Andaikan : u = f x dan v = g x maka Dx f x g x = f x gx + gx f x
Maka : f x g x =
f x gx dx + gx f x dx atau :
f x gx dx = f x g x - gx f x dx Karena :
dv = gx dx dan du = f x dx maka rumus dapat ditulis
:
Pengintegralan Parsial Integral Tak Tentu
u dv = uv - v du
Pengintegralan Parsial Integral Tentu
Contoh
1. Tentukan
x cos x dx Penyelesaian:
Misal u = x du = dx dv = cos x dx v =
∫
cos x dx=sin x Maka :
∫
u dv=u . v−
∫
v du
∫
x cos x dx= x sin x−
∫
sin x dx ¿
x sin x−cos x +c
∫
a b
udv=uv b a
−
∫
a b
vdu
2. Tentukan
∫
1 e
ln x dx Penyelesaian :
Misal u = ln x du =
1 x
dx dv = dx v = x
u dv = u.v - v du
∫
1 e
ln x dx = x ln x - x
1 x
dx
¿ x ln x -
∫
1 e
dx
¿ x ln x │ e
1 - x │ e
1
x ln x - x │ e
1
e−e 1−1
1 ln ¿
¿ e ln
¿ −
¿ ¿ ¿
= e – e + 1 = 1
3. Tentukan
sin
-1
x dx Penyelesaian
: Misal u = sin
-1
x du = 1
√
1+x
2
dx x=sin U
1 = cos u du x
2
= sin
2
u x
2
= 1 – cos
2
u cos u =
√
1−x
2
1 = cos sin
-1
x d sin
-1
x 1 =
√
1−x
2
d sin
-1
x 1
√
1−x
2
= d sin
-1
x = du
dv=dx
x = v u dv = u.v -
v du
sin
-1
dx = x sin
-1
x -
1
√
1−x
2
dx
= x sin
-1
x -
1
√
1−x
2
dx a = 1 – x
2
da = -2x dx = x
sin
-1
x - x 1 – x
2 -½
-2x dx = x
sin
-1
x - x a
-½
1 −
2 x da
= x sin
-1
x + ½ a
-½
da = x
sin
-1
x + 1
2 1
− ½+1
a
½
+C
= x sin
-1
x + 1
2 .
2 1
a
½
+C = x
sin
-1
x + 1 – x
2 ½
+ C = x
sin
-1
x +
√
1−x
2
+ C
2.5.2 Pengintegralan Parsial Berulang
Contoh :
1. Hitunglah :
x
2
sin x dx Misal
u = x
2
du = 2x dx
dv = sin x dx v = sin x dx = - cos x dx
u dv = u.v - v du x
2
sin x dx = -x
2
cos x - -cos x 2x dx
= -x
2
cos x + 2x cos x dx
u = 2x du = 2 dx dv = cos x dx v =
cos x dx = sin x
x
2
sin x dx = -x
2
cos x + 2x sin x - 2 sin x dx
= -x
2
cos x + 2x sin x + 2 cos x + C
2. Tentukan
e
x
sin x dx Penyelesaian
: Misalnya : u = e
x
du = e
x
dx dv = sin x dx v =
sin x dx = -cos u dv = u. v - v du
e
x
sin x dx = -e
x
cos x -e
x
dx = e
x
cos x u = e
x
du = e
x
dx cos x dx =
v v = cos x dx = sin x e
x
sin x dx = -e
x
cos x + e
x
sin x - sin x e
x
dx e
x
sin x dx = e
x
sin x – cos x - e
x
sin x dx 2
e
x
sin x dx = e
x
sin x – cos x + C e
x
sin x dx = ½ e
x
sin x – cos x + C
3. Hitunglah
sec
3
d Penyelesaian :
sec
3
d = sec sec
2
d u = sec
du = sec tan d dv = sec
2
d v = sec
2
d = tan u dv = u.v - v du
sec
3
d = sec tan - tan sec tan d sec
3
d = sec tan - tan
2
sec d sec
3
d = sec tan - sec sec
2
- 1 d sec
3
d = sec tan - sec
3
- sec d sec
