Sistem Persamaan Linear dengan Dua Variabel Sebelum kita menggunakan cara determinan, sebagai penyegaran kita

2.9.1 Sistem Persamaan Linear dengan Dua Variabel Sebelum kita menggunakan cara determinan, sebagai penyegaran kita

ingat sekilas penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel dengan menggunakan cara eliminasi. Untuk ini perhatikan contoh berikut.

Contoh 2.9.1 Dengan menggunakan cara eliminasi, selesaikan sistem persamaan linear berikut.

⎩ 4 x + 3 y = 15

Penyelesaian: Dari sistem persamaan linear di atas, diperoleh:

Dari x = –6 dan 3x + 2y = 8, diperoleh: (3)(–6) + 2y = 8

⇔ 2y = 8 + 18 ⇔ 2y = 26 ⇔

y = 13

Jadi, penyelesaian sistem persamaan linear di atas adalah x = –6 dan y = 13. W

BAB II ~ Matriks

Sekarang perhatikan bentuk umum sistem persamaan linear dengan dua variabel berikut.

⎧ ax by k + = ⎨+= ⎩ cx dy m

Dengan menggunakan cara eliminasi, diperoleh sebagai berikut. ax + by = k | ×c|

acx + bcy = kc

cx + dy = m | ×a|

acx + ady = ma _ (bc – ad)y = kc – ma

Jika bc – ad ≠

0, maka diperoleh:

bcx + bdy = bm _ (ad – bc)x = kd – bm

kd bm −

x= − ad bc

Jadi, penyelesaian bentuk umum sistem persamaan linear dengan dua variabel adalah:

Sekarang akan dibahas cara penyelesaian untuk sistem persamaan linear dua variabel dengan cara determinan. Perhatikan lagi bentuk umum sistem persamaan linear dengan dua variabel berikut.

⎧ ax by k + = ⎨+= ⎩ cx dy m

Jika dimisalkan: ab k b a k

maka penyelesaian sistem persamaan linear di atas adalah:

kd bm −

am ck −

Δ Cara penyelesaian yang terakhir ini yang disebut dengan penyelesaian cara

Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa

Contoh 2.9.2 Dengan menggunakan cara determinan, tentukan penyelesaian sistem

persamaan linear berikut.

Penyelesaian: Kita hitung lebih dahulu:

= –2 dan y =

Catatan:

1. Jika pada sistem persamaan linear di atas didapat Δ ≠ 0, maka sistem persamaan linear tersebut mempunyai penyelesaian dan penyelesaiannya tunggal.

2. Jika pada sistem persamaan linear di atas didapat Δ = 0, maka terdapat dua kemungkinan, kemungkinan pertama sistem persamaan linear tersebut tidak