Bunga Tunggal dan Bunga Majemuk Di dalam kehidupan sehari-hari, kita sering menjumpai transaksi pinjam-

3.9.1 Bunga Tunggal dan Bunga Majemuk Di dalam kehidupan sehari-hari, kita sering menjumpai transaksi pinjam-

meminjam uang, baik itu lewat bank ataupun lewat perorangan langsung. Terdapat beberapa model aturan yang diberlakukan di dalam proses pinjam- meminjam tersebut. Sebagai contoh, Pak Hasan meminjam uang kepada Pak Ali sebesar Rp1.000.000,00. Kedua pihak telah membuat kesepakatan bahwa setiap bulan Pak Hasan akan memberikan bunga sebesar Rp100.000,00. Berapa yang harus dikembalikan Pak Hasan, jika dia dapat melunasi utangnya dalam 10 bulan pertama? Tentu Pak Hasan harus mengembalikan pinjaman beserta bunganya sebesar Rp1.000.000,00 + Rp100.000,00 + Rp100.000,00 + Rp100.000,00 + ... + Rp100.000,00 (dengan Rp100.000,00 sebanyak 10 suku).

BAB III ~ Barisan dan Deret

Apabila dituliskan dengan notasi sigma adalah:

Perhitungan bunga semacam ini disebut perhitungan bunga tunggal atau bunga tetap. Jadi, yang dimaksud dengan bunga tunggal adalah bunga yang diberikan setiap jangka waktu pinjaman tertentu yang besarnya tetap. Sekarang bandingkan dengan permasalahan berikut. Ibu Yuli menabung uang di sebuah bank sebesar Rp1.000.000,00. Setiap bulan ibu Yuli mendapatkan bunga sebesar 2% dari sisa tabungan terakhir dan bunga selalu ditambahkan ke sisa tabungan terakhir. Berapa besar tabungan ibu Yuli setelah sepuluh bulan pertama?

1. Setelah 1 bulan, tabungan tersebut akan menjadi: 1.000.000 + 2% · 1.000.000 = 1.000.000 (1 + 2%)

2. Setelah 2 bulan, tabungan tersebut akan menjadi:

3. Setelah 3 bulan, tabungan tersebut akan menjadi: 1.000.000 (1 + 2%) 2 + 2% · 1.000.000 (1 + 2%) 2 = 1.000.000 (1 + 2%) 3

10. Setelah 10 bulan, tabungan tersebut akan menjadi: 1.000.000 (1 + 2%) 9 + 2% · 1.000.000 (1 + 2%) 9 = 1.000.000 (1 + 2%) 10 Perhitungan bunga semacam ini disebut perhitungan bunga majemuk. Jadi, sebuah modal dikatakan diberi bunga majemuk jika setiap bunga yang didapat pada setiap jangka waktu peminjaman terus digabungkan pada modalnya untuk juga mendapatkan bunga.

a. Mencari Besar Modal Terakhir Berikut ini diberikan rumus umum untuk suatu modal yang diberikan

bunga majemuk sesudah n periode pinjaman. Jika sebuah modal M rupiah dibungakan secara bunga majemuk dengan bunga p% setiap tahun, maka:

1) Sesudah 1 tahun, modal tersebut akan menjadi:

2) Sesudah 2 tahun, modal tersebut akan menjadi:

3) Sesudah 3 tahun, modal tersebut akan menjadi:

Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa

Akhirnya setelah n tahun, modal tersebut akan menjadi:

⎞ Mn = ⎜ 1 + 100 ⎟

M⎛

Jika dimisalkan i = , maka besarnya modal setelah n tahun adalah:

n = M(1 + i)

Untuk perhitungan (1 + i) n dapat digunakan daftar logaritma atau daftar I yang terdapat dalam daftar bunga. Jika digunakan daftar logaritma, maka ketelitiannya hanya terbatas empat angka di belakang koma, sedangkan jika digunakan daftar bunga, ketelitiannya sampai delapan angka di belakang koma. Berikut ini diberikan contoh cara menghitung besar modal setelah n periode pinjaman.

Contoh 3.9.1 Sebuah modal sebesar Rp4.000.000,00 dibungakan dengan bunga majemuk

5% untuk setiap tengah tahun. Berapakah besarnya modal itu sesudah

10 tahun? Pembahasan: Dari soal tersebut diketahui bahwa:

M = Rp4.000.000,00

i = 5% tiap tengah tahun n = 20 (karena 10 tahun = 20 periode bunga)

Cara I digunakan daftar logaritma Modal sesudah 10 tahun (= 20 periode bunga) adalah:

20 M

⇔ log M 20 = log 4.000.000 + 20 log (1,05) ⇔ log M 20 = 6 + log 4 + 20 (0,0212)

(lihat daftar logaritma)

⇔ log M 20 = 6 + 0,6021 + 0,4240 ⇔ log M 20 = 7,0261 ⇔ M 20 = 10.619.400,5

(lihat daftar antilogaritma) Jadi, besarnya modal setelah 10 tahun adalah Rp10.620.000,00.

Cara II digunakan daftar bunga Modal sesudah 10 tahun (= 20 periode bunga) adalah: M

(lihat daftar bunga)

= 10.613.190,84 Jadi, besarnya modal tersebut setelah 10 tahun adalah Rp10.613.190,84.

BAB III ~ Barisan dan Deret

Contoh 3.9.2 Suatu modal sebesar Rp1.000.000,00 dibungakan selama 3 tahun 3 bulan

dengan bunga majemuk 5% untuk setiap setengah tahun. Berapakah nilai akhir modal tersebut?