3
d = sec tan - sec
3
d + sec d sec
3
d = sec tan - sec
3
d + ln │ sec + tan │+C 2
sec
3
d = sec tan - sec
3
d +ln │sec + tan│ + C sec
3
d = 1
2 sec
tan + 1
2 ln │ sec
+ tan │+ K
RUMUS REDUKSI
f
n
x dx = g x + f
k
x dx dan k n
Contoh 1. Jabarkan suatu rumus reduksi untuk
sin
n
x dx Penyelesaian
: Andaikan
u = sin
n-1
x du = n - 1 sin
n-2
x cos x dv = sin x dx v =
sin dx = - cos x u dv = u.v - v du
sin
n
x dx = - sin
n-1
cos x - n – 1 - sin
n-2
x cos x . cos x dx = - sin
n-1
cos x + n – 1 sin
n-2
cos
2
x dx cos
2
x + sin
2
x = 1 cos
2
x = 1 – sin
2
x
sin
n
x dx = - sin
n-1
cos x + n – 1 sin
n-1
1 – sin
2
x dx = - sin
n-1
cos x + n – 1 sin
n-2
– sin
n
dx sin
n
x dx + n – 1 sin
n
x dx = -sin
n-1
cos x + n – 1 sin
n-2
dx n
sin
n
x dx = - sin
n-1
cos x + n – 1 sin
n-2
dx sin
n
x dx = −
sin
n−1
cos x n
+ n−1
n sin
n-2
dx 2. Gunakan rumus reduksi di atas untuk menghitung:
contoh
sin
3
x dx Penyelesaian
: sin
n
dx = −
sin
n−1
x cos x n
+ n−1
n sin
n-2
dx = -sin
n-1
π 2
Penyelesaiannya :
∫
¿ 2
sin
n
x dx =
[
− sin
n−1
x cos x n
]
¿ 2
+ n−1
n sin
n-2
dx =
[
− sin
n−1
❑ 2
cos ❑
2 n
]
+ sin
n−1
0 cos 0 n
+ n−1
n sin
n-2
x dx = 0 +
n−1 n
sin
n-2
x dx
∫
¿ 2
sin
8
x dx = 8−1
8
∫
¿ 2
sin
8−2
x dx =
7 8
∫
¿ 2
sin
8−2
x dx =
7 8
. 6−1
6
∫
¿ 2
sin
6 −2
x dx =
7 8
. 5
6
∫
¿ 2
sin
4
x dx =
7 8
. 5
6 4−1
4 sin
4-2
dx =
7 8
. 5
6 .
3 4
2−1 2
∫
¿ 2
sin dx
= 7
8 .
5 6
. 3
4 .
1 2
∫
¿ 2
dx =
7 8
. 5
6 .
3 4
. 1
2 .
1 2
= 35256
1. x e
x
dx 2.
x e
3x
dx
3. x sin 3 x dx
4. ln 3x dx
5. t sec
2
5 t dt 6.
x
√
x dx 7.
√
x ln x dx 8.
2
3
ln x dx 9.
∫
π 4 π 2
csc
3
x dx 10.
x dx dx 11.
x sin
3
x dx 12.
x
2
cos x dx 13.
sin ln x dx 14.
lnx
3
dx 15. Sebarkan rumus reduksi
cos
3
x dx dengan menggunakan rumus integral parsial 16. Buktikan rumus reduksi :
x e
x
dx = x
n
e
x
2.6 Pengintegralan Fungsi Rasional 2.6.1 Penjabaran Menjadi Pecahan Parsial Faktor Linier
faktor linier berbeda 1. Tentukan :
5 x +3
x
3
− 2 x
2
− 3 x
dx Penyelesaian:
5 x +3 x
3
− 2 x
2
− 3 x
= 5 x +3
x x
2
− 2 x−3
= 5 x+3
x x+1x −3 5 x+3
x x+1x −3 =
A x +
B x+1
+ C
x−3 5x + 3
= A x + 1 x – 3 + B x x – 3 + C x x + 1 didapat :
5x + 3 x
2
− 2 x −3
¿ A
¿ + B x
2
– 3x + C x
2
+ x 5x + 3 = A + B + C C x
2
+ -2A – 3B + C x + -3 A 3 = -3 A
A = -1 - 3A = 3 A = -1 A + B + C = 0
-1 + B + C = 0 B + C = 1 -2A – 3B + C = 5
2 – 3B + C = 5 -3B + C = 3 - 4B = -2
B + C = 1 B = - ½ -½ + C = 1
C = 3
2
