Sedangkan kesamaan kesalahan invers lain dengan kesalahan penukaran penjumlahan adalah siswa tidak tepat dalam memberi perlakuan pada kedua
ruas. Kesalahan penghapusan dan kesalahan penukaran penjumlahan dapat dikurangi dengan memberi penekanan tentang invers.
3. Kesalahan Menghitung
Jenis kesalahan ini ditandai seperti: − + = −
Ada banyak penjelasan tentang mengapa siswa melakukan kesalahan ini. Siswa mungkin bingung
− + dengan − + , atau ia mungkin
manyalahgunakan aturan urutan operasi. Siswa berpikir bahwa hal pertama yang dilakukan adalah menjumlahkan dan , kemudian tanda negatif
ditangani hanya dengan menempatkannya di depan . Salah satu alasan siswa melakukan hal tersebut adalah kurangnya penguasaan siswa terhadap
materi manipulasi
angka negatif,
dan keterampilan
dalam menyederhanakan persamaan yang telah diajarkan sebelum topik
persamaan linear. Kurangnya penguasaan materi tersebut menjadi hambatan keberhasilan dalam memecahkan persamaan linear.
D. Persamaan Linear Satu Variabel
1. Persamaan Linear dengan Satu Variabel
Materi matematika yang dibahasa dalam penelitian ini adalah Persamaan Linear Satu Variabel PLSV pada kelas VII. Kompetensi dasar
yang perlu dikuasai siswa adalah membuat dan menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan Persamaan Linear Satu
Variabel. Dalam setiap pembelajaran, materi Persamaan Linear Satu Variabel
diawali dengan Kalimat Terbuka. Kalimat Terbuka adalah kalimat yang belum dapat ditentukan benar-salahnya, sebab masih mengandung variabel.
Contoh kalimat terbuka diantaranya: i
A adalah faktor dari . ii
+ = Kalimat i bernilai benar jika lambang A diganti dengan , , , atau dan
bernilai salah jika lambang A diganti dengan 3. Variabel peubah banyak digunakan dalam kalimat terbuka.
Penyelesaian atau jawab adalah pengganti dari variabel peubah yang
menyebabkan kalimat terbuka menjadi kalimat pernyataan yang benar.
Persamaan adalah kalimat terbuka yang menyatakan hubungan sama
dengan “=”. Contoh persamaan:
+ =
+ =
– = +
Persamaan linear satu variabel adalah kalimat terbuka dengan satu
variabel yang memiliki hubungan sama dengan “=”, dan variabelnya hanya berpangkat satu. Persamaan Linear Satu Variabel mempunyai bentuk
umum:
+ = Dimana dan adalah konstanta real dan
≠ . Penyelesaian persamaan tersebut diberikan oleh:
= −
2. Himpunan Penyelesaian Persamaan Linear Satu Variabel
Himpunan penyelesaian adalah himpunan semua penyelesaian dari
suatu kalimat terbuka. Salah satu cara yang dapat digunakan siswa dalam menemukan himpunan penyelesaian Persamaan Linear Satu Variabel
adalah substitusi. Cara substitusi artinya menyelesaikan persamaan dengan cara mengganti variabel dengan bilangan yang sesuai sehingga persamaan
tersebut menjadi kalimat yang bernilai benar. Berikut ini adalah contoh penyelesaian Persamaan Linear Satu Variabel dalam menentukan himpunan
penyelesaian dengan cara substitusi: Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan: + =
Jika variabel pada himpunan bilangan cacah.
Penyelesaian:
Jika diganti bilangan cacah, diperoleh:
substitusi = , maka + = kalimat salah
substitusi = , maka + = kalimat salah
substitusi = , maka + = kalimat salah
substitusi = , maka + = kalimat benar
substitusi = , maka + = kalimat salah
Ternyata untuk = , persamaan + = menjadi kalimat yang
benar. Jadi, himpunan penyelesaian persamaan + = adalah { }.
3. Persamaan-Persamaan yang Ekuivalen
Dua persamaan atau lebih dikatakan ekuivalen jika mempunyai penyelesaian atau akar yang sama. Notasi untuk ekuivalen pada persamaan
adalah “⇔”. Contoh: i
+ = Jika diganti bilangan , maka persamaan tersebut menjadi:
+ = yang merupakan kalimat benar.
Jadi, penyelesaian persamaan + =
adalah . ii
+ =
Jika diganti bilangan , maka persamaan tersebut menjadi: × +
= yang merupakan kalimat benar.
Jadi, penyelesaian persamaan +
= adalah .
iii +
= Jika diganti bilangan , maka persamaan tersebut menjadi:
× + =
yang merupakan kalimat benar. Jadi, penyelesaian persamaan
+ =
adalah . Berdasarkan uraian di atas tampak bahwa ketiga persamaan
mempunyai penyelesaian yang sama, yaitu . Dengan demikian, persamaan i, ii, dan iii dapat dituliskan sebagai:
+ = ⇔
+ =
⇔ + =
Suatu persamaan dapat dinyatakan ke dalam persamaan yang ekuivalen dengan cara:
a. Menambah atau mengurangi, mengkali atau membagi kedua ruas
persamaan dengan bilangan yang sama; Persamaan linear dapat dianalogikan sebagai timbangan
keseimbangan. Ruas kiri dan ruas kanan dari sebuah persamaan adalah dua wadah keseimbangan. Jika dengan menambah atau mengurangi
berat yang sama pada kedua wadah, maka timbangan akan tetap seimbang. Demikian juga dengan persamaan, jika kedua ruas
ditambahkan atau dikurangkan, dikalikan atau dibagi asalkan bilangan yang dikali atau dibagi tersebut bukan bilangan nol dengan bilangan
yang sama, persamaan tersebut tetap ekuivalen. Untuk menyelesaikan sebuah persamaan, dapat menambahkan, mengurangkan, mengalikan,
atau membagi asalkan bilangan yang dikali atau dibagi tersebut bukan nol dengan suatu bilangan yang sama pada kedua ruas sehingga
menyisakan variabelnya saja di ruas kiri.
Di lapangan ditemukan bahwa beberapa guru menggunakan cara “pindah ruas – ganti tanda” dalam menyederhanakan atau menemukan
persamaan yang ekuivalen. Cara tersebut merupakan variasi dari langkah “memberi perlakuan yang sama pada kedua ruas” lebih dikenal
dengan “menambah atau mengurangi, mengkali atau membagi kedua ruas persamaan dengan bilangan yang sama”. Beberapa guru
mengajarkan cara “pindah ruas – ganti tanda” di kelas untuk lebih memudahkan siswa
dalam menggunakan cara “memberi perlakuan yang sama pada kedua ruas” dalam menemukan persamaan yang ekuivalen.
“Pindah ruas – ganti tanda” dapat dilakukan dengan mengubah urutan suku persamaan dari ruas kiri ke ruas kanan atau sebaliknya. Aturan
perubahan urutan dengan memindahkan suku persamaan pada satu ruas dan menuliskan kebalikannya pada ruas yang lain dari persamaan
tersebut. Langkahnya sebagai berikut: 1
Pindahkan bagian konstanta dari ruas kiri ke ruas kanan untuk membiarkan semua variabelnya tetap di ruas kiri.
2 Sederhanakan ruas kanan dan kiri untuk mendapat jawabannya.
4.
Penyelesaian Persamaan Linear Satu Variabel Bentuk Pecahan
Langkah awal yang perlu dilakukan siswa dalam menyelesaikan PLSV bentuk pecahan adalah mengubah persamaan linear bentuk pecahan
menjadi bentuk persamaan linear biasa. Caranya adalah dengan mengalikan kedua ruas persamaan dengan KPK dari penyebut-penyebutnya, sehingga
diperoleh persamaan linear bentuk biasa. Selanjutnya menentukan penyelesaian persamaan linear dengan aturan penyelesaian yang telah ada.
Contoh: Tentukan penyelesaian dari persamaan:
− = −
jika variabel pada himpunan bilangan rasional.
Penyelesaian:
− = −
⇔ −
=
−
kedua ruas dikalikan KPK dari 2 dan 5, yaitu 10
⇔ − = −
⇔ − + =
− + kedua ruas ditambah 20 ⇔ =
+ ⇔ − =
+ − kedua ruas dikurangi
⇔ − =
⇔ − : − =
∶ − kedua ruas dibagi dengan
− ⇔ = −
Jadi, himpunan penyelesaian persamaan − =
−
adalah { –5}.
5. Model Matematika dan Penerapan Persamaan pada Soal Cerita
Langkah awal yang perlu dibuat siswa dalam menyelesaikan soal cerita persamaan linear satu variabel adalah membuat kalimat matematika
berdasarkan pada informasi yang terdapat pada soal tersebut, yang disebut dengan model matematika. Model matematika dapat diperoleh dengan cara
memisalkan besaran yang belum diketahui dengan sebuah variabel, misalnya variabel
. Berikut ini adalah langkah-langkah yang dapat dilakukan dalam menyelesaikan soal-soal dalam kehidupan sehari-hari yang
berbentuk cerita: a.
Jika memerlukan diagram sketsa, misalnya untuk soal yang berhubungan dengan geometri, dapat dibuat diagram sketsa
berdasarkan kalimat cerita tersebut. b.
Salah satu besaran yang belum diketahui dimisalkan dengan sebuah variabel.
c. Menerjemahkan kalimat cerita menjadi model matematika dalam
bentuk persamaan. d.
Menyelesaikan persamaan tersebut, kemudian menjawab sesuai yang ditanyakan.
Berikut ini adalah contoh soal cerita terkait persamaan linear satu variabel dan langkah penyelesaiannya:
Harga sebuah stabilo lebih mahal Rp .
dari harga sebuah spidol. Harga buah spidol dan buah stabile adalah Rp
. . Tentukan
model matematikanya dan harga sebuah spidol Misal:
harga sebuah spidol = rupiah, maka
harga sebuah stabilo =
+ . rupiah
Harga buah spidol dan buah stabilo adalah Rp .
, maka
+ + .
= .
+ + .
= .
+ . =
. Jadi, model matematikanya adalah
+ . =
. .
Menyelesaikan model matematika dengan langkah penyelesaian persamaan linear satu variabel:
+ . =
. =
. − .
= .
= .
= . Jadi, harga sebuah spidol adalah Rp
. .
Tidak hanya kemampuan komputasi saja yang diperlukan siswa dalam menyelesaikan soal cerita terkait Persamaan Linear Satu Variabel. Perlunya
memahami setiap informasi pada soal, kemampuan dalam menyusun rencana dan strategi dalam penyelesaian masalah sangat dibutuhkan siswa
dalam menyelesaikan soal cerita terkait Persamaan Linear Satu Variabel.
E. Kerangka Berpikir
