173
Limit Fungsi
Pokok bahasan ini merupakan pokok bahasan baru yang belum pernah dipelajari pada jenjang sebelumnya. Pada bab ini, kalian akan
mempelajari pengertian limit, menghitung nilai limit fungsi aljabar, menghitung nilai limit mendekati tak berhingga, sifat-sifat limit,
bentuk limit tak tentu, dan mengenal bentuk limit yang mengarah pada konsep turunan.
Materi limit merupakan prasyarat untuk mempelajari kalkulus, baik hitung diferensial maupun integral yang akan kalian pelajari di
kelas XII. Sebelum mempelajari lebih lanjut tentang limit fungsi, coba kalian jawab soal-soal berikut.
1. Tentukan nilai f1, f–2, dan f0 dari fungsi-fungsi berikut.
a. f
x = x + 1 b.
f x =
1 2
x +
c. f
x = 4 2.
Sederhanakan bentuk aljabar berikut. a.
x x
x
2
6 9
3 +
b. x x
x x
x +
+ 1
2 7
6
2
Setelah kalian benar-benar dapat menjawab persoalan-persoaalan di atas, mari lanjutkan ke materi berikut.
A. Pengertian Limit
Tentu kalian sering mendengar kalimat-kalimat berikut. 1.
Kedua mobil yang sedang salip-menyalip itu hampir saja ber- serempetan.
2. Kurs dolar Amerika Serikat terhadap mata uang rupiah mendekati
Rp10.000,00. 3.
Beberapa saat sebelum gempa bumi terjadi, rumah itu masih
berdiri tegar. Perhatikan kata-kata yang dicetak miring italic. Kata-kata itu
memiliki makna ”mendekati”. Coba perhatikan ketiga kasus di atas. Kasus pertama, berarti kedua mobil itu tidak berserempetan. Kasus
kedua, berarti kurs dolar Amerika Serikat terhadap rupiah tidak belum mencapai Rp10.000,00. Kasus ketiga, berarti rumah itu sudah
tidak berdiri tegar
ketika gempa bumi terjadi.
Uji Prasyarat
Kerjakan di buku tugas
Di unduh dari : Bukupaket.com Sumber buku : bse.kemdikbud.go.id
174
Mmt Aplikasi SMA 2 IPS
Y
X
5
2 1
O O
Gambar 4.1
Penggunaan kata ”mendekati” sejalan dengan konsep limit. Nilai- nilai limit dalam matematika merupakan nilai-nilai pendekatan.
Pengertian Limit secara Intuitif
Untuk memahami pengertian limit secara intuitif, kalian dapat menganalis ketiga kasus yang disajikan di depan. Agar kalian lebih
memahaminya, coba pelajari contoh berikut.
1. Diketahui fungsi fx = 2x + 1, untuk x bilangan real. Berapakah nilai fx jika x
mendekati 2?
Penyelesaian:
Untuk menentukan nilai fx jika x mendekati 2, kita pilih nilai-nilai x di sekitar 2 baik dari kiri maupun dari kanan. Kemudian, kita tentukan nilai fx seperti tabel
berikut.
Dari tabel di atas, tampak bahwa jika x mendekati 2 dari kiri, f
x mendekati 5 dari kiri, sedangkan jika x mendekati 2 dari kanan, fx mendekati 5 dari kanan.
Apabila kita lukis, grafik fungsi fx = 2x + 1, untuk x mendekati 2 tampak seperti pada Gambar 4.1.
Ternyata nilai fx terus-menerus mendekati 5 jika x terus- menerus mendekati 2. Di dalam matematika, pernyataan
tersebut dapat ditulis dengan
2
lim
A x
2x + 1 = 5 dibaca: limit dari 2x + 1 untuk x mendekati 2 adalah 5
Tabel 4.1
x 1,8
1,9 1,95
1,96 1,97
1,98 1,99
2 2,01
2,02 2,03
fx 4,6
4,8 4,9
4,92 4,94
4,96 4,98
5 5,02
5,04 5,06
Contoh:
2. Tentukan nilai
2
lim
A x
x x
x +
1 2 3
1 .
Penyelesaian:
Fungsi fx = x
x x
+ 1 2
3 1
terdefinisi untuk semua x bilangan real, kecuali x = 1. Kita tentukan nilai fungsi fx =
x x
x +
1 2 3
1 untuk x mendekati 1 seperti pada
tabel berikut.
Di unduh dari : Bukupaket.com Sumber buku : bse.kemdikbud.go.id
175
Limit Fungsi
3
O Y
-1 1
X -2
5
Gambar 4.2
Dari tabel tersebut, tampak bahwa jika x mendekati 1 dari kiri, nilai fx mendekati 5 dari arah kiri. Demikian pula jika x mendekati 1 dari arah kanan,
nilai fx mendekati 5 dari arah kanan. Sementara itu, untuk x = 1 maka nilai f1 =
1 1 2 1 3 1 1
× + =
0 5
= tidak tentu atau tak terdefinisi.