Penyelesaian: Dari soal tersebut diketahui bahwa:

M = Rp1.000.000,00 i

= 5% tiap tengah tahun

2 2 6 periode bunga) Di sini n diambil 6 terlebih dahulu, kemudian dihitung dengan daftar bunga,

1 6 (karena 3 tahun 3 bulan = 1

sedangkan yang

dihitung dengan bunga tunggal.

Modal tersebut setelah 3 tahun (6 periode bunga) adalah:

M 6 = 1.000.000 (1 + 0,05) 6 = 1.000.000 (1,05) 6

(lihat daftar bunga)

Modal tersebut setelah 3 tahun 3 bulan ( 1 2 6 periode bunga) adalah:

· 5% · M

Jadi, modal tersebut setelah 3 tahun 3 bulan adalah Rp1.373.598,031. W

Catatan: Jika suatu modal M dibungakan dengan dasar bunga majemuk p% per

periode bunga, sedangkan jangka waktunya adalah (n + r) periode bunga, dengan 0 < r < 1, maka:

M n+r = M n+r · p% · M n = M n (1 + r · p%) = M(1 + p%) n (1 + r · p%)

Selanjutnya, jika p% = i, maka modal terakhir setelah dibungakan (n + r) periode bunga adalah:

n+r M = M(1 + i) n (1 + r · i)

b. Mencari Besar Suku Bunga Dari hubungan M = M(1 + i) n n , jika tiga unsur dari M n , M, i, dan n

diketahui, maka satu unsur yang lain dapat dicari. Jadi, jika suatu modal awal diketahui dan setelah jangka waktu tertentu diketahui nilai akhir modalnya, maka besar persentase bunga dapat dicari.

Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa

Berikut ini diberikan contoh cara menentukan besarnya persentase bunga. Contoh 3.9.3

Suatu modal yang besarnya Rp2.000.000,00 dibungakan dengan dasar bunga majemuk. Sesudah 5 bulan modal itu menjadi Rp2.500.000,00. Berapakah besar suku bunga per bulan?

Penyelesaian: Dari soal tersebut diketahui bahwa:

= Rp2.000.000,00

= 5 M 5 = Rp2.500.000,00

Dari rumus M = M(1 + i) n n , diperoleh: 2.500.000 = 2.000.000 (1 + i) 5

2.500.000 ⇔ (1 + i) 5 = 2.000.000

5 ⇔ 5 (1 + i) =

⇔ 5 log (1 + i) = log 5 – log 4 ⇔ 5 log (1 + i) = 0,6990 – 0,6021 ⇔ 5 log (1 + i) = 0,0969 ⇔ log (1 + i) = 0,0194 ⇔ (1 + i)

= 0,046 Jadi, besar persentase bunganya adalah 4,6% per bulan. W

c. Mencari Lama Suatu Modal Dibungakan Jika unsur M, i, dan M n dari M n = M(1 + i) n diketahui, maka kita dapat

menentukan n. Jika nilai n tidak bulat, maka kita dapat menggunakan rumus interpolasi, tetapi dapat juga dihitung dengan cara bunga tunggal untuk sisa dari n yang terdekat yang telah diketahui dari daftar bunga.

Contoh 3.9.4 Dalam berapa tahunkah modal Rp2.000.000,00 menjadi Rp3.650.000,00

dengan besar bunga 2% tiap 6 bulan? Penyelesaian: Dari soal tersebut diketahui bahwa:

Dari rumus M n = M(1 + i) n , diperoleh:

3.650.000 = 2.000.000 (1 + 2%) n (1 + 2%) n

BAB III ~ Barisan dan Deret

Jika dilihat dalam daftar bunga akan didapat 30 < n < 31. Jika n = 30, maka:

M 30 = 2.000.000 (1 + 2%) 30 = 2.000.000 (1.81136158) = 3.622.723,16

Padahal diketahui M n = Rp3.650.000,00. Jadi, kelebihan bunga Rp27.276,84 ini dihitung dengan cara bunga tunggal. Misalkan kelebihannya x hari, maka

bunga dalam x hari = 3.622.723,16 ⋅

sehingga diperoleh x = 65 (dibulatkan) Jadi, modal di atas dibungakan selama 30 tengah tahun dan 65 hari atau

15 tahun 65 hari. W

d. Mencari Nilai Tunai Dari rumus M n = M(1 + i) n , jika diketahui M n , i, dan n, maka kita dapat

menentukan besarnya modal awal atau nilai tunai M, yaitu:

Di sini M adalah harga modal pada permulaan perhitungan, sehingga sering disebut dengan nilai tunai atau harga kontan. Untuk selanjutnya, nilai tunai M sering dituliskan dengan N t dan besarnya M n sudah diketahui, sehingga indeks n tidak perlu lagi. Akibatnya, kita dapat menuliskan M n dengan M saja. Jadi, rumus untuk nilai tunai sering dituliskan dengan:

Nt = ( 1 + i n ) atau Nt = M

Dengan n ( untuk beberapa nilai i dan beberapa nilai n yang bulat dapat 1 + i ) dilihat pada daftar bunga.

Berikut ini diberikan suatu contoh untuk menghitung nilai tunai suatu pinjaman jika besar pinjaman, suku bunga, dan lamanya pinjaman diketahui.

Contoh 3.9.5 Carilah nilai tunai suatu pinjaman sebesar Rp1.000.000,00 yang harus

dibayar setelah 5 tahun kemudian, jika besarnya suku bunga adalah 5% setiap tahun?

Penyelesaian: Dari soal tersebut diketahui bahwa:

M = Rp1.000.000,00

i = 5% n = 5

sehingga nilai tunai pinjaman tersebut adalah:

Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa

Jadi, nilai tunai dari pinjaman sebesar Rp1.000.000,00 yang harus dibayar

5 tahun kemudian adalah Rp783.526,17. W