aspek algoritmik.

Dalam istilah pedagogis, tampaknya tepat untuk menyajikan fungsi sebagai korespondensi antara kumpulan numerik. Contoh bagus yang dengannya Dalam istilah pedagogis, tampaknya tepat untuk menyajikan fungsi sebagai korespondensi antara kumpulan numerik. Contoh bagus yang dengannya

Matematika sekolah telah lama berfokus pada manipulasi aljabar; Namun, kemampuan untuk mengatasi ekspresi aljabar tidak cukup untuk memecahkan masalah nyata. Siswa perlu diberikan kesempatan untuk berlatih dan refleksi untuk memecahkan masalah yang signifikan. Dalam hal ini, teknologi dapat memainkan peran pendidikan yang penting, mengubah fokus dari proses mekanis dan berulang hingga pemahaman aljabar dan kalkulus sebagai instrumen yang memungkinkan pemodelan situasi nyata. Teknologi dapat digunakan untuk melakukan manipulasi atau mendapatkan solusi dalam model matematika, menyederhanakan aspek rutin kerja dan membiarkan konsentrasi yang lebih kuat pada aspek yang benar-benar penting dalam melakukan dan belajar matematika: pemahaman tentang makna konsep, perumusan masalah, pemahaman tentang sifat mereka, penjabaran strategi yang sesuai, dan diskusi dan analisis kritis mereka secara menyeluruh.

DAFTAR PUSTAKA

Caraça, B. J. (1951). Conceitos Fundamentais da Matemática (1st joint ed. of parts I,

II and III). Lisbon: Sá da Costa. Klein, F. (1945). Elementary mathematics from an advanced standpoint. (E. R.

Hedrick & C. A. Noble, Trans.). New York: Dover. National Council of Teachers of Mathematics. (1989). Curriculum and evaluation

standards for school mathematics. Reston, VA: Author. Niss, M. (1987). Aims and scope of applications and modelling in mathematics

curricula. Plenary Conference at the Third International Congress for Teaching Mathematics with Applications. Kassel, RFA.

Ponte, J. P. (1984). Functional reasoning and the interpretation of Cartesian graphs. Unpublished doctoral dissertation, University of Georgia, Athens.

Ponte, J. P. (1992). The history of the concept of function and some educational implications. The Mathematics, 3(2), 3 – 8.

Sears, R., & Tran, D., & Lee, S. W., & Thomas, A. (2016). Function concept: learning from history. Transformation, 1(1), 14 – 23.

Youschkevitch, A. P. (1976/77). The concept of function up to the middle of the 19th century. Archive for History of Exact Sciences, 16, 37-85.

SEJARAH PERSAMAAN KUADRAT

Nurma Lestari (06022681721002) Email : lestarinurma787@gmail.com

A. Latar Belakang Sejarah

1. Persamaan Kuadrat pada jaman kekaisaran Babilonia Kekaisaran Babilonia ada sekitar 2000-500 SM dan yang berada disekitar pantai Palestina jauh ke Asia Barat. Namun, selama periode Babilonia yang akan dibahas, itu terkandung di selatan Mesopotamia, daerah yang relatif kecil di sekitar mulut sungai Eufrat dan Tigris. Dari negara-negara modern di daerah itu, Mesopotamia selatan memiliki tanah yang paling sama dengan Irak. Lembaran tanah liat yang dikenal sebagai BM 13.901 ( 'BM' adalah singkatan dari British Museum) adalah salah satu teks matematika tertua Babilonian, yang telah tertanggal sekitar 2000-1800 SM, pada tengah Zaman Perunggu dari wilayah itu (kira-kira 2000-1600 SM) .

Pada jaman itu, orang-orang Babilonia telah mendapatkan solusi dari persamaan kuadrat, diterjemahkan ke notasi modern, cukup menyerupai rumus kuadrat modern yang terkenal. Namun, ini 'menerjemahkan ke notasi modern' tidak boleh diambil terlalu ringan: tidak hanya merupakan lembaran yang ditulis dalam teks cuneiform, sistem nomor yang digunakan adalah sexagesimal (basis

60) dan karena bangsa Babilonia belum mengenal rumus, maka solusinya ditulis dengan kata-kata. Hal itu agak sulit dimengerti, makanya rumus penyelesaian yang kita pakai sekarang bukan dari solusi yang dipakai oleh bangsa Babilonia.