Agar lebih jelas, cobalah untuk nilai-nilai x = 0,96; 0,97; 0,98; 0,99; 1,001; 1,01. Apa yang kalian peroleh?
Tabel 4.2 x
0,6 0,7
0,8 0,9
0,95 1
1,1 1,2
1,3
x – 12x + 3
–1,68 –1,32 –0,92
–0,48 –0,245
0,52 1,08
1,68
x – 1
–0,4 –0,3
–0,2 –0,1
–0,05 0,1
0,2 0,3
12 3
1 x
x x
+
4,2 4,4
4,6 4,8
4,9 5,2
5,4 5,6
Jika kalian kerjakan dengan benar, kalian akan dapat menyimpulkan bahwa nilai
x x
x +
1 2 3
1 mendekati 5 untuk x mendekati 1.
Oleh karena itu, dapat ditulis
1
lim
A
x
2 3
1
2
x x
x +
= 5. Untuk memahaminya, perhatikan gambar di
samping. Tampak bahwa grafik fungsi fx terputus saat x = 1 yang nilainya
tak terdefinisi. f
x =
x x
x +
+ 1 2
3 1
Dari kedua contoh di atas, dapat kita peroleh pengertian limit fungsi secara intuitif, yaitu sebagai berikut.
Misalkan f adalah fungsi dalam variabel x dan L adalah bilangan real, pernyataan
a x
A
lim f
x = L artinya untuk x mendekati a tetapi x
a, nilai fx mendekati L.
Informasi Lebih Lanjut
Tugas
Coba cari tahu tentang pengertian limit kiri dan
limit kanan. Bagai- mana kaitannya de-
ngan nilai limit suatu fungsi?
Kegiatan
Kerjakan di buku tugas
Tujuan: Menyelidiki eksistensi keberadaan nilai limit suatu fungsi.
Permasalahan: Bagaimana eksistensi nilai limit suatu fungsi di suatu titik?
Di unduh dari : Bukupaket.com Sumber buku : bse.kemdikbud.go.id
176
Mmt Aplikasi SMA 2 IPS
1. Diketahui fungsi fx = 3x – 2, untuk setiap x bilangan real. Berapakah nilai fx
jika x mendekati 1? 2.
Diketahui fungsi fx = x
2
+ 3, untuk setiap x bilangan real. Berapakah nilai fx jika x
mendekati 0? 3.
Diketahui fungsi fx = 2x
2
+ 4x – 5, untuk setiap x bilangan real. Berapakah nilai f
x jika x mendekati –1? 4.
Dengan menggunakan pengertian limit fungsi secara intuitif, tentukan nilai limit berikut.
a.
2
lim
A x
x
2
+ 2 c.
5
lim
A x
5 15
7 2
2
x – x –
– x
b.
3 –
lim
A x
3 12
2
x + – x –
x d.
3 2
lim
A x
2 3
6 5
6
2
x – x –
+ x
Langkah-Langkah:
1. Gambarlah grafik fungsi
f x x
x x
x ,
, =
+ ¨
© ª
4 3
5 8
3
. 2.
Dengan memerhatikan grafik fungsi tersebut, tentukan nilai limit fungsi tersebut untuk x mendekati 3 dari kiri. Hasil ini
merupakan nilai fungsi untuk x mendekati 3 dari kiri ditulis
lim
x
f x
A 3
limit kiri. 3.
Dengan memerhatikan grafik fungsi tersebut, tentukan nilai limit fungsi tersebut untuk x mendekati 3 dari kanan. Hasil
ini merupakan nilai fungsi untuk x mendekati 3 dari kanan
ditulis lim
x
f x
A
+
3
limit kanan. 4.
Dengan memerhatikan grafik fungsi tersebut, tentukan nilai limit fungsi tersebut untuk x mendekati 3. Hasil ini
merupakan nilai fungsi untuk x mendekati 3 ditulis
lim
x
f x
A3
.
Kesimpulan: a.
lim lim
x x
f x
A A
=
3 3
x + 4 = 7
b. lim
lim
x x
f x
A A
+ +
=
3 3
5x – 8 =7 c.
lim
x
f x
A3
= 7 sebab lim
x
f x
A 3
= lim
x
f x
A
+
3
= 7. Nilai limit suatu fungsi untuk mendekati titik tertentu ada jika
limit kiri sama dengan limit kanan.
Uji Kompetensi 1
Kerjakan di buku tugas
Di unduh dari : Bukupaket.com Sumber buku : bse.kemdikbud.go.id
177
Limit Fungsi
B. Menghitung Nilai Limit Fungsi Aljabar
