= x x+x
12
Terbukti
4. Tentukan
x
2
x
2
+ 1
dx x
2
+
√
x
2
+ 1 1-1
x
2
+ 1
x
2
x
2
+ 1
= x
2
+ 1
x
2
+ 1
- 1
x
2
+ 1
= x
2
x
2
+ 1
∫
x
2
x
2
+ 1
dx = 1
x
2
+ 1
1− ¿
∫
¿ dx
=
dx -
∫
1 x
2
+ 1
dx = X – Tan
-1
. X+C
2.3 Beberapa Integral Trigonometri
Jenis I :
sin
n
x dx , cos
n
x dx n. ganjil
contoh: 1. Tentukan :
sin
5
x dx =
sin
4
x sin x dx =
1-cos
2
x
2
sin x dx =
1-2 cos
2
x+ cos
4
x sin x dx
= 1-2 cos
2
x+ cos x
4
d cos x Dimana ; d cos x = sin x dx = - cos x –
2 3
cos
3
x + 1
5 cos
5
x + C Atau :
u = cos x du = - sin x dx
sin x dx = - du maka ; sin x dx = -
1- cos
2
x+ cos
4
x du = -
1-2 u
2
+ u
4
du = - u-
2 3
u
3
+ u
4
4 ¿
+ ¿
C = - cos x –
2 3
cos
3
x - 1
4 cos
4
x + C Apabila n positip genap, kita gunakan rumus setengah sudut:
sin
2
x = 1−cos 2 x
2 , cos
2
x = 1+cos 2 x
2 n genap
sin
2
x dx =
1−cos2 x 2
dx =
1 2
dx - 1
2 cos 2x dx u = 2x
= 1
2 x -
1 2
. 1
2 cos 2x
du 2
du = 2 dx dx =
du 2
= 1
2 x -
1 4
∫ cos u du =
1 2
x - 1
4 sin u + C
= 1
2 x -
1 4
sin 2x + C cos
4
x dx =
1+cos 2 x 2
2
dx =
1 4
1+2 cos 2x + cos
2
2x dx =
1 4
dx + 1
4 2 cos 2x dx +
1 4
∫ cos
2
2x dx =
1 4
dx + 1
4 2 cos 2x
du 2
+ 1
4
1+cos 4 x 2
dx =
1 4
dx + 1
4 cos 2x d 2x +
1 4
. 1
2 1 + cos 4x dx
= 1
4 dx +
1 4
sin 2x + 1
8 x+sin 4 x
4 + C
= 1
4 x +
1 4
sin 2x + 1
8 x +
1 32
sin 4x + C
Jenis 2 :
sin
m
x cos
n
x dx Apabila m atau n ganjil positip sedangkan mempunyai eksponen yang lain bilangan
sembarang menggunakan kesamaan sin
2
x + cos
2
x = 1 contoh: m atau n ganjil
Tentukan :
sin
3
x cos
-4
x dx Penyelesaian:
sin
3
x cos
-4
x dx = sin
2
x cos
-4
x sin x dx =
1 – cos
2
x cos
-4
x sin x dx = -
1 – cos x cos
-4
x d cos x = -
cos
-4
x -cos
-2
x d cos x = -
[
cos
− 3
x −
3 -
cos
− 1
− 1
]
+C =
1 3
sec
3
x + sec x + C Apabila m dan n positip genap, kita gunakan rumus setengah sudut untuk
mengurangi derajat integral. Contoh : m dan n genap
Tentukan :
sin
2
x cos
4
x dx sin
2
x = 1−cos2 x
2 cos
2
x = 1+cos 2 x
2 penyelesaian:
∫
sin x
2
cos
4
x dx = 1 –
cos 2 x 2
1 + cos 2 x
2
2
dx =
1 8
1 – cos 2x 1 + cos 2x
2
dx =
1 8
1 – cos 2x 1 + 2cos 2x + cos
2
2x dx =
1 8
1 + 2 cos 2x + cos
2