2. Persamaan Kuadrat pada jaman kekaisaran Arab Kekaisaran Arab (atau Islam) dapat dikatakan berasal di abad ke-7 AD, ketika mengalami ekspansi yang cepat. Karena posisinya yang berada di pusat di benua Eurasia, hal itu memberikan keuntungan yang banyak bagi sistem perdagangan. Kontak luas dengan budaya lain ternyata juga membawa 2. Persamaan Kuadrat pada jaman kekaisaran Arab Kekaisaran Arab (atau Islam) dapat dikatakan berasal di abad ke-7 AD, ketika mengalami ekspansi yang cepat. Karena posisinya yang berada di pusat di benua Eurasia, hal itu memberikan keuntungan yang banyak bagi sistem perdagangan. Kontak luas dengan budaya lain ternyata juga membawa

Pada suatu periode, Baghdad yang dikatakan sebagai modal intelektual kekaisaran, karena disana terdapat House of Wisdom. House of Wisdom memiliki perpustakaan besar dan banyak teks Yunani yang diterjemahkan ke Bahasa Arab ada, saat itu sedang di bawah pimpinan Khalifah Al-Ma'mun (yang memerintah 813-833), House of Wisdom juga menjadi pusat untuk pekerjaan matematika dan astronomi.

Muhammad ibn Musa al-Khawarizmi adalah salah satu dari orang-orang yang datang ke House of Wisdom. Al-Khawarizmi diperkirakan lahir di wilayah Khwarezm, yang saat ini dikenal dengan Uzbekistan. Namun, yang tampaknya hanya menjadi conjecturing berdasarkan namanya, tidak ada banyak diketahui tentang hidupnya.

Al-Khwarizmi melakukan banyak pekerjaan di astronomi dan aljabar, tapi ia menjadi terkenal karena bukunya berjudul “The Compendious Book on Calculation by Completion and Reduction”. Buku ini berisi tentang persamaan kuadrat, yang diterbitkan sekitar 825. Dalam buku ini, Al-Khwarizmi membagi persamaan kuadrat dalam enam jenis: Karena ia hanya bisa menghitung dengan

2 angka non-negatif (positif), persamaan bentuk x 2 + Ax = b dan x + B = ax akan menjadi dua jenis yang berbeda. Dia kemudian melanjutkan untuk memecahkan

setiap jenis persamaan secara sistematis. Meskipun solusi dari persamaan kuadrat sudah dikenalkan oleh bangsa Babilonia, namun solusi yang ditemukan oleh Al-Khawarizmi adalah hal yang berbeda. Mungkin dipengaruhi oleh karya matematikawan Yunani, Ia menjelaskan permasalahan dalam lingkup geometri dan memberikan ilustrasi geometris untuk beberapa contohnya.

B. Matematika Babilonia

Perhatikan gambar lembaran tanah liat dibawah Lembaran tanah liat ini sekarang berada di British Museum. Lembaran itu berisi contoh bagaimana untuk memecahkan persamaan kuadrat. Lembaran tanah liat tersebut telah diterjemahkan ke banyak bahasa. Adapun solusi dari persamaan kuadrat yang ada pada jaman Babilonia yaitu :

x + bx = z , maka solusinya yaitu x = √(

Pada jaman Babilonia, mereka belum mengenal bilangan negatif, maka solusi yang didapat dari persamaan kuadrat hanya solusi bilangan positif. Jika dilihat dari rumus solusi bangsa Babilonia dan dibandingkan dengan rumus modern yang kita ketahui sekarang, jelas solusi bangsa Babilonia ini lebih mudah.

C. Matematika Arab

Bangsa Babilonia yang mampu memecahkan kasus tertentu dari permasalahan kuadrat. Al-Khwarizmi, bagaimanapun, memberikan solusi umum untuk masalah ini. Ini adalah sebuah langkah besar untuk kedepannya. Matematikawan Babilonia yang baik harus hati-hati dalam mempertimbangkan setiap masalah kuadrat baru ( 'baru' yang berarti 'memiliki nomor yang berbeda'). Sementara itu, Al-Khwarizmi hanya bisa menerapkan metode nya. Hal ini dapat menjamin temuannya karena kurang rentan terhadap kesalahan, lebih mudah dan lebih cepat.

Al-Khwarizmi membagi masalah kuadrat menjadi enam jenis. Kita akan mempelajari salah satu dari mereka, yaitu : x 2 + bx = z. Ini adalah jenis yang

sama dari formula yang kita dianggap sebelumnya, tapi kali ini, kita akan menggunakan metode Al-Khwarizmi untuk menyelesaikannya. Sebagai contoh,

sekarang kita akan memecahkan x 2 + 10x = 39, dan ini akan menggambarkan metode yang dapat digunakan pada setiap jenis masalah x 2 + bx = z. Kita mulai

dengan menggambar-gambar untuk membantu memvisualisasikan sisi kiri dari persamaan.

