Determinan Matriks

2.6 Determinan Matriks

Kita semua sudah cukup mengenal fungsi f(x) = x + 2, g(x) = x 2 – 5x + 6, dan lain- lain, yaitu suatu fungsi yang mengawankan bilangan real x dengan bilangan real f(x). Fungsi demikian disebut fungsi bernilai real dari sebuah variabel real. Di dalam subbab ini, kita akan mengkaji fungsi bernilai real dari sebuah variabel matriks. Ini berarti bahwa daerah asal (domain) fungsinya adalah himpunan semua matriks persegi dan daerah kawan (kodomain) fungsinya adalah himpunan bilangan real. Fungsi ini selanjutnya akan disebut determinan.

Berikut ini diberikan definisi determinan matriks persegi ordo 2 × 2. Definisi 2.6

Jika A merupakan matriks persegi ordo 2 × 2, misalkan:

maka yang dimaksud dengan determinan dari A adalah bilangan real yang didefinisikan dengan det(A) = ad – bc.

Untuk memudahkan mengingat rumus determinan matriks ordo 2 × 2, perhatikan bentuk berikut.

(-)

Rumus determinan matriks A, det(A) diperoleh dengan mengalikan elemen-elemen pada panah yang mengarah ke kanan dan mengurangkan hasil kali elemen-elemen pada panah yang mengarah ke kiri.

Determinan matriks A sering dituliskan dengan det(A) atau |A|. Jika det(A) = 0, maka matriks A disebut matriks singular, dan jika det(A) ≠ 0, maka matriks A disebut matriks nonsingular.

Untuk memahami definisi determinan, berikut ini diberikan beberapa contoh menghitung nilai determinan suatu matriks.

Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa

Contoh 2.6.1 Tentukan determinan dari matriks-matriks berikut.

a. A = ⎜ ⎟ ⎝ 4 − 2 ⎠

b. B = ⎜ ⎝ 4 k − 3 ⎟ ⎠ ⎛ 75 ⎞

c. C= ⎜ 00 ⎝ ⎟ ⎠ Penyelesaian:

a. det(A) = (3) ⋅ (–2) – (1) ⋅ (4) = –6 – 4 = –10.

b. det(B) = (k – 1)(k – 3) – (2)(4) = k 2 – 4k + 3 – 8 = k 2 – 4k – 5.

c. det(C) = (7)(0) – (5)(0) = 0 – 0 = 0. W

Contoh 2.6.2 ⎛ k − 1 − 2 ⎞

Tentukan semua nilai k sedemikian hingga det(A) = 0, jika A = ⎜

1 k − 4 ⎟ ⎝ . ⎠ Penyelesaian:

det(A) = 0 ⇔ (k – 1)(k – 4) – (–2)(1) = 0 ⇔ k 2 – 5k + 4 + 2 = 0 ⇔ k 2 – 5k + 6 = 0

⇔ (k – 3)(k – 2) = 0 ⇔ k – 3 = 0 atau k – 2 = 0 ⇔ k = 3 atau k = 2

W Sekarang kita berikan definisi determinan matriks persegi berordo 3 × 3.

Definisi 2.7 Jika A merupakan matriks persegi ordo 3 × 3, misalkan:

maka yang dimaksud dengan determinan dari A, ditulis dengan det(A), adalah bilangan real yang didefinisikan dengan:

det(A) = a 11 ⋅a 22 ⋅a 33 +a 12 ⋅a 23 ⋅a 31 +a 13 ⋅a 21 ⋅a 32 -a 13 ⋅a 22 ⋅a 31 -a 11 ⋅a 23 ⋅a 32 -a 12 ⋅a 21 ⋅a 33 .

BAB II ~ Matriks

Untuk memudahkan mengingat rumus determinan matriks ordo 3 × 3, perhatikan bentuk berikut.

a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32

(-) (-) (-) (+ ) (+ ) (+)

Langkah pertama kita menyalin kolom pertama dan kolom kedua, dan diletakkan pada sisi sebelah kanan dari matriks seperti tampak pada gambar di atas. Langkah kedua menjumlahkan hasil kali elemen-elemen pada panah yang mengarah ke kanan dan mengurangkan hasil kali elemen-elemen pada panah-panah yang mengarah ke kiri. Hasil tersebut adalah determinan yang dimaksud.

Contoh 2.6.3 Tentukan determinan matriks-matriks berikut.

a. det(A) = − 4 5 64 − 5 7 − 897 − 8

b. det(B) = 405 40 309 30

Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa

Latihan 2.6

1. Hitunglah determinan dari matriks-matriks ordo 2 × 2 berikut ini. ⎛ 12 ⎞

2. Tentukan nilai k sedemikian hingga det(A) = 0, jika:

A= ⎜

3. Tentukan nilai k sedemikian hingga det(A) = 5, jika:

A= ⎜

4. Hitunglah determinan matriks ordo 3 × 3 berikut ini. ⎛ 13 1 ⎞

5. Tentukan nilai k sedemikian hingga det(A) = 0, jika:

⎛ k − 60 0 ⎞

A= ⎜

6. Buktikan bahwa jika matriks A berordo 2 × 2 mempunyai baris yang elemen-elemennya bilangan nol, maka det(A) = 0.

7. Buktikan bahwa jika matriks A berordo 3 × 3 mempunyai kolom yang elemen-elemennya bilangan nol, maka det(A) = 0.

8. Buktikan bahwa jika matriks A berordo 2 × 2 mempunyai baris kedua yang elemen- elemennya dua kali baris pertama, maka det(A) = 0.

9. Dengan memberikan contoh, tunjukkan bahwa det(A) = det(A t ).