178
Mmt Aplikasi SMA 2 IPS
Oleh karena itu, fungsi tersebut perlu disederhanakan lebih dahulu dengan memfaktorkan fx dan gx sehingga keduanya
mempunyai faktor yang sama. Selanjutnya, faktor yang sama itu dihilangkan sehingga diperoleh bentuk yang lebih sederhana
seperti berikut.
lim lim
lim a
Q a
P =
x Q
x P
= x
Q x – a
x P
x – a =
x g
x f
a x
a x
a x
A A
A
; Qa
Contoh:
Tentukan nilai limit fungsi berikut. a.
lim
x
x x
x
A
+
3 2
2 15
3
b.
lim
x
x x
A 5
5 5
Penyelesaian:
Jika kita menyubstitusikan nilai-nilai yang didekati x ke dalam bentuk-bentuk di atas, akan kita peroleh
. Oleh karena itu, fungsi-fungsi tersebut perlu disederhanakan dengan menghilangkan faktor-faktor yang sama pada pembilang dan penyebut.
a.
lim
x
x + x x
A 3
2
2 15
3
= lim
x
x x
x
A
+
3
3 5
3 =
3
lim
A x
x + 5 = 8 b.
lim
x
x x
A 5
5 5
= lim
x
x x
x
A
+
5
5 5
5 =
lim
x
x
A
+
5
1 5
= 1
5 5
+ =
1 2 5
3. Menentukan Limit dengan Merasionalkan Penyebut
Apabila dalam suatu fungsi yang akan ditentukan nilai limit- nya sulit disederhanakan karena memuat penyebut yang tidak
rasional, kita perlu merasionalkan penyebutnya lebih dahulu. Penyebut suatu pecahan akan menjadi rasional jika dikalikan
antara lain dengan bentuk sekawannya.
Selanjutnya, agar nilai pecahannya tidak berubah maka pe- cahan semula harus dikalikan dengan pecahan yang bernilai satu,
misalnya b
b ,
a b
a b
, a
b a
b +
+ dan
.
Tes Mandiri
Kerjakan di buku tugas
lim 1
1 3
2
2
x
x x
A +
= .... a. –6
d. 4 b. –4
e. 8 c. 2
Soal SPMB, Kemam- puan Dasar, 2004
Di unduh dari : Bukupaket.com Sumber buku : bse.kemdikbud.go.id
179
Limit Fungsi
a. Pecahan
a b
jika dikalikan
b b
, diperoleh a
b b
; b.
Pecahan c
a+ b jika dikalikan
a b
a b
, diperoleh c a
b a
b
2
; c.
Pecahan c
a + b jika dikalikan
a b
a b
, diperoleh c a
b a
b .
Eksplorasi
Diskusi
Apa yang kalian ketahui dengan bentuk sekawan? Bagaimana bentuk aljabar yang mengandung akar pangkat tiga?
Tes Mandiri
Kerjakan di buku tugas lim
7 7
7
x
x x
A = ....
a.
7 7
d. 1
2 7 b.
3 7 e.
1 7
c.
2 7
Soal UMPTN, Kemam- puan Dasar, 1997
Contoh:
Tentukan nilai limit fungsi a.
lim
x
x x +
A 3
2 2
9 16
5 b.
lim
x
x x
x
A 2
2 3
2 2
Penyelesaian:
a.
lim
x
x x +
A 3
2 2
9 16
5
= lim
x
x x +
x + +
x + +
A
×
3 2
2 2
2
9 16
5 16
5 16
5 =
lim
x
x x + +
x +
A 3
2 2
2
9 16
5 16
25
=
lim
x
x x +
+ x
A 3
2 2
2
9 16 5
9
=
lim
x
x + +
A3 2
16 5
= 2 + 5
5 = 5 + 5 = 10
Di unduh dari : Bukupaket.com Sumber buku : bse.kemdikbud.go.id
180
Mmt Aplikasi SMA 2 IPS
b. lim
x
x x
x
A 2
2 3
2 2
= lim
x
x x
x x
x x
x
A
× +
+
2
2 3
2 2
3 2
2 3
2 2
=
lim
x
x x
x x
x
A
+
2
2 3
2 2
3 2
2
=
lim
x
x x
x x
A
+
2
2 3
2 2
2
= lim
x
x x
A
+
2
3 2
2 =
3 2 2
2 2 +
=
4 4
+
= 4
Uji Kompetensi 2
Kerjakan di buku tugas
1. Dengan menyubstitusikan nilai-nilai yang didekati oleh x, tentukan nilai limit fungsi
berikut. a.
lim
A x
2x – 6 f.
lim
x
x
A
+
4
3 4
b.
lim
x
x + x x
A 1
2
6 2
g. lim
x
x x
A
+
3 2
1 2
1 c.
lim
x
x x
A2 3
2 + 8
+
h.
lim
x
x x
A
+
2 2
3
8
d.
3
lim
A x
4x +
x + 1
i.
lim
x
x x
A 2
4 2
1 1
e.
lim
x
x x
A 3
2
2 6
j.
lim
x
x x
x x
A
+ +
+
1 2
2
5 2
1
2. Dengan menghilangkan faktor-faktor yang sama, tentukan nilai limit fungsi berikut.
a.
lim
x
x x
A 1
2
1 1
f.
lim
x
x x
x x
A
+
2 2
2 9
2
b.
lim
x
x x +
x
A 4
2
6 8
4
g.
lim
x
x x
x
A 4
2 2
9
c.
lim
x
x + x +
x +
A3 2
5 6
3
h.
lim
x
x x
x x
A
+
3 2
3 3
6
d.
lim
x
x x
x
A
+
1 2
2 3
5 1
i.
lim
x
x x
x x
x x
A
+ +
5 3
2 4
3 2
4 3
2
e. lim
x
x x
A 5
5 2
5 j.
lim
x
x x
x x
A
+
9 2
8 2
4 5
Di unduh dari : Bukupaket.com Sumber buku : bse.kemdikbud.go.id
181
Limit Fungsi
3. Dengan merasionalkan penyebutnya, tentukan nilai limit fungsi berikut.
a. lim
x
x + x
+
A 2
1 1
3 c.
lim
x
x + x x + +
A 2
2
1 2 3
b.
lim
x
x + x +
A 4
2
3 1
4
d.
lim
x
x + x
x
A
1 1
4. Tentukan nilai limit fungsi berikut.
a. lim
x+ + x x+
x A
2 2
3 3
2 3
d. lim
x
x + x
x x
A 1
1 3
1 2
1 b.
lim
x
x x
x
A 1
3
1
2
e. lim
x
x x
x x
x
A
+ +
+
2 2
3 1
4 1
3 c.
lim
x
x x +
x x
A 2
2 2
2 6
4 2
f.
lim
x
x h
x h
A
+
2 2
5. Hitunglah limit-limit berikut dengan cara yang paling mudah.
a.
lim
x
x x
A 10
2
100 10
g. lim
x p
x p
x p
A
+
3 3
2 2
b. lim
x
x x
A 9
9 3
h.
lim
x
x x
A 4
3 2
64 16
c.
lim
x
x x
x
A 3
3 2
27 3
i. lim
x
x x
A 4
2
4 16
d.
lim
x
x x
x
A 3
3 2
27 3
j. lim
x
x x
A
+
1 2
1 5
2 e.
lim
x
x x
A 4
3
64 4
k.
lim
x
x x
A
+
2 2
2
4 3
10
f.
lim
x
x x
A 2
4
16 4
l. lim
x
x x
x
A
+
2 3
3
7 6
2
C. Menghitung Nilai Limit Fungsi Mendekati Tak Berhingga Pengayaan