Kita potong persegi panjang 10x (bagi dua) dan potongannya pindahkan ke bagian bawah, maka terlihat seperti pada gambar dibawah

Daerah yang ditarik di atas harus sama dengan 39. Selanjutnya, kita memecahkan x 2 + 10x = 39. Namun, kita melihat bahwa kita dapat

menyelesaikan persegi besar dengan menambahkan persegi kecil di kanan bawah. Luas persegi kecil ini adalah 5* 5 = 25.

Bagian x 2 dan potongan 5x bersama-sama memiliki daerah 39. Wilayah putus-putus adalah 25. Jadi total luas persegi besar adalah 39 + 25 = 64. Luas

persegi diberikan oleh persegi sisinya, yang berarti sisi itu = 64. Maka panjang sisnya = 8. Sehingga, panjang sisnya = x + 5. Jadi x + 5 = 8, atau x = 3. Al- Khwarizmi menegaskan pada langkah akhir dari metodenya, daerha persegi besar adalah sama dengan luas total dua kotak dan dua persegi panjang yang membentuk persegi besar. Sekarang perhatikan umum persamaan x 2 + bx = z.

D. Penggunaan Rumus Persamaan Kuadrat

Sebuah persegi panjang memiliki rasio tertentu antara panjang dan lebar. Lalu, ada sebuah pertanyaan, “Apakah ada ada sebuah persegi yang sempurna?”. Orang Yunani percaya bahwa ini adalah Golden Rectangle, dibangun oleh

Golden Ratio. Banyak dari unsur-unsur persegi panjang dari Parthenon, misalnya, Golden Rectangle perkiraan. Saat ini kita masih sering menggunakan rasio ini, misalnya sebagai dimensi untuk foto dan ukuran Handphone (HP).

Untuk membangun Golden Rectangle, persegi panjang harus memiliki sisi panjang sama dengan satu dan sisi pendek sama dengan x. Kemudian hapus persegi x dengan x dari persegi panjang. Orang Yunani percaya bahwa untuk menemukan Golden Rectangle, perlu bahwa persegi panjang besar dan kecil memiliki proporsi yang sama. Jadi kita perlu =

Sekarang kita telah menemukan Golden Ratio, kita akan melihat konsep matematika yang tampaknya sama sekali tidak berhubungan dan akan kita hubungkan ke kehidupan nyata. Sebagai contoh, terdapat sepasang kelinci muda (kelinci jantan dan betina) di dalam hutan di tahun awal. Kita hanya fokus pada populasi kelinci dewasa, jadi kita mengatakan bahwa ada nol pasang kelinci di tahun awal (meskipun kita menjaga pasangan kelinci muda dalam pikiran, karena akan menjadi dewasa tahun depan). Pada tahun satu, pasangan kelinci ini dewasa. tahun setelah itu, sepasang kelinci menghasilkan dua kelinci muda (jantan dan betina). Pada tahun ketiga, kita memiliki dua pasang kelinci dewasa, dan pasangan asli dari kelinci telah melahirkan sepasang anak kelinci muda yang lain. Tahun berikutnya kami memiliki tiga pasang dewasa (dan dua pasang Sekarang kita telah menemukan Golden Ratio, kita akan melihat konsep matematika yang tampaknya sama sekali tidak berhubungan dan akan kita hubungkan ke kehidupan nyata. Sebagai contoh, terdapat sepasang kelinci muda (kelinci jantan dan betina) di dalam hutan di tahun awal. Kita hanya fokus pada populasi kelinci dewasa, jadi kita mengatakan bahwa ada nol pasang kelinci di tahun awal (meskipun kita menjaga pasangan kelinci muda dalam pikiran, karena akan menjadi dewasa tahun depan). Pada tahun satu, pasangan kelinci ini dewasa. tahun setelah itu, sepasang kelinci menghasilkan dua kelinci muda (jantan dan betina). Pada tahun ketiga, kita memiliki dua pasang kelinci dewasa, dan pasangan asli dari kelinci telah melahirkan sepasang anak kelinci muda yang lain. Tahun berikutnya kami memiliki tiga pasang dewasa (dan dua pasang

Sebagai ikhtisar : kita dapat menemukan Golden Ratio (yang sering digunakan 'bentuk yang sempurna' untuk persegi panjang) dengan rumus kuadrat. The Golden Ratio muncul di tempat-tempat yang mengejutkan, misalnya ketika mempelajari populasi kelinci abadi dan menggunakan angka- angka pada daun bunga desi.

