L{e
36 2
6 5
36 2
2 3
} 6
sin 5
6 cos
3 {
2 2
2
s s
s t
t e
L
t
40 4
24 3
2
s s
s
Soal Tentukan transformasi Laplace fungsi
1
t e
t F
t 2
sin
2
3
1
t
te t
F
3
2 cosh
5 2
sinh 3
t t
t F
t
4
t
e t
t F
2
2
5
t t
e t
F
t
3 cosh
2 sinh
2
6
2 1
t e
t F
t
c. Sifat translasi atau pergeseran kedua
Jika
} {
s f
t F
L
dan
a
t untuk
a t
untuk a
tF tG
,0 ,
maka
} {
s f
e t
G L
as
Bukti
dt t
G e
t G
L
st
}
{
a a
st st
dt t
G e
dt t
G e
a a
st st
dt a
t F
e dt
e
a st
dt a
t F
e
Misal u = t-a maka t = u+a dan du = dt, sehingga
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo
162
du u
F e
dt a
t F
e
a u
s a
st
du
u F
e e
su as
s f
e
as
Contoh
Carilah
} {
t F
L
jika
3 2
,0 3
2 ,
3 2
cos
t t
t t
F
Menurut definisi transformasi Laplace
}
{ dt
t F
e t
F L
st
dt t
e dt
e
st st
3 2
cos
3 2
3 2
3 2
cos udu e
u s
udu e
e
su s
cos
3 2
1
2 3
2
s se
s
d. Sifat pengubahan skala
Jika
} {
s f
t F
L
maka
a
s f
a at
F L
1 }
{
Bukti Karena
dt t
F e
t F
L
st
}
{
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo
163
maka
dt at
F e
at F
L
st
}
{
Misal
a du
dt sehingga
adt du
maka at
u
Menurut definisi
{
dt at
F e
at F
L
st
a
du u
F e
a s
u
du
u F
e a
u a
s
1
a
s f
a 1
Contoh: 1. Jika
2 6
} {
3
s f
s t
F L
maka
3 3
1 }
3 {
s f
t F
L
3
2 3
3 6
s
3
6 9
. 6
s
Soal:
1. Hitunglah
} {
t F
L
jika
1 0,0
1 ,
1
2
t t
t tF
2. Jika
1 1
2 1
} {
2 2
s
s s
s t
F L
, carilah
} 2
{ t
F L
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo
164
3 .
Jika
, }
{
1
s e
t F
L
s
carilah
} 3
{ t
F e
L
t
Jawab Karena
, }
{
1
s f
s e
t F
L
s
maka menurut sifat 4 diperoleh
3
3 1
} 3
{ s
f t
F L
Sehingga
3 3
1 }
3 {
3
s e
t F
L
s
s
e s
3
1
s f
Berdasarkan sifat Jika
} {
s f
t F
L
maka
} {
a s
f t
F e
L
at
sifat 2 Maka
1 }
3 {
s f
t F
e L
t 1
3
1 1
S
e s
e. Transformasi Laplace dari turunan-turunan
Jika
} {
s f
t F
L
maka
} {
F s
sf t
F L
Karena Karena
} {
s f
dt t
F e
t F
L
st
, maka
dt t
F e
t F
L
st
}
{
t
dF e
st p
st st
e d
t F
t F
e
dt
t F
e s
F
st
F s
sf
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo
165
Jika
} {
F s
sf t
F L
maka
} {
2
s F
sF s
f s
t F
L
Bukti
}
{ dt
t F
e t
F L
st
t
F d
e
st
st
st
e d
t F
t F
e
dt e
t F
s t
F e
st st
F s
sf s
t F
e
st
2
F sF
s f
s
Dengan cara yang sama diperoleh
dt t
F e
t F
L
st
} {
t
F d
e
st
st
st
e d
t F
t F
e
dt t
F e
s t
F e
st st
st st
st
e d
t F
t F
e s
t F
e
2 3
F sF
F s
s f
s
Akhirnya dengan menggunakan induksi matematika dapat ditunjukkan bahwa, jika
} {
s f
t F
L
maka
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo
166
... }
{
1 2
2 1
n n
n n
n
F sF
F s
F s
s sf
t F
L
Contoh soal Dengan menggunakan sifat transformasi Laplace dari turunan-turuan,
tunjukkan bahwa
} {sin
2 2
s f
a s
a at
L
Misal
at t
F sin
diperoleh
at a
t F
at a
t F
sin ,
cos
2
sehingga
{ 1
} {sin
2
t F
L a
at L
Dengan menggunakan sifat transformasi Laplace dari turunan-turunan diperoleh
f F
sF s
sf a
at L
1 }
{sin
2
a
s a
s a
s a
1
2 2
2 2
a a
s as
a
2 2
2 2
1
2 2
3 2
2 2
1 a
s a
as as
a
2 2
a s
a
f. Tansformasi Laplace dari integral-integral
