c.
3 2
2 2
1
2 1
2 1
2 7
6 1
t t
e e
s s
s L
d.
t t
t
e e
e s
s s
s L
2 2
3 5
1 1
2 2
5 2
11
2 2
2 1
e.
3 cos
3 3
9 4
12 27
4 2
1
t e
s s
s L
t
f.
2 sin
2 cos
4 sin
2 1
64 20
24 16
2 4
2 1
t t
t s
s s
s L
g.
t
e t
t s
s s
s L
3 2
1
5 4
sin 3
cos 4
5 1
2 2
3 1
3. Dengan menggunakan rumus penguraian Heaviside, tunjukkan bahwa a.
3 2
11 2
1
s s
s L
b.
3 1
2 27
19
1
s s
s s
L
c.
6 11
6 5
6 2
2 3
2 1
s s
s s
s L
d.
3 2
1 2
2 1
s s
s s
L
6.7 Penggunaan pada Persamaan Diferensial a Persamaan Diferensial dengan Koefisien Konstan
Transformasi Laplace dapat digunakan untuk menentukan selesaian suatu persamaan diferensial dengan koefisien konstan.
Misal ditentukan persamaan diferensial
2
x F
qY dx
dY p
dx Y
d
atau
x F
qY pY
Y
dengan p,q adalah konstanta dan persamaan tersebut mempunyai syarat awal atau batas Y0=A dan Y’0=B,
A dan B adalah konstanta yang diberikan.
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo
184
Selesaian persamaan diferensial yang diketahui dapat ditentukan dengan cara melakukan transformasi Laplace pada masing-masing persamaan dan selanjutnya
gunakan syarat awal yang diberikan. Akibatnya diperoleh persamaan Aljabar
s y
x Y
L
. Selesaian yang diperlukan diperoleh dengan menggunakan transformasi
Laplace invers dari ys. Cara ini dapat diperluas pada persamaan-pers amaan diferensial tingkat tinggi.
Contoh Tentukan selesaian persamaan diferencial berikut.
1
x Y
Y
dengan Y0 = 0 dan Y’0=-2 Jawab
Dengan transformasi Laplace masing-masing bagian dari persamaan diferensial diperoleh
} {
} {
x L
Y L
Y L
Y Y
L
Menurut sifat 5 transformasi Laplace
.... }
{
1 2
2 1
n n
n n
n n
F sF
F s
F s
t F
L s
t F
L
, sehingga
} {
} }
{ {
2
x L
Y L
Y sY
Y L
s
2 2
1 2
s y
s y
s
2 1
1
2 2
s
s y
s
1 2
1 1
2 2
2
s s
s s
y
=
1 2
1 1
1 1
2 2
2 2
s s
s s
s
=
1 3
1 1
2 2
2
s s
s s
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo
185
Untuk menentukan selesaian, gunakan transformasi Laplace invers
1 3
1 1
2 2
2 1
s s
s s
L Y
1 3
1 1
2 1
2 1
2 1
s L
s s
L s
L x
x x
sin 3
cos
Untuk pemeriksaan jawab di atas
x x
Y sin
3 cos
1
x x
Y cos
3 sin
x
x Y
sin 3
cos
x x
x x
x x
Y Y
sin 3
cos sin
3 cos
dan Y0 = 1, Y’0=-2
2
x
e Y
Y Y
2
4 2
3
dengan Y0 = -3 dan Y’0=5 Jawab
Dengan transformasi Laplace masing-masing bagian dari persamaan diferencial diperoleh
} 4
{ 2
3
2 x
e L
Y Y
Y L
Menurut sifat 5 transformasi Laplace
....