Ilmu Balistik

Contoh lain dari penerapan rumus kuadrat dapat ditemukan di balistik. Galileo adalah orang dalam menunjukkan bahwa bumi berputar mengelilingi matahari bukan sebaliknya. Ia juga mengilustrasikan untuk model lemparan bola (atau penembakan bola meriam). Galileo membedah gerakan menjadi horisontal komponen x konstan (mengabaikan hambatan udara) dan vertikal komponen y, pemodelan gravitasi dengan konstan percepatan g. Kami mengatakan bahwa bola mulai bergerak di x = y = 0 dan awalnya memiliki kecepatan u di horisontal arah dan kecepatan v dalam arah vertikal (ke atas). Maka posisi bola dapat ditulis

sebagai x = ut, y = vt 2 gt .

Persamaan Kuadrat dan Rem Mobil

Galileo menjalani kehidupan yang produktif. Dia menyadari bahwa, mulai dari posisi 0, posisi s dapat ditulis sebagai s = ut + 2 at . Dalam rumus ini, a

adalah percepatan, t adalah waktu dan u adalah awal kita kecepatan. Kami sekarang memiliki formula yang memungkinkan kita untuk mengisikannya ke kecepatan awal, akselerasi dan posisi, dan rumus akan memberi kita waktu adalah percepatan, t adalah waktu dan u adalah awal kita kecepatan. Kami sekarang memiliki formula yang memungkinkan kita untuk mengisikannya ke kecepatan awal, akselerasi dan posisi, dan rumus akan memberi kita waktu

Secara intuitif, kita mungkin berpikir bahwa dua kali lipat kecepatan kita akan menggandakan jarak berhenti. Rumus ini telah menemukan dan memberitahu bahwa menghentikan jarak kita akan benar-benar empat kali lipat. Dengan cara ini, rumus kuadrat memberi kita informasi penting tentang cara mengemudi dengan aman.

E. Solusi dari Persamaan Kuadrat yang Kita Gunakan sekarang (Rumus Modern)

Ada tiga cara dalam mencari akar-akar atau solusi dari persamaan kuadrat, yaitu:

1. Pemfaktoran Cara ini adalah cara yang sudah dipelajari sebelumnya, atau prasyarat dari persamaan kuadrat yaitu memfaktorkan bentuk aljabar. Kalau pada materi sekolah yaitu untuk jenjang kelas 8 SMP, dan persamaan kuadrat untuk jenjang kelas 9 SMP.

2. Kuadrat Sempurna Cara ini sebenarnya bukan menggunakan rumus atau mensubtitusikan apa yang diketahui ke dalam rumus, tapi hanya memanipulasi bentuk aljabar agar bisa mencari nilai x.

3. Rumus ABC Cara menemukan rumus ABC juga dengan cara memanipulasi bentuk aljabarnya, Sehingga didapat rumus :

x 1,2 =

F. Kesimpulan

Kita telah mengikuti rumus kuadrat selama berabad-abad. Dimuali dari jaman kekaisaran Babilonia, yang sudah sudah mempunyai solusi dari persamaan kuadrat. Kemudian kita temui bukti geometris dari rumus kuadrat oleh matematikawan Arab yaitu Al-Khwarizmi. Selain menjelaskan sejarah dari solusi persamaan kuadrat, terdapat juga penerapan dari persamaan kuadrat dalam kehidupan nyata.

DAFTAR PUSTAKA

Bill T. Arnold. (2004). Who were the Babylonians? Society of Biblical Literature, Leiden.

B.L. van der Waerden, (1961). Translation by Arnold Dresden Science Awakening Oxford University Press, New York,

Chris Budd., & Chris Sangwin 101 uses of a quadratic equation. Diakses dari http://plus.maths.org/issue29/features/quadratic/index.html

Chris Budd., & Chris Sangwin 101 uses of a quadratic equation: Part II. Diakses dari http://plus.maths.org/issue29/features/quadratic/index.html

Ian, S. (1998). Het magisch labyrinth: de wereld bezien door wiskundige ogen Nieuwezijds, Amsterdam.

John F., & Jan, V. N. (2000). History in mathematics education: the ICMI study Kluwer, Dordrecht.

L. van Gelder. Reader for the course „Ori entatie op de Communicatieve en Educatieve Praktijk‟ Utrecht University, Utrecht.

Leo, V. D. B. (2003). De Wageningse Methode Tamminga bv, Duiven. Maurice, C. (1994). Essai sur le savoir mathmatique dans la Msopotamie et l‟gypte

anciennes Presses Universitaires de Lille, Lille. Shipper, A., & Spoelstra, S. (2010). Illustrating the Quadratic Formula with Al-

Khwarizmi‟s Algebra. Universiteit Utrecht. Diakses dari William, P., & Berlinghoff & Fernando, Q. (2004). Gouvˆea Math Through the

Ages: A Gentle History for Teachers and Others Oxton House Publishers & The Mathematical Association of America.

