BAB II
TEKNIK PENGINTEGRALAN
2.1. Penggantian Dalam Integral Tak Tentu
Konstanta, Pangkat:
1.
∫
K d u=KU +C 2.
∫
U
r
du= U
r +1
r +1 +
C ; r ≠−1
L n│ U │+C ; r=−1
Eksponen
3.
∫
e
u
d u=e
u
+ C
4.
∫
a
u
du= a
u
Ln a +
C ;
a ≠ 1, a 0
Fungsi Trigonometri
5.
∫
sin U du=−cos U +C 6.
∫
cosU du=sin U +C 7.
∫
Sec
2
U du=tan U +C 8.
∫
Csc
2
U du=−cotU + C 9.
∫
Sec U tanU du=Sec U +C 10.
∫
Csc U cot U du=−Csc U +C 11.
∫
tanU du=−ln │cos U │+C 12.
∫
cosU du=ln│ sin U │+C
Fungsi Aljabar
13.
∫
du a
2
+ u
2
= 1
a tan
− 1
u a
+ C
14
.
∫
du
√
a
2
− u
2
= sin
− 1
u a
+ C
15
.
∫
du u
√
u
2
− a
2
= 1
a sec
− 1
│ u │ a
+ C=
1 a
cos
− 1
a │ u│
+ C
II-1
Penggantian : Contoh :
1. Tentukan
∫
x cos
2
x
2
dx Penyelesaian
Andai u= X
2
du=2 xdx dx = du
2 x
∫
x cos
2
x
2
dx=
∫
x cos
2
u du
2 x =
1 2
∫
x cos
2
u du
¿ 1
2
∫
Sec
2
U du= 1
2 tan U +C
¿ 1
2 tan
x
2
+ C
2. Tentukan
∫
3
√
5−9 x
2
dx
Penyelesaian ; Andai, u=3 x du=3 dx dx=
du 3
∫
3
√
5−9 x
2
dx=
∫
3
√
5−u
2
du 3
=
∫
du
√
5−u
2
¿ sin
− 1
u
√
5 +
C
¿ sin
− 1
3 x
√
5 +
C
3. Hitung
∫
6 e
1 x
x
2
dx Penyelesaian ;
Ingat
e
u
du=e
u
+ C
∫
6 e
1 x
x
2
dx=
∫
6 e
u
x
2
− x
2
du =−
6
∫
e
u
du ¿
− 6 e
u
+ C
¿ −
6 e
1 x
+ C
4.Tentukan
∫
e
x
4 +9 e
2 x
dx Penyelesaian ;
Andai, U=3 e
x
du=3 e
x
dx dx= du
3 e
x
3 e
X
¿
2
¿ 2
2
+ ¿
e
x
¿
∫
e
x
4 +9 e
2 x
dx=
∫
¿ ¿
1 3
∫
du 2
2
+ u
2
+ C
¿ 1
3 . ½ tan
− 1
u 2
+ C
¿ 1
6 tan
− 1
3 e
x
2 +
C Tidak ada hukum yang mengharuskan adanya suatu penggantian apabila dapat
dilakukan tanpa penggantian, lakukanlah:
5. Tentukanlah
∫
a
tan t
cos
2
t dt
Penyelesaian ; Dalam ingatan gunakanlah penggantian U=tan t
a
tan t
cos
2
t dt=a
tan
t
Sec
2
t dt ¿
a
tan t
d tan
t
¿ a
tan t
ln a +
C
Mengubah-ubah Integral Contoh:
1. Tentukan
∫
7 x
2
− 6 x+25
dx Penyelesaian:
∫
7 x
2
− 6 x+25
dx=
∫
7 x
2
− 6 x+9+16
dx=
∫
7 x−3
2
+ 4
2
dx
¿ 7
∫
1 x−3
2
+ 4
2
d x−3 ¿
74 tan
− 1
x−3 4
+ C
2. Tentukan:
∫
x
2
− x
x+1 dx
d x −3
= dx
Penyelesaian ;
∫
x
2
− x
x+1 =
x +1 x−2+2 x+1
= x-2 + 2
x +1
∫
x
2
− x
x+1 =
x-2 dx +
∫
2 x−1
dx = x
2
2 - 2x + 2
∫
1 x+1
d x+1
= x
2
2 - 2x + 2 ln
|
x +1
|
+ C
2.2. Penggantian Dalam Integral Tentu
Contoh:
1. Tentukan
∫
2 5
t
√
t
2
− 4 dt
Penyelesaian ; y =
∫
2 5
t
√
t
2
− 4 dt
t
2
-4 = u du = 2t dt
y =
∫
2 5
√
t
2
− 4 2t dt
1 2
t = 2 u = 2
2
– 4 = 0 t = 5
u = 5
2
-4 = 21
= 1
2
∫
2 5
√
t
2
− 4 2t dt
= 1
2
∫
21
u
1 2
du =
1 2
. 1
1 2
+ 1 U
3 2
]
21 = 12 . 23 U
3 2
]
21
= 13 U
3 2
]
21 = 13 21
32
– 13 0
32
= 32,08
2. Tentukan
∫
1
x−1
4
dx Misal ; u = x-1
du = dx
U
4
du = x-1
4
d x-1 =
1 4+1
U
5
¿ 1
5 U
5
= 1
5 x-1
5 y =
x−1
5
5 y
1
= 1
5 5 x-1
4
= x-1
4
Terbukti
3. Tentukan
∫
x
√
x
2
+ 2
Misal ; u = x
2
+2 du = 2xdx
dx = du
2 x x U
12
du2x = ½ U
½
du = 12 . 23 U
32
= 13 x
2
+2
32
= 13 x
2
+2
√
x
2
+ 2
y = x
2
+ 2
¿
3 2
¿ ¿
¿ y
1
= 12 . 32 x
2
+ 2
32 – 1
2x
= x x+x
12
Terbukti
4. Tentukan
x
2
x
2
+ 1
dx x
2
+
√
x
2
+ 1 1-1
x
2
+ 1
x
2
x
2
+ 1
= x
2
+ 1
x
2
+ 1
- 1
x
2
+ 1
= x
2
x
2
+ 1
∫
x
2
x
2
+ 1
dx = 1
x
2
+ 1
1− ¿
∫
¿ dx
=
dx -
∫
1 x
2
+ 1
dx = X – Tan
-1
. X+C
2.3 Beberapa Integral Trigonometri
Kategori