Metode Transformasi Laplace Metode langsung, berkaitan dengan definisi. Metode Deret Sifat-sifat Transformasi Laplace

p p st st p dt e at a s e at a Lim . sin . sin 1                 p st st p at d a e a s e at a Lim cos 1 . . sin 1                  p p st st st p e d at at e a s e at a Lim 2 . cos cos . sin 1                    p p st st st p dt se at at e a s e at a Lim 2 . cos cos . sin 1                   p p st st st p e at a s at e a s e at a Lim 2 2 2 . cos cos . sin 1                  p st st p e at a s e at a a s a Lim 2 2 2 2 . cos . sin 1                       st st e a at s e a at a s a . cos . . sin 2 2 2 2                    2 2 2 2 a s a s a         2 2 2 2 a s a s a 2 2 a s a   Syarat Cukup Transformasi Laplace Ada Jika Ft adalah kontinu secara sebagian-sebagian dalam setiap selang berhingga 0 N t   dan eksponensial berorde  untuk t N, maka transformasi Laplacenya fs ada untuk semua s  . Perlu ditekankan bahwa persyaratan-persyaratan yang dinyatakan adalah cukup untuk menjamin bahwa transformasi Laplace-nya ada. Akan tetapi transformasi Laplace dapat ada atau tidak walaupun persyaratan ini tidak dipenuhi.

6.2 Metode Transformasi Laplace

Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo 156 Untuk memudahkan bagi pengguna matematika, terdapat beberapa cara yang digunakan untuk menentukan transformasi Laplace. Cara tersebut adalah:

a. Metode langsung, berkaitan dengan definisi.

Metode ini berkaitan langsung dengan definisi     } { dt t F e t F L st      p st p dt t F e Lim Contoh     } { dt t F e t F L st      p st p tdt e lim 1 . lim st p p e d s t       dt e te s p st st p         lim 1 p st st p e s te s 1 lim 1                       s s 1 1 2 1 s  s f 

b. Metode Deret

Misal Ft mempunyai uraian deret pangkat yang diberikan oleh ... 3 3 2 2 1      t a t a t a a t F Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo 157 n n n t a     Maka transformasi Laplacenya dapat diperoleh dengan menjumlahkan transformasi setiap sukunya dalam deret, sehingga: ... } { } { } { } { } { 3 3 2 2 1      t a L t a L t a L a L t F L ... 2 3 2 2 1     s a s a s a o      1 n n n s a n , syarat ini berlaku jika deretnya konvergen untuk s  c. Metode Persamaan differensial Metode ini menyangkut menemukan persaman differensial yang dipenuhi oleh Ft dan kemudian menggunakan teorema-teorema di atas. d. Menurunkan terhadap parameter e. Aneka ragam metode, misalnya dengan menggunakan teorema-teorema yang ada. f. Menggunakan tabel-tabel, melalui penelusuran rumus yang sudah ditetapkan.

6.3 Sifat-sifat Transformasi Laplace

Transformasi Laplace suatu fungsi mempunyai beberapa sifat, sifat-sifat tersebut antara lain: a Sifat linear Jika c 1 dan c 2 adalah sebarang konstanta, sedangkan 1 t F dan 2 t F adalah fungsi-fungsi dengan transformasi-transformasi Laplace masing- masing 1 s f dan 2 s f , maka: } { 2 1 1 2 2 1 1 s f c s f c t F c t F c L    Bukti:       2 2 1 1 2 2 1 } { } { dt t F c t F c e t F c t F c L st Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo 158         2 1 1 1 dt t F c e dt t F c e st st        2 2 1 1 dt t F e c dt t F e c st p st 2 2 1 1 s f c s f c   1. } 3 { } 5 { } 3 5 { } 3 5 { L t L a t L t L      } 1 { 3 } { 5 L t L   s s 1 3 1 5 2   s s 3 5 2   2. } 2 cos 5 { } 2 sin 6 { } 2 cos 5 2 sin 6 { t L t L t t L    } 2 {cos 5 } 2 {sin 6 t L t L   4 5 4 2 6 2 2     s s s 4 5 12 2    s s 3. } 1 2 { } 1 { 2 4 2 2     t t L t L } 1 { } 2 { } { 2 4 L t L t L    } 1 { } { 2 } { 2 4 L t L t L    s s s 1 2 2 4 1 2 1 4            s s s 1 4 24 3 5    4. } 2 cos 2 4 sin 3 6 4 { 2 5 t t t e L t    } 2 cos 2 { } 4 sin 3 { } 6 { } 4 { 2 5 t L t L t L e L t             t L t L t L e L t 2 cos 2 4 sin 3 6 4 2 5     Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo 159 4 2 4 4 3 2 6 5 1 4 2 2 3        s s s s s 4 2 16 12 12 5 4 2 2 3        s s s s s Dengan menggunakan sifat linear, tentukan transformasi Laplace fungsí berikut. 1. t e t t F    2 2 t 2. t t t F 2 cos 2 sin 6   3. 2 cos sin t t t F   4. t t t F sinh 2 1 3 cosh   5. 2 2   t t F 3 6. 2 3 sin   t t F b Sifat translasi atau pergeseran pertama Jika } { } { 2 a s f t F e L maka s f t F L t    Bukti Karena      ` } { s f dt t F e t F L st , maka     ` } { dt t F e e t F e L at st at      dt t F e t a s a s f   Contoh: 1. Tentukan } { } { 3 s f t F L jika t F e L t   Menurut sifat 2 di atas, } { a s f t F e L at   Maka   3 } { 3     s f t F e L t 3   s f 2. Tentukan        a s f t F L jika t F e L t } { }, { 2 Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo 160 Menurut sifat 2 di atas, } { a s f t F e L at   Karena                a s f t F e L maka a s f t F L t 2 } { , } { 2         a a s f 2 3. Tentukan 4 } 2 {cos } { 2    s s t L jika t F e L t Karena 4 } 2 {cos 2   s s t L maka menurut sifat translasi pertama 1 } {    s f t F e L t 4 1 1 } { 2      s s t F e L t 5 2 1 2     s s s 4. Tentukan } 6 sin 5 6 cos 3 { 2 t t e L t   Me6nurut sifat linear, } 6 sin 5 { } 6 cos 3 { } 6 sin 5 6 cos 3 { 2 2 2 t e L t e L t t e L t t t       } 6 sin { 5 } 6 cos { 3 2 2 t e L t L t t     } Karena 36 6 } 6 {sin 36 } 6 {cos 2 2     s t L dan s s t L maka menurut sifat translasi 2 3 } 6 cos { 3 2    s f t L t 36 2 2 3 2     s s , dan 2 6 5 } 6 sin { 5 2    s t L t sehingga Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo 161 L{e 36 2 6 5 36 2 2 3 } 6 sin 5 6 cos 3 { 2 2 2          s s s t t e L t 40 4 24 3 2     s s s Soal Tentukan transformasi Laplace fungsi 1 t e t F t 2 sin   2 3 1 t te t F    3 2 cosh 5 2 sinh 3 t t t F t    4 t e t t F 2 2   5   t t e t F t 3 cosh 2 sinh 2   6 2 1 t e t F t   

c. Sifat translasi atau pergeseran kedua