SEJARAH ILMU ARITMATIKA Baidil, S.Pd (06022681721003)

Email : baidil1988@gmail.com

A. Pendahuluan Sejarah merupakan suatu kejadian yang telah terjadi pada masa lampau

yang disusun berdasarkan peninggalan-peninggalan berbagai peristiwa. Aritmatika adalah cabang matematika yang berkaitan dengan hitungan. Dalam bahasa arab aritmatika sering dikenal dengan nama ilmu “al hisab”.Adapun ruang lingkup kajiannya adalah melakukan proses perhitungan atas benda benda yang didapati dalam kehidupan sehari hari. Perhitungan tersebut meliputi proses penjumlahan, pengurangan, perkalian serta pembagian.

Untuk kepentingan perrhitungan tersebut para ahli matematika menciptakan satu set simbol bilangan yang merunjuk pada “kuantitas” tertentu. Misalnya, simbol 1 memiliki nilai tertentu, yang tentunya akan berbeda dengan simbol 2, 3 dan seterusnya. Simbol-simbol inilah yang kita sebut dengan “angka”.

B. Definisi dan Sejarah Tokoh Aritmatika Aritmetika berasal dari kata yunani ἀριθμός (baca: arithmos) yang artinya

angka. Aritmatika ialah cabang tertua dan terdasar dari matematika yang digunakan oleh hampir semua orang, dari perhitungan dasar sehari-hari sampai perhitungan di dunia bisnis dan sains. Aritmatika yang digunakan sehari-hari oleh kita semua biasanya hanya aritmatika dasar yang mencakup penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian, padahal masih banyak lagi cabang- cabang dari aritmatika yang lebih kompleks seperti pemangkatan, persentase, akar, dll. Yang menggunakan aritmatika kompleks seperti teori bilangan dan sebagainya ialah para ahli-ahli matematika dan ilmuwan-ilmuwan sains.

Johann Carl Friedrich Gauß (juga dieja Gauss) merupakan tokoh Aritmatika yang lahir di Braunschweig, 30 April 1777 dan meninggal di Göttingen, 23 Februari 1855 pada umur 77 tahun, adalah matematikawan, astronom, dan fisikawan Jerman yang memberikan beragam kontribusi. Ia dipandang sebagai salah satu matematikawan terbesar sepanjang masa selain Archimedes dan Isaac Newton. Dilahirkan di Braunschweig, Jerman, saat umurnya belum genap 3 tahun, ia telah mampu mengoreksi kesalahan daftar gaji tukang batu ayahnya. Menurut sebuah cerita, pada umur 10 tahun, ia membuat gurunya terkagum-kagum dengan memberikan rumus untuk menghitung jumlah suatu deret aritmatika berupa penghitungan deret 1+2+3+...+100. Di sekolahnya, Gauss dikenal merupakan anak yang dapat dikatakan seorang pembuat masalah, namun juga merupakan orang yang memiliki kemampuan memecahkan masalah. Pada saat itu, gurunya memberikan soal sulit pada anak muridnya yang juga termasuk Gauss di dalamnya. Saat itu Gauss terbilang masih muda untuk menyelesaikan soal perhitungan 1+2+3+4+...+100. Gurunya bermaksud memberikan soal ini agar sang guru tak perlu mengajar dan dapat beristirahat. Dia yakin bahwa untuk menyelesaikan soal tersebut, butuh waktu lama. Namun, ternyata Gauss berhasil memecahkannya dalam waktu yang cepat. Sang guru pun terkagum-kagum dengan hasil pemecahan Gauss yang cepat dan tepat. Gauss menciptakan cara untuk menghitung deret aritmatika. Cara yang Gauss ciptakan untuk menghitung deret aritmatika tersebut memang telah disederhanakan menjadi rumus " Dn = n/2 (U1+Un)" yang lebih sederhana, namun tetap berdasarkan cara yang ditemukan Gauss sendiri. Meski cerita ini hampir sepenuhnya benar, soal yang diberikan gurunya sebenarnya lebih sulit dari itu.

