Invers Matriks

2.7 Invers Matriks

Dalam teori bilangan, kita mengenal bahwa kebalikan (invers) bilangan 2

terhadap perkalian yaitu bilangan , sebab (2) ⎛⎞ 1 ⎜⎟ = 1. Demikian juga kebalikan (invers) 2 ⎝⎠ 2

bilangan adalah sebab ⎜⎟ ⎜⎟ = 1. Sekarang kita akan memperhatikan invers

dari suatu matriks persegi.

Definisi 2.8 Matriks A disebut invers matriks B, jika berlaku AB = BA = I, dengan I merupakan

matriks identitas.

Catatan:

1. Invers matriks B dituliskan dengan B -1 .

2. Jika A merupakan invers matriks B, maka dituliskan bahwa B -1 = A.

3. Jika A invers matriks B, maka B juga merupakan invers matriks A.

4. Pembahasan invers matriks hanya dibatasi pada matriks persegi, tidak ada definisi invers matriks yang tidak persegi.

Contoh 2.7.1 Jika diketahui:

tunjukkan bahwa A merupakan invers matriks B. Penyelesaian: Akan ditunjukkan bahwa AB = BA = I.

Perhatikan bahwa:

Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa

Jadi, terbukti bahwa AB = BA = I. Ini berarti bahwa A merupakan invers matriks B dan sebaliknya B merupakan invers matriks A.

Pertanyaan berikutnya, bagaimana menentukan invers suatu matriks persegi? Berikut ini diberikan teorema yang dapat digunakan untuk menentukan invers suatu matriks berordo 2 × 2.

Teorema 2.4 ⎛ ab ⎞

Jika A = , maka A -1

, asalkan ad – bc

B u k t i: Akan ditunjukkan bahwa AA -1 =A -1

A = I.

Perhatikan bahwa:

BAB II ~ Matriks

01 ⎝ ⎟ ⎠ Karena AA -1 = A -1

A = I, maka terbuktilah bahwa A -1 merupakan invers dari matriks A. W

Catatan:

1. Ingat kembali bahwa bilangan “ad – bc “ adalah determinan matriks A, atau

⎛ ab ⎞

det(A) = ad –bc, jika A = ⎜

⎝ cd

2. Dari Teorema 2.4, jika A merupakan matriks nonsingular atau det(A) ≠ 0, maka invers matriks A ada, tetapi jika matriks A merupakan matriks singular atau det(A) = 0, maka invers matriks A tidak ada.

Contoh 2.7.2 Tentukan invers matriks-matriks berikut (jika ada).

Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa

Penyelesaian:

a. Karena det(A) = (5)(3) – (2)(7) = 15 – 14 = 1 ≠ 0, maka invers matriks A ada. Dengan menggunakan rumus untuk mencari invers, diperoleh:

b. Karena det(B) = (3)(–2) – (–1)(6) = –6 + 6 = 0, maka matriks A tidak mempunyai invers.

c. Karena untuk sebarang sudut α, berlaku det(C) = cos 2 α + sin 2 α = 1 ≠ 0, maka invers matriks C ada. Dengan menggunakan rumus untuk mencari invers, diperoleh:

Contoh 2.7.3 Tentukan matriks A dan matriks B yang memenuhi persamaan matriks berikut.

a. ⎜ ⎟ A= ⎜ ⎝ 52 ⎠

24 ⎝ ⎟ ⎠ Penyelesaian:

b. B ⎜ ⎟ = ⎝ 73

a. Perhatikan persamaan matriks:

Jika dimisalkan P = ⎜

52 ⎟ , maka P = ⎜

Akibatnya, jika persamaan (i) dikalikan dari kiri dengan P -1 , maka diperoleh:

b. Perhatikan persamaan matriks:

(ii)

BAB II ~ Matriks

Jika dimisalkan Q = ⎜

⎟ , maka Q -1 =

Akibatnya, jika persamaan (ii) dikalikan dari kanan dengan Q -1 , maka diperoleh:

Teorema 2.5 Jika matriks A dan B mempunyai invers, maka matriks AB juga mempunyai

invers dan

(AB) -1 =B -1 A -1

B u k t i:

Harus ditunjukkan bahwa (AB)( B -1 A -1 ) = (B -1 A -1 )(AB) = I.

Perhatikan bahwa:

(AB)( B -1 A -1 ) = A(BB -1 )A -1 = AIA -1 = AA -1 =I

dan

(B -1 A -1 )(AB) = B -1 (A -1 A)B= B -1 IB= B -1 B= I Jadi, terbukti bahwa (AB) -1 =B -1 A -1 .

Contoh 2.7.4 Jika diketahui:

a. matriks AB

b. invers matriks AB atau (AB) -1

c. matriks A -1

d. matriks B -1

e. matriks A -1 B -1

f. matriks B -1 A -1 Penyelesaian:

Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa

Dari contoh ini tampak bahwa (AB) -1 =B -1 A -1 dan (AB) -1 ≠A -1 B -1 .

Latihan 2.7

1. Carilah invers dari matriks-matriks berikut (jika ada). ⎛ 32 ⎞

2. Tentukan nilai k sedemikian hingga matriks-matriks berikut punya invers. 2 2 ⎛ 2 k ⎞ ⎛ k

a. A = ⎜ 2 k + 1 ⎟

c. C= ⎜

b. B = ⎜ ⎝ 1 k + 3 ⎟ ⎠ (Ingat bahwa suatu matriks punya invers, jika determinannya tidak sama dengan nol).

BAB II ~ Matriks

3. Diketahui matriks-matriks:

Tentukan matriks-matriks berikut.

d. (AB) -1

l. 2A

e. A -1 B -1

m. (2A) -1

4. Dengan menggunakan hasil-hasil dari No. 3, jawablah pertanyaan berikut ini.

a. Apakah (AB) -1 =A -1 B -1 ?

b. Apakah (AB) -1 =B -1 A -1 ?

c. Apakah A -1

A = AA -1 = I?

d. Apakah (A t ) -1 = (A -1 ) t ?

e. Apakah (2A) -1 = 2A -1 ?

f. Apakah (A + B) -1 =A -1 +B -1 ?

5. Tentukan matriks X sedemikian hingga persamaan-persamaan matriks berikut benar. ⎛ 21 ⎞

6. a. Apakah matriks nol (O) berordo 2 × 2 mempunyai invers?

b. Apakah matriks identitas (I) berordo 2 × 2 mempunyai invers? Jika ya, tentukan inversnya.

Tentukan matriks-matriks berikut.

d. (3A) -1

Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa

b. Tentukan bilangan real k sedemikian hingga matriks kI – A tidak mempunyai invers.

9. Tunjukkan bahwa jika B dan C merupakan invers dari matriks A, maka B = C.

10. Tunjukkan bahwa jika AB = BA, maka (A + B) 2 =A 2 + 2AB + B 2 , dengan A 2 = AA.