1 2
2 1
n n
n n
n n
F sF
F s
F s
s f
s t
F L
, sehingga
} 4
{ 2
3
2 x
e L
Y Y
Y L
4 }
{ 2
} {
3 }
} {
{
2 2
x
e L
Y L
Y Y
sL Y
sY Y
L s
2
4 2
} 3
{ 3
} 5
3 {
2
s y
sy s
y s
14 3
2 4
2 3
2
s
s y
s s
2 3
14 3
2 2
3 4
2 2
s
s s
s s
s y
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo
186
2 2
2 1
24 20
3
s
s s
s
2
2 4
2 4
1 7
s
s s
Untuk menentukan selesaian, gunakan transformasi Laplace invers
2
1
2 4
2 4
1 7
s s
s L
Y
2
1 1
1
2 4
2 4
1 7
s L
s L
s L
x x
x
xe e
e
2 2
4 4
7
b Persamaan Diferensial dengan Koefisien Variabel
Transformasi Laplace juga dapat digunakan untuk menentukan selesaian persamaan diferensial dengan koefien variable. Khususnya persamaan diferensial
yang berbentuk
x Y
x
n n
sehingga transformasi Laplace diperoleh
1 x
Y L
ds d
x Y
x L
n m
m m
n m
Hal ini sesuai dengan sifat transformasi Laplace Jika
} {
s f
t F
L
maka
1 1
} {
s f
s f
ds d
t F
t L
n n
n n
n
Untuk jelasnya perhatikan beberapa contoh berikut Tentukan selesaian persamaan diferensial
1
2
xY Y
xY
dengan Y0 = 1 dan Y
= 0 Jawab
Dengan transformasi Laplace pada masing-masing bagian persamaan diperoleh:
2 L
xY Y
xY L
2
xY
L Y
L xY
L
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo
187
1 2
1
1 2
1
y
ds d
Y sy
Y sY
y s
ds d
1 1
2 1
1
1 2
y
ds d
sy s
y s
ds d
1 1
2 1
2
2
ds dy
sy ds
dy s
sy
2 2
1 2
2
y sy
y s
sy 1
1
2
y s
1 1
2
s y
Diperoleh
C s
ds s
y
arctan 1
1
2
Karena
y
bila
s
kita dapatkan
2
c
, sehingga
s s
y 1
arctan arctan
2
Akhirnya didapat
t t
s L
Y sin
1 arctan
, hal ini memenuhi Y
=0
2
1
Y xY
Y
, dengan Y0 = 1 dan Y’0 = 2 Jawab
Dengan transformasi Laplace pada masing-masing bagian persamaan diperoleh:
1 L
Y xY
Y L
1 L
Y L
xY L
Y L
s y
Y sy
ds d
Y sY
y s
1 }
{ 1
1 2
1 2
1 .
2
y
sy ds
d s
y s
s y
sy y
s y
s 1
2
2
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo
188
s s
y s
sy 1
2 1
2
Persamaan di atas merupakan persamaan difererensial liner tingkat satu derajat satu dan dapat diubah menjadi:
2
1 2
1 1
s s
y s
s y
Faktor integral persamaan di atas adal
2 2
2 1
2 ln
2 2
1 1
s s
s ds
s
e s
e e
Maka
2 2
2 2
1 2
2 2
1 2
1
s s
e s
s s
y e
s ds
d
Sehingga ds
e s
s s
e s
y
s y
s
2 2
2
2
1 2
1 1
2 2
2
2
2 1
s
e s
c s
s
Akhirnya diperoleh
t y
2 1
Soal-soal Tentukan selesaian persamaan diferensial berikut:
1
Y
xY Y
dengan Y0 = 0 dan Y’0 = 1 2
2 2
1
Y
Y x
xY
dengan Y0 = 1 dan Y’0 = 2 3
1
Y
Y x
xY
dengan Y0 = 5 dan Y
= 0 4
4
xY Y
Y
dengan Y0 = 3 dan Y’0 = 0 5
4
Y
Y
dengan Y0=0 dan Y’0=7 6
x
e x
Y Y
Y
12 4
2 3
dengan Y0 = 0 dan Y’0=-1
6.8 Persamaan Diferensial Simultan