C. Filosopi Sejarah Aritmatika Diperkirakan manusia sudah mengenal aritmatika sejak zaman prasejarah

atau sebelum ditemukannya tul isan, sekitar 20.000 SM−18.000 SM. Ini

dibuktikan dengan ditemukannya tulang ishango di Kongo, Afrika. Pada tulang betis kera purba tersebut terdapat goresan-goresan tegak lurus. Menurut penemunya Jean de Heinzelin de Braucourt (seorang ilmuwan Belgia), goresan- goresan tersebut adalah cara yang dipakai oleh manusia purba dalam berhitung. Setiap goresan melambangkan angka yang dihitungnya. Sistem ini juga digunakan oleh bangsa Sumeria untuk menghitung jumlah ternaknya, tulisan berbentuk baji ini ditulis di atas tanah liat yang digores dengan menggunakan logam. Perkembangan selanjutnya goresan-goresan yang banyak tersebut diubah menjadi simbol dan mulai digunakan oleh orang Mesir. Angka-angka berbentuk simbol atau gambar (disebut juga dengan hieroglif) ini yang mengartikan jumlah tertentu. Aritmetika mulai berkembang pesat saat zaman Yunani. Tahun 1200 SM, Leonardo of Pisa menulis dalam “Liber Abaci” tentang penggunaan metode India sebagai metode menghitung yang luar biasa. Mereka menggunakan angka/simbol Hindu-Arab dengan menggunakan sembilan angka dan simbol nol. Fibonacci memperkenalkan metode ini dan menyebarluaskan ke Eropa penggunaan angka bergaya India ini (Latin Modus Indorum). Angka-angka inilah yang kita kenal sekarang sebagai angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, dan 0.

Sejarah tertua dari Aritmatika ialah sejarah dari bangsa mesir dan babilonia kuno yang menggunakan operasi aritmatika sejak 2000 tahun sebelum masehi. Operasi aritmatika dasar digunakan untuk kegiatan sehari-hari seperti berdagang, bertransaksi, dan lain-lain, sementara aritmatika kompleks atau rumit digunakan untuk merancang bangunan dan alat-alat lain. Sistem bilangan pada jaman dahulu bukanlah sistem desimal (basis 10) seperti saat ini tetapi sistem sexagesimal (basis 60) untuk bangsa babilonia dan vigesimal (basis 20) untuk bangsa maya kuno. Sistem angka pun awalnya bukan sistem angka arab (0,1,2...) seperti yang sekarang banyak digunakan tetapi kebanyakan negara-negara menggunakan sistem angka romawi (I,II,III...), angka romawi sudah tidak banyak digunakan sekarang karena angka romawi tidak mengenal angka 0.

Lalu, siapakah penemu angka nol?

Sebuah sumbangan yang sangat cerdas untuk aritmatika dibuat oleh Abu Abdullah Muhammad bin Musa al-Khwarizmi (780-850 M)--- seorang ahli matematika muslim kelahiran Khwarizm Kheva, sebuah kota di sebelah selatan sungai Ocus Uzbekistan---- yang telah menciptakan angka nol atau “Sifr” untuk pertama kalinya pada tahun 830 M, dalam sebuah karyanya yang terkenal yaitu Al-Maqala fi Hisab al-Jabr wa al-Muqabalah (The Book of Summary in the Proces of Calculation for Compulsion and Equation). Mulai saat itu lahirlah satu sistem bilangan desimal baru yang dilengkapi dengan simbol nol, sebagai tanda kelipatan sepuluh, kelipatan seratus, kelipatan seribu, kelipatan sejuta dan seterusnya, sebagaimana yang kita gunakan sekarang ini.

Aritmatika, selanjutnya mendapat tempat yang luas dari para filosuf atau ilmuan muslim pada saat itu. Misalnya saja, oleh Ibnu Sina dalam bukunya yang berjudul “al-Syifa”, ia telah mengabadikan aritmatika dalam bukunya tersebut

dengan judul “al-Hisab”.

D. Penelitian Yang berkaitan dengan Aritmatika Adapun Penelitian yang sudah di lakukan oleh Orang- Orang baik sebagai

Mahasiswa maupun Seorang Guru atau Dosen untuk mempelajari Aritmatika lebih lanjut antara lain :

1. Penelitian yang di lakukan oleh Nurhikmah¹, Sudarman Bennu dan Sutji Rochaminah² merupakan ¹Mahasiswa Program Studi Magister Pendidikan Sains Pascasarjana Universitas Tadulako ²Dosen Pengajar Program Studi Magister Pendidikan Sains Pascasarjana Universitas Tadulako, dengan judul penelitian „‟ PENERAPAN MODEL PEMBELAJARAN KOOPERATIF

TIPE THINK PAIR

SHARE

UNTUK MENINGKATKAN

KEMAMPUAN KOMUNIKASI MATEMATIS PADA MATERI ARITMATIKA SOSIAL SISWA KELAS VII SMP NEGERI 9 PALU‟‟ KEMAMPUAN KOMUNIKASI MATEMATIS PADA MATERI ARITMATIKA SOSIAL SISWA KELAS VII SMP NEGERI 9 PALU‟‟

2. Penelitian Hairil Anwar di Sekolah Menengah Kejuruan Negeri 4

Banjarmasin Kalimantan Selatan, dengan judul penelitian „‟ HASIL BELAJAR BARISAN DAN DERET ARITMATIKA MELALUI

PEMBELAJARAN SKRIP KOOPERATIF „‟ dalam Jurnal Penelitian Tindakan dan Pendidikan 3(2)-2017.

