3 2
2 2
3
6 2
a s
s a
s
h. Sifat pembagian oleh t
Jika
} {
s f
t F
L
maka
du
u f
t t
F L
Bukti: Misal
t t
F t
G
maka
t tG
t F
Dengan menggunakan definisi transformasi Laplace untuk kedua bagian, maka diperoleh bentuk
} {
} {
} {
t G
L ds
d s
f atau
t tG
L t
F L
atau
ds dg
s f
Selanjutnya dengan mengintegralkan diperoleh
ds dg
s f
.
s
du u
f s
g
s
du u
f
Jadi
du
u f
t t
F L
Soal-soal 1 Tentukan transformasi Laplace untuk fungsi yang diberikan
a.
t t
t F
2 cos
b.
t t
t F
3 sin
c.
5 cos
2 2
sin 3
t t
t t
F
d.
t t
t F
sin
2
e.
t t
t t
F 3
sin 2
3
2
f.
t t
t F
cos
3
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo
171
g.
t t
t F
2
sin
2 Jika
1
,0 1
0,
2
t t
t tF
Carilah
} {
t F
L
3 Diketahui
1 ,
1 ,
2 t
t t
t t
F a. carilah
} {
t F
L
b. carilah
} {
t F
L
c. apakah
} {
F s
sf t
F L
berlaku untuk kasus ini 4 Tunjukkan bahwa
3
50 3
sin tdt te
t
5 Tunjukkan bahwa
} {
1
2 2
t t
u
e t
t L
s du
e u
u L
6 Perlihatkan bahwa a.
a s
b s
t e
e L
bt at
ln
b.
2 2
2 2
ln 2
1 cos
cos a
s b
s t
bt at
L
7 Tunjukkan bahwa: a.
s s
du u
u L
u
1 1
ln 1
1
1
b. Jika
} {
s f
t F
L
maka
2 1
1
s s
f du
u F
dt L
t t
6.4 Transformasi Laplace Invers
Definisi
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo
172
Jika transformasi Laplace suatu fungsi Ft adalah fs, yaitu jika
} {
s f
t F
L
maka Ft disebut suatu transformasi Laplace Invers dari fs. Secara simbolis ditulis
} {
1
s f
L t
F
.
1
L disebut operator transformasi Laplace invers. Contoh.
1. Karena
t
e s
L
2
2 1
maka
2 1
2 1
s e
L
t
2. Karena
e t
s s
L 3
cos 3
2
maka
3 3
cos
2 1
s s
t L
3. Karena
a at
a s
L sinh
1
2 2
maka
2 2
1
1 sinh
a s
a at
L
Ketunggalan Transformasi Laplace Invers Misal Nt adalah suatu fungsi dan L{Nt} = 0 maka L{Ft+Nt} = L{Ft}
Dengan demikian dapat diperoleh dua fungsi yang berbeda dengan transformasi Laplace yang sama.
Contoh
t
e t
F
3 1
dan
1 1
3 2
t untuk
e t
untuk t
F
t
Mengakibatkan
3 1
} {
} {
2 1
1 1
s t
F L
t F
L
Jika kita menghitung fungsi-fungsi nol, maka terlihat bahwa transformasi Laplace invers tidak tunggal. Akan tetapi apabila kita tidak dapat memperhitungkan
fungsi-fungsi nol yang tidak muncul dalam kasus-kasus fisika maka ia adalah tunggal. Hasilnya dinyatakan oleh teorema berikut.
Teorema Lerch Jika membatasi diri pada fungi-fungsi Ft yang kontinu secara sebagian-
sebagaian dalam setiap selang berhingga 0
N t
dan eksponensial berorde untuk t N, maka inversi transformasi laplace dari fs yaitu
1
t F
s f
L
,
Persamaan Diferensial :Dwi Purnomo
173
adalah tunggal. Jika tidak ada pernyataan lainnya, maka kita selalu menganggap ketunggalan di atas.
Berdasarkan definisi di atas, dapat ditentukan transformasi Laplace invers beberapa fungsi sederhana dibawah ini.
Nomor fs
} {
1
t F
x f
L
1.
s 1
1 2.
2
1 s
t 3.
,... 3
, 2
, 1
, ,
1
1
n s
n
n t
n
4.
a s
1
at
e
5.
2 2
1 a
s a
at sin
6.
2 2
a s
s
at cos
7.
2 2
1 a
s a
at sinh
8.
2 2
a s
s
at cosh
9.
2 2
2 2
2
a s
a s
at t cos
6.5 Sifat-sifat transformasi Laplace Invers
Kategori