BAB VI TRANSFORMASI LAPLACE
Standar Kompetensi
Setelah mempelajari pokok bahasan ini diharapkan mahasiswa dapat memahami cara menentukan transformasi Laplace dan transformasi Laplace
invers suatu fungsi serta mengaplikasikannya dalam menentukan selesaian persamaan diferensial tingkat tinggi.
Kompetensi Dasar
1. Mahasiswa dapat menentukan transformasi Laplace fungsi dengan menggunakan metode langsung integral tak wajar
2. Mahasiswa dapat menentukan transformasi Laplace fungsi dengan menggunakan metode deret.
3. Mahasiswa dapat menentukan transformasi Laplace invers fungsi dengan menggunakan metode pecahan parsial.
4. Mahasiswa dapat menentukan transformasi Laplace invers fungsi dengan menggunakan rumus penguraian Heaviside.
5. Menentukan selesian persamaan diferensial tingkat tinggi dengan menggunakan aplikasi transformasi Laplace dan transformasi Laplace invres.
Bab III dalam buku ini membahas hal-hal pokok tentang 1 bentuk umum persamaan diferensial linear, 2 cara menentukan selesaian persamaan diferensial
linear yang meliputi: cara faktor integral, metode Lagrange, mengubah persamaan diferensial linear menjadi persamaan diferensial eksak, dan persamaan Bernoulli.
6.1 Transformasi Laplace
Definisi Misalkan
t F
suatu fungsi t dan t 0, maka transformasi Laplace dari Ft dinotasikan dengan L{Ft} yang didefinisikan oleh:
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo
151
`
} {
s f
dt t
F e
t F
L
st
Karena
} {
t F
L
adalah integral tidak wajar dengan batas atas di tak hingga
maka
`
} {
s f
dt t
F e
t F
L
st
p st
p
dt t
F e
Lim
Transformasi Laplace dari Ft dikatakan ada, jika integralnya konvergen untuk beberapa nilai s, bila tidak demikian maka transformasi Laplace tidak ada.
Selanjutnya bila suatu fungsi dari t dinyatakan dengan huruf besar, misalnya Wt, Gt, Yt dan seterusnya, maka transformasi Laplace dinyatakan dengan huruf
kecil yang bersangkutan sehingga L {Wt} = ws, L {Gt} = gs, L {Yt} = ys dan seterusnya.
Teorema Jika Ft adalah fungsi yang kontinu secara sebagian-sebagian dalam setiap
interval 0
t N dan eksponensial berorde untuk t N, maka transformasi
Laplace fs ada untuk setiap s Berdasarkan definisi di atas, dapat ditentukan transformasi Laplace beberapa
fungsi sederhana.
No.
t F
} {
t F
L
1. 1
, 1
s
s
2. t
, 1
2
s
s
3. t
2
, 2
3
s
s
4. t
n
n = 0,1,2,3,….
,
1
s s
n
n
5.
at
e ,
1
s
a s
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo
152
6.
at sin
,
2 2
s a
s a
7.
at cos
,
2 2
s a
s s
8.
at sinh
a s
a s
a
,
2 2
9.
at cosh
a s
a s
s
,
2 2
10.
at t cos
2 2
2 2
a s
a s
11.
a at
t 2
sin
2 2
2
a s
s
Sebagai pemahaman bagi pembaca, berikut ini diberikan beberapa contoh transformasi Laplace suatu fungsi.
Tentukan transformasi Laplace fungsi berikut: 1.
1
t F
`
1 }
{ s
f e
t F
L
st
p st
p
dt e
Lim
p st
p
e s
1 lim
1 1
lim se
se
p
s 1
0
s 1
s f
2.
t t
F
`
} {
dt t
e t
F L
st
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo
153
st p
p
e d
s t
1 .
lim
dt e
te s
p st
st p
lim
1
p o
st st
p
e s
te s
1 lim
1
p sp
sp p
e s
e e
s pe
s 1
1 lim
1
s
s 1
1
s
s 1
1
2
1 s
3.
at
e t
F
`
} {
dt e
t e
t F
L
at st
dt e
p t
a s
p
lim
p t
a s
p
e a
s lim
1
1 1
lim 1
a s
a s
p
s e
a s
a s
1
4.
at t
F sin
dt e
t F
L
st
at
sin }
{
p
st p
at d
a e
Lim cos
1
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo
154
p st
st p
e atd
a e
at a
Lim cos
1 .
cos 1
p
p st
st p
dt e
at a
s e
at a
Lim .
cos .
cos 1
p
st st
p
at d
a e
a s
e at
a Lim
sin 1
. .
cos 1
p p
st st
st p
e d
at at
e a
s e
at a
Lim
2
. sin
sin .
cos 1
p
p st
st st
p
se at
at e
a s
e at
a Lim
2
. sin
sin .
cos 1
p
p st
st st
p
se at
a s
at e
a s
e at
a Lim
2 2
2
. sin
sin .
cos 1
p
st st
p
e at
a s
e at
a s
a a
Lim
2 2
2 2
. sin
. cos
1
st st
e a
at s
e a
at s
a a
. sin
. .
cos
2 2
2 2
1
2 2
2
a s
a a
a s
a a
1
2 2
2
2 2
s a
a
5.
at t
F cos
dt e
t F
L
st
at
cos }
{
p st
p
at d
a e
Lim sin
1
p st
st p
e atd
a e
at a
Lim sin
1 .
sin 1
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo
155
p p
st st
p
dt e
at a
s e
at a
Lim .
sin .
sin 1
p
st st
p
at d
a e
a s
e at
a Lim
cos 1
. .
sin 1
p p
st st
st p
e d
at at
e a
s e
at a
Lim
2
. cos
cos .
sin 1
p
p st
st st
p
dt se
at at
e a
s e
at a
Lim
2
. cos
cos .
sin 1
p
p st
st st
p
e at
a s
at e
a s
e at
a Lim
2 2
2
. cos
cos .
sin 1
p
st st
p
e at
a s
e at
a a
s a
Lim
2 2
2 2
. cos
. sin
1
st st
e a
at s
e a
at a
s a
. cos
. .
sin
2 2
2 2
2 2
2 2
a s
a s
a
2 2
2 2
a s
a s
a
2 2
a s
a
Syarat Cukup Transformasi Laplace Ada Jika Ft adalah kontinu secara sebagian-sebagian dalam setiap selang
berhingga 0
N t
dan eksponensial berorde untuk t N, maka transformasi Laplacenya fs ada untuk semua s .
Perlu ditekankan bahwa persyaratan-persyaratan yang dinyatakan adalah cukup untuk menjamin bahwa transformasi Laplace-nya ada. Akan tetapi transformasi
Laplace dapat ada atau tidak walaupun persyaratan ini tidak dipenuhi.
6.2 Metode Transformasi Laplace
Kategori