3. Penelitian Rifda Khairunnisa1), Nining Setyaningsih2) Universitas

Muhammadiyah, dengan judul „‟ ANALISIS METAKOGNISI SISWA DALAM PEMECAHAN MASALAH ARITMATIKA SOSIAL

DITINJAU DARI PERBEDAAN GENDER‟‟ dalam PROSIDING ISSN: 2502-6526.

E. Manfaat Belajar Aritmatika Melalui belajar aritmatika seorang anak akan memperoleh banyak manfaat

diantaranya:

1) Meningkatkan kemampuan berhitung lebih cepat di atas rata-rata anak.

2) Kemampuan cara berfikir lebih cepat dan tepat.

3) Menyeimbangkan penggunaan otak kiri dan otak kanan serta mengoptimalkannya untuk mencapai tingkat berfikir yang analitis dan logika berfikir yang benar.

(4)Terlatihnya daya fikir dan konsentrasi, membantu anak untuk menguasai pelajaran yang lainnya. (5) Menumbuh kembangkan imajinasi sehingga kreatifitas anak berkembang.

(6) Membiasakan diri dengan angka-angka, membuat anak tidak lagi alergi pada pelajaran eksakta. (7) Biasanya dalam mengerjakan soal matematika yang menjadi kendala adalah lupa rumus dan tidak tahu berhitung, olehnya harus belajar aritmatika dan perlu belajar mental aritmatika membantu meningkatkan daya ingat.

Manfaat aritmatika dalam kehidupan sehari-hari: Operasi aritmatika dasar digunakan untuk kegiatan sehari-hari seperti berdagang, bertransaksi, dan lain-lain. Aritmatika kompleks atau rumit digunakan untuk merancang bangunan dan alat-alat lain.

F. Kesimpulan Aritmatika berasal dari kata yunani ἀριθμός (baca: arithmos) yang artinya

angka. Aritmatika ialah cabang tertua dan terdasar dari matematika yang digunakan oleh hampir semua orang, dari perhitungan dasar sehari-hari sampai perhitungan di dunia bisnis dan sains. Operasi-operasi aritmatika dasar ialah penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Operasi-operasi ini disebut operasi dasar karena merupakan dasar dari operasi-operasi aritmatika tingkat kompleks. Fungsi aritmatika merupakan kumpulan fungsi yang berisi perintah-perintah untuk mengolah data yang berupa numerik (angka). Operasi aritmatika dasar digunakan untuk kegiatan sehari-hari seperti berdagang, bertransaksi, dan lain-lain, sementara aritmatika kompleks atau rumit digunakan untuk merancang bangunan dan alat-alat.

SEJARAH BILANGAN PRIMA DAN APLIKASINYA

Lia Sulistiani (06022681721004)

Email : liasulistiani4546@gmail.com

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Bangsa Mesir sepanjang sungai Nil di Afrika, bangsa Babilonia sepanjang sungai Tigris dan Eufrat, bangsa Hindu sepanjang sungai Indus dan Gangga, bangsa Cina sepanjang sungai Huang Ho dan Yang Tze. Bangsa-bangsa itu memerlukan keterampilan untuk mengendalikan banjir, mengeringkan rawa- rawa, membuat irigasi untuk mengolah tanah sepanjang sungai menjadi daerah pertanian untuk itu diperlukan pengetahuan praktis, yaitu pengetahuan teknik dan matematika bersama - sama. Sejarah menunjukkan bahwa permulaan Matematika berasal dari bangsa yang bermukim sepanjang aliran sungai tersebut. Mereka memerlukan perhitungan, penanggalan yang bisa dipakai sesuai dengan perubahan musim. Diperlukan alat-alat pengukur untuk mengukur persil-persil tanah yang dimiliki. Peningkatan peradaban memerlukan cara menilai kegiatan perdagangan, keuangan dan pemungutan pajak. Untuk keperluan praktis itu diperlukan bilangan-bilangan yang salah satunya adalah bilangan prima.

B. Tujuan

Adapun tujuan dari makalah ini antara lain :

1. Untuk mengetahui definisi bilangan prima.

2. Untuk mengetahui perkembangan bilangan prima.

3. Untuk mengetahui manfaat/ aplikasi bilangan prima dikehidupan.

BAB II PEMBAHASAN

A. Pengertian Bilangan Prima

Bilangan prima adalah bilangan bulat lebih dari 1 yang hanya habis dibagi 1 dan bilangan itu sendiri. Bilangan prima adalah bilangan bulat positif lebih besar dari satu yang memiliki tepat hanya dua faktor, yaitu bilangan 1 (satu) dan bilangan itu sendiri. Bilangan selain bilangan prima - yang memiliki lebih dari dua faktor - dan selain bilangan 1 (satu) disebut sebagai bilangan komposit. Bilangan 1 adalah kasus khusus, tidak termasuk ke bilangan prima ataupun komposit.

