Andaikan u =
3
√
x−4 u
3
= x – 4 dan 3u
2
du = dx X = x
3
+ 4 x
3
√
x−4 dx = u
3
+ 4 u . 3u
2
du = 3
u
3
+ 4 u
3
du = 3 u
6
+ 4u
3
du = 3 u
7
7 + 4 u
4
4 + C
= 3
7 x – 4
73
+ x – 4
43
+ C
3. Tentukan :
x+1
¿
2
¿ x
5
√
¿ dx
Penyelesaian : Andaikan u = x + 1
15
u
5
= x + 1 5u
4
du = dx x = u
5
– 1
x+1 ¿
2
¿ x
5
√
¿ dx =
u
5
– 1 u
2
. 5u
4
du = 5
u
11
– u
6
du =
5 12
u
12
- 5
7 u
7
+ C =
5 12
x + 1
125
- 5
7 x + 1
75
+ C
2.4.2. Integral Yang Mengandung
√
a
2
− x
2
,
√
a
2
+ x
2
da n
√
x
2
− a
2
Untuk merasionalkan kita gunakan penggantian: 1. x = a sin t
2. x = a tan t 3. x = a sec t
maka : 1. a
2
− x
2
= a
2
− ¿
a
2
sin
2
t = a
2
1 – sin
2
t = a
2
cos
2
t 2.
a
2
+ x
2
=
a
2
+ ¿
a
2
tan
2
t =
a
2
1 + tan
2
t = a
2
sec
2
t 3. x
2
− a
2
= a
2
sec
2
t – a
2
= a
2
sec
2
t – 1 = a
2
tan
2
t Jadi:
1.
√
a
2
− x
2
= a cos t = a cos t sebab : −
π 2
≤ t ≤ π
2 2.
√
a
2
+ x
2
= a sec t = a sec t sebab: −
π 2
t π
2 3.
√
x−a = a tan t = ± a tan t sebab: 0 ≤t ≤ ,t= π
2
Contoh : Tentukan :
√
a
2
− x
2
dx Penyelessaian :
x= a sin t , - 2 ≤ t ≤ 2
Maka ; dx = a cos t dt dan
√
a
2
− x
2
=
√
a
2
− a
2
sin
2
t =
√
1−sin
2
t a
2
=
√
a
2
cos
2
t = a cos t
∫
√
a
2
− x
2
dx = a cos t a cos dt = a
2
cos
2
t dt = a
2
cos
2
t dt = a
2
1+cos 2t
2 dt
= a
2
2 1 + cos 2 t dt
= a
2
2 t +
sin2 t 2
+ C
= a
2
2 t +
1 2
2 sin t cos t + C
= a
2
2 t + sin t cos t + C
Karena x = a sin t
x a
= sin t
Maka t = sin
-1
x a
cos sin x =
√
1−x
2
cos t = cos sin
-1
x a
= x
a 1−
¿
√
¿ =
√
1− x
2
a
2
=
√
a
2
a
2
− x
2
a
2
= 1
a
√
a
2
− x
2
√
a
2
− x
2
dx = a
2
2 sin
-1
x a
+ a 2
2
sin t cos t + C
= a
2
2 sin
-1
x a
+ a
2 x
a 1
a
√
a
2
− x
2
+ C
= a
2
2 sin
-1
x a
+ x
2
√
a
2
− x
2
+ C
Tentukan :
4−x
2
x
2
dx Penyelesaian:
Andaikan x = 2 sin t π
2 ≤ t ≤
π 2
dx = 2 cos t dt dan
√
4−x
2
=
√
4−4 sin
2
t = 1−sin
2
4 ¿
t
√
¿ =
√
4 cos
2
t = 2 cos t
∫
√
4−x
2
x
2
dx =
2cos t 2 sin
2
t 2 cos t dt
=
cos
2
t sin
2
t dt = cot
2
dt =
csc
2
t – 1 dt = - cot t – t + C 2 x
t
Sin t = x
2 t = sin
-1
x 2
cot t =
√
4−x
2
x
√
4−x
2
x
2
dx = -
√
4−x
2
x
- sin
-1
x 2
¿ + C
Tentukan :
dx
√
9+ x
2
Penyelesaian : Andaikan : x = 3 tan t , -
2 t 2 maka dx = 3 Sec
2
t dt
√
9+x
2
=
√
9+3
2
tan
2
t
=
√
9+9 tan
2
t = 1+tan
2
t 9
¿
√
¿ =
√
9 sec
2
t = 3 sec t
dx
√
9+ x
2
= 3 sec
2
t 3 sec t
dt = sec t dt = ln│sec t + tan t│+ C
dx
√
9+ x
2
= ln │
√
9+x
2
3
dt + x
3 │ + C
= ln │
√
9+x
2
+ x
3
│+ C
Melengkapkan Menjadi Kuadrat
Contoh:
Tentukan :
dx
√
x
2
+ 2 x +26
Penyelesaian: x
2
+ 2x + 26 = x
2
+ 2x + 1 + 25 = x + 1 + 25 4 – x
2
X = 2
sin t
Andaikan : u = x + 1 dan du = dx maka:
dx
√
x
2
+ 2 x +26
=
dx
√
x+1
2
+ 25
= du
√
u
2
+ 25
Andaikan :
U = 5 tan t , 2 ≤ t ≤ 2
du = 5 sec
2
t dt dan
√
u
2
+ 25 =
√
25tan
2
+ 1
√
u
2
+ 25=5 sect
Maka :
du
√
u
2
+ 25
=
1 5 sect
5 sec
2
t dt =
sec t dt =
sec t . sec t+tan t
sec +tan t dt
= sec
2
t +sect +tant sec t +tan t
dt = ln sec t + tan t + C
= ln │
√
u
2
+ 25
5
+ u
5 │+ C
= ln │
√
u
2
+ 25 + u │ - ln 5 + C
= ln
|√
x
2
+ 2 x+26
|
+ x + 1 │ + K
2.5. Pengintegralan Parsial 2.5.1 Pengeintegralan Parsial Biasa