2x – cos2x – 2cos
2
2x – cos
3
2x dx
= 1
8 1 + cos 2x -
1 2
- 1−sin
4 x− ¿
1 2
cos ¿
2
2x cos 2x dx
= 1
8
1 2
+ cos 2x - 1
2 4 x −cos 2 x +
¿ sin
cos ¿
2x cos 2x dx =
1 8
1
2 dx−
1 2
cos 4x dx + sin
2
2x cos 2x dx =
1 8
1
2 x−
1 2
1 4
cos 4x d 4x + 1
2 1
3
∫
sin
3
2x ]d +C =
1 8
1
2 x−
1 8
sin
4
x dx + 1
6 sin
3
2x + C
Jenis 3:
tan
n
x dx cot
n
x dx Dalam kasus tangen dipakai
Dalam kasus cotangen dipakai: cot
2
x = csc
2
x - 1 Contoh :
Tentukan: cot
4
x dx Penyelesaian:
cot
4
x dx = cot
2
x csc
2
x – 1 dx =
cot
2
x csc
2
x – cot
2
x dx = - ∫ cot
2
x d cot x - csc
2
x – 1 dx = -
1 3
cot
3
x + cot x + x + C
Tentukan :
tan
5
x dx Penyelesaian:
tan
5
x dx = tan
3
x sec
2
x-1 dx =
tan
3
x sec
2
x- tan
3
x dx =
tan
3
x d tan x -
tan x . sec
2
x-1 dx =
tan
3
x d tan x -
tan x . sec
2
x - tan x dx
= 1
4 tan
4
x - 1
2 tan
2
x – ln
|
cos x
|
+ C
Jenis 4 :
∫
tan
m
x sec
n
xdx ,
∫
cot
m
x csc
n
xdx
Contoh : n genap, m sebarang
tan
2
x = sec
2
x -1
Tentukan :
∫
tan
− 3
2
x sec
4
x dx Penyelesaian :
∫
tan
− 3
2
x sec
4
x dx
sec
2
x=1+tan
2
x
tan
− 3
2
x+tan
1 2
x x
tan ¿
¿ ¿
∫
¿ sec
2
x dx →d ¿
tan
− 3
2
x+tan
1 2
x x
tan ¿
¿ ¿
∫
¿ d
¿ ¿
1 −
3 2
+ 1
tan
− 3
2 +
1
x+ 1
1 2
+ 1
tan
1 2
+ 1
x+c
¿ −
2 tan
− 1
2
x + 2
3 tan
3 2
x+c
Contoh : m ganjil, n sembarang Tentukan :
tan
3
x sec
-½
x dx Penyelesaian:
tan
3
x sec
-½
x dx =
tan
2
x tan x sec
-32
x sec x dx sec
2
x = 1 + tan 2x tan
2
x = sec 2 x – 1 =
sec x – 1 sec
-32
x tan x sec x dx d sec = tan x sec x
= sec
2
x – 1 sec
-32
x d sec x =
sec
12
x - sec
-32
x d sec x =
1 1
2 +
1 sec x - 1
− 3
2 +
1 sec
-32+1
x + C =
2 3
sec
23
x + 2 sec
-12
x + C
Jenis 5
sin mx cos nx dx
sin mx sin nx dx cos mx cos nx dx
sin mx cos nx = m+nx
m−n x sin
¿ +
sin ¿
¿ 1
2 ¿
sin mx sin nx = - 1
2 cos m + n x – cos m + n
x cos mx cos nx =
1 2
cos m + n x + cos m – n x
Contoh: Tentukan
sin 2x cos 3x dx Penyelesaian :
sin 2x cos 3x dx sin mx cos nx = 1
2 sin m + n + sin m- n x
= 1
2 sin 2 + 3 x + sin 2 – 3 x dx
= 1
2 sin 5x + sin -x dx
= 1
2 −
cos 5 x 5
+ cos x + C = -
1 10
cos 5x + 1
2 cos + C
2.4 Penggantian Yang Merasionalkan 2.4.1 Integral Yang Memuat
Kategori