25 dengan
adalah aliran panas per satuan waktu per satuan volume dan adalah konduktivitas panas.
Pada kasus ini, tujuan utamanya adalah menentukan dari
persamaan 38. Karena persamaan panas tersebut tidak bisa dipisahkan secara langsung, maka
diasumsikan seperti pada persamaan 39 di bawah ini:
dengan adalah solusi transient dan adalah solusi steady
state.
a. Solusi transient
Untuk solusi transient, persamaan 38 dapat dirumuskan menjadi:
Solusi transient diasumsikan berbentuk seperti pada persamaan 41 41
Substitusi persamaan 41 ke persamaan 40 menghasilkan
Persamaan 42 dibagi dengan sehingga dihasilkan persamaan 43
Jika ditinjau ruas kanan pada persamaan 43, fungsi tersebut hanya terdiri dari satu variabel yaitu t sehingga bisa disamadengankan konstanta,
26 dengan
adalah konstanta. Konstanta bernilai negatif karena saat semakin bertambah, suhu akan terus turun mendekati nol. Jika dipilih konstanta
positif, maka akan membuat suhu terus naik menuju tak terhingga saat bertambah. Solusi persamaan 44 adalah persamaan 45
Ditinjau suku ketiga di ruas kiri persamaan 43. Suku tersebut hanya terdiri dari satu variabel yaitu
, sehingga dapat disamadengankan kostanta.
Tanda negatif pada konstanta karena panjang berhingga. Jika konstanta
diberi tanda positif, solusi fungsi akan berupa eksponensial dan digunakan untuk
yang sangat panjang atau tak terhingga. Solusi persamaan 46 adalah:
Sesuai dengan syarat batas saat harus bernilai
Saat harus bernilai
Karena maka harus sama dengan nol. Sedangkan harus nol
karena . Syarat tersebut mengharuskan
dimana Akibat penerapan syarat batas, maka solusi persamaan
47 adalah:
27 ∑
Sesuai dengan solusi pada persamaan 44 dan persamaan 46, dengan demikian persamaan 43 dapat diubah menjadi persamaan 49
Mengalikan kedua ruas persamaan 49 dengan menghasilkan
Pada persamaan 50, suku kedua pada ruas kiri hanya berupa fungsi sehingga dapat disamadengankan konstanta.
Persamaan 51 harus sama dengan sebagai kostanta separasi dengan
merupakan bilangan bulat. Hal itu karena formula matematika untuk suhu pada satu titik harus sama dengan suhu di
atau , dengan bilangan bulat, maka fungsi harus berupa fungsi periodik dalam
dengan periode
. Solusi harus dalam bentuk sinus atau cosinus dengan konstanta adalah bilangan bulat Boas, 2006: 396. Jika sudut diputar pada sudut
berapapun suhunya selalu konstan, sehingga solusinya tidak bergantung pada sudut
. Jadi dapat dipilih . Solusi persamaan 51 adalah:
sehingga,
28 Persamaan 50 menjadi
Karena maka
Kedua ruas persamaan 55 dibagi dengan
atau
dimana . Ruas kiri pada persamaan 57 hanya fungsi
sehingga dapat disamadengankan konstanta. Persamaan 57 merupakan persamaan Bessel. Bentuk umum persamaan Bessel adalah:
58 dengan solusi
Boas, 2006: 594. Persamaan 57 dapat diubah dalam bentuk persamaan 59.
Bentuk umum persamaan Bessel: dimana
Substitusi r dan R ke persamaan Bessel:
29 dengan solusi
Dengan memasukkan syarat batas saat untuk sembarang
dan , maka persamaan 60 menjadi
dengan adalah akar - akar
. Jika didefinisikan atau maka
Nilai-nilai yang mungkin untuk adalah
untuk Berdasarkan persamaan 57 maka persamaan 56 dapat diubah menjadi:
Substitusi dan
ke persamaan 62 menghasilkan
sehingga persamaan 45 menjadi
Dengan mensubstitusikan persamaan 48, 60 dan 63 ke persamaan 41, maka diperoleh:
∑ ∑
Koefisien dicari dengan mengalikan kedua ruas persamaan 65 pada
saat dengan persamaan 66 Boas, 2006: 641:
30 Pada saat
persamaan 65 menjadi
∑ ∑
Mengalikan persamaan 67 dengan persamaan 66 dan mengintegralkan dari sampai untuk dan dari sampai untuk , serta mengingat pada saat
, sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut: ∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
dimana ∫
|
∫ |
∫ |
∫ |
31 sehingga diperoleh
dan dapat disederhanakan menjadi:
Substitusi persamaan 69 ke persamaan 65, membuat solusi transient persamaan panas menjadi
∑ ∑
b. Steady state
