3.
∫
e
u
d u=e
u
+ C
4.
∫
a
u
du= a
u
Ln a +
C ; a ≠ 1, a 0
Fungsi Trigonometri
5.
∫
sin U du=−cosU +C 6.
∫
cos U du=sin U +C 7.
∫
Sec
2
U du=tan U +C 8.
∫
Csc
2
U du=−cotU +C 9.
∫
Sec U tanU du=Sec U +C 10.
∫
Csc U cot U du=−Csc U +C 11.
∫
tanU du=−ln │cos U │+C 12.
∫
cosU du=ln│ sin U │+c
Fungsi Aljabar
13.
∫
du
√
a
2
+ u
2
= 1
a tan
− 1
u a
+ C
14
.
∫
du
√
a
2
+ u
2
= sin
− 1
u a
+ C
15
.
∫
du u
√
u
2
+ a
2
= 1
a sec
− 1
│u │ a
+ C=
1 a
cos
− 1
a │u │
+ C
Mengubah-ubah Integral Contoh:
1. Tentukan
∫
7 x
2
− 6 x+25
dx Penyelesaian:
∫
7 x
2
− 6 x+25
dx=
∫
7 x
2
− 6 x+9+16
dx=
∫
7 x−3
2
+ 4
2
dx
¿ 7
∫
1 x−3
2
+ 4
2
d x−3 ¿
74 tan
− 1
x−3 4
+ C
2. Tentukan:
∫
x
2
− x
x+1 dx
Penyelesaian ;
∫
x
2
− x
x+1 =
x +1 x−2+2 x+1
= x-2 + 2
x +1
∫
x
2
− x
x+1 =
x-2 dx +
∫
2 x−1
dx = x
2
2 - 2x + 2
∫
1 x+1
d x+1 = x
2
2 - 2x + 2 ln
|
x +1
|
+ C
B. Penggantian Dalam Integral Tentu
∫
1
x−1
4
dx Misal ; u = x-1
du = dx
U
4
du = x-1
4
d x-1
= 1
4+1 U
5
¿ 1
5 U
5
= 1
5 x-1
5
y = x−1
5
5 y
1
= 1
5 5 x-1
4
= x-1
4
Terbukti C. Beberapa Integral Trigonometri
1. Jenis 1 Apabila n ganjil
sin
n
X dx , cos
n
X dx Apabila n positif genap, maka kita gunakan rumus setengah sudut
sin
2
x = 1−cos2 x
2 , cos
2
x = 1+cos 2 x
2
2. Jenis 2 Apabila m atau n ganjil positif, sedangkan mempunyai eksponen yang
lain bilangan sembarang menggunakan ketidaksamaan
∫
sin
m
x cos
n
x dx
m dan n positif genap
sin
2
x cos
4
x dx sin
2
x = 1−cos 2 x
2 cos
2
x = 1+cos 2 x
2 penyelesaian:
∫
sin x
2
cos
4
x dx = 1 –
cos 2 x 2
1 + cos 2 x
2
2
dx =
1 8
1 – cos 2x 1 + cos 2x
2
dx
= 1
8 1 – cos 2x 1 + 2cos 2x + cos
2
2x dx =
1 8
1 + 2 cos 2x + cos
2
2x – cos2x – 2cos
2
2x – cos
3
2x dx
= 1
8 1 + cos 2x -
1 2
-
1−sin 4 x−
¿ 1
2 cos
¿
2
2x cos 2x dx
= 1
8
1 2
+ cos 2x - 1
2 4 x −cos 2 x +
¿ sin
cos ¿
2x cos 2x dx =
1 8
1
2 dx−
1 2
cos 4x dx + 1
2 sin
2
2x cos 2x dx =
1 8
1
2 x−
1 2
1 4
cos 4x d 4x +
1 2
1 3
∫
sin
2
2x d sin 2x =
1 8
1
2 x−
1 8
sin 4x dx + 1
6 sin
3
2x + C
3. Jenis 3
tan
n
x dx m n
n
x dx cot
n
x dx Dalam kasus tangen dipakai
Dalam kasus cotangen dipakai: cot
2
x = csc
2
x – 1
m ganjil n sembarang Tentukan :
∫
tan
− 3
2
x sec
4
x dx Penyelesaian :
∫
tan
− 3
2
x sec
4
x dx
sec
2
x=1+tan
2
x
tan
− 3
2
x +tan
1 2
x x
tan ¿
¿ ¿
∫
¿ sec
2
x dx →a ¿
tan
− 3
2
x+tan
1 2
x x
tan ¿
¿ ¿
∫
¿ d
¿ ¿
1 −
3 2
+ 1
tan
− 3
2 +
1
x+ 1
1 2
+ 1
tan
1 2
+ 1
x+c tan
2
x = sec
2
x – 1
¿ −
2 tan
− 1
2
x + 2
3 tan
3 2
x+c
4. Jenis 4 n genap, m sembarang
∫
tan
m
x sec
n
x dx ,
∫
cot
m
x csc
n
x dx
5. Jenis 5
sin mx cos nx = m+nx
m−n x sin
¿ +
sin ¿
¿ 1
2 ¿
sin mx sin nx = - 1
2 cos m + n x – cos m + n
x cos mx cos nx =
1 2
cos m + n x + cos m – n x
D. Penggantian Yang Merasionalkan
n
√
ax+b Integral yang mengandung
√
a
2
− x
2
,
√
a
2
+ x
2
dan
√
x
2
− a
2
Untuk merasionalkan kita gunakan penggantian: 1. x = a sin t
2. x = a tan t 3. x = a sec t
maka : 1.
a
2
− x
2
=
a
2
− ¿
a
2
sin
2
t =
a
2
1 – sin
2
t = a
2
cos
2
t
2.
a
2
+ x
2
= a
2
+ ¿
a
2
tan
2
t = a
2
1 + tan
2
t = a
2
sec
2
t sin mx cos nx dx
sin mx sin nx dx
cos mx cos nx dx
3.
x
2
− a
2
=
a
2
sec
2
t – a
2
=
a
2
sec
2
t – 1 = a
2
tan
2
t Jadi:
1.
√
a
2
− x
2
= a cos t = a cos t sebab : −
π 2
≤ t ≤ π
2 2.
√
a
2
+ x
2
= a sec t = a sec t sebab: −
π 2
t π
2 3.
√
x
2
− a
2
= a tan t = ± a tan t sebab: 0 ≤t ≤ ,t= π
2
E. Pengintegralan Parsial
Andaikan : u = f x dan v = g x maka Dx f x g x = f x gx + gx f x
Maka : f x g x =
f x gx dx + gx f x dx atau:
f x gx dx = f x g x - gx f x dx Karena :
dv = gx dx dan du = f x dx maka rumus dapat ditulis
:
1. Pengintegralan Parsial Integral Tak Tentu