B. Sejarah Bilangan Prima

Manusia telah mengenal bilangan prima sejak 6500 SM. Tulang Ishango yang ditemukan pada tahun 1960 (sekarang disimpan di Musee d‟Histoire Naturelle di Brussels) membuktikan hal tersebut. Beberapa orang menduga bahwa manusia

telah mengenal bilangan prima sekitar 8000 tahun yang lalu. Hal ini terkait dengan penemuan tulang Ishango di Afrika oleh para arkeolog, pada tulang tersebut terdapat tiga kolom takik, Salah satu kolomnya memiliki 11, 13, 17, dan 19 takik. Pada satu kolom terdapat bilangan prima antara 10 sampai dengan 20. Beberapa ahli sejarah lainnya berpendapat bahwa takik pada tulang tersebut hanya sebuah catatan tanggal dan secara tidak sengaja berupa bilangan prima.

Tulang Ishango Ada petunjuk dalam catatan bertahan Mesir kuno bahwa mereka punya pengetahuan tentang bilangan prima: di Mesir fraksi ekspansi di Rhind Papirus, misalnya, memiliki bentuk yang berbeda untuk bilangan prima dan komposit.

Namun, catatan awal yang masih bertahan studi eksplisit bilangan prima berasal dari Yunani Kuno.

Buku “Elements” karya Euclid diterbitkan sekitar 300 tahun sebelum masehi yang menjadi bukti beberapa hasil terkait bilangan prima. Pada bagian IX dari “Elements”, Euclid menulis kemungkinan terdapat begitu banyak bilangan prima, mendekati tak hingga. Euclid juga memberi bukti teori dasar dari Aritmatika, dimana setiap bilangan bulat dapat ditulis sebagai hasil perkalian bilangan prima secara unik. Pada buku “Elements”, Euclid menyelesaikan masalah tentang bagaimana menciptakan angka sempurna, dimana bilangan bulat positif setara dengan jumlah dari pembagi positif, menggunakan bilangan prima Mersenne.

Pada abad XVII, penelitian terhadap bilangan prima dilanjutkan kembali setelah berabad-abad berhenti. Pada tahun 1640, Pierre de Fermat memulainya dengan membuat Teorema Ke cil Fermat (Fermat‟s Little Theorem) yang nantinya akan dibuktikan oleh Leibniz dan Euler. Kasus khusus dari teorema ini mungkin telah diketahui oleh bangsa Cina sebelumnya, namun belum ada bukti yang pasti mengenai hal ini. Lama setelah itu, Euler menemuk an “lubang”pada teorema ini. Sebagai pengganti, seorang Prancis, Marin Mersenne, membuat suatu bentuk baru dari bilangan prima yang akhirnya namanya diabadikan menjadi nama bilangan ini, yaitu bilangan prima Mersenne (Mersenne prime). Cara penentuan inipun belum sempurna karena terdapat beberapa prima semu diantaranya. Sampai abad

XIX, banyak matematikawan masih beranggapan bahwa 1 adalah bilangan prima, dengan definisi bilangan prima adalah bilangan yang habis dibagi satu dan bilangan tersebut tanpa membatasi jumlah pembagi. Pada abad XIX, Legendre dan Gauss membuat sebuah konjektural untuk menghitung banyaknya bilangan prima yang kurang dari atau sama dengan suatu bilangan. Konjektural ini akhirnya dibuktikan pada tahun 1896 dan berganti nama menjadi Teorema Bilangan Prima (Prime Number Theorem). Sebelumnya, pada tahun 1859, Riemann mencoba XIX, banyak matematikawan masih beranggapan bahwa 1 adalah bilangan prima, dengan definisi bilangan prima adalah bilangan yang habis dibagi satu dan bilangan tersebut tanpa membatasi jumlah pembagi. Pada abad XIX, Legendre dan Gauss membuat sebuah konjektural untuk menghitung banyaknya bilangan prima yang kurang dari atau sama dengan suatu bilangan. Konjektural ini akhirnya dibuktikan pada tahun 1896 dan berganti nama menjadi Teorema Bilangan Prima (Prime Number Theorem). Sebelumnya, pada tahun 1859, Riemann mencoba

Beberapa tokoh dalam penemuan bilangan prima :

Eratosthenes Pada tahun 200 sebelum masehi, Eratosthenes membuat algoritma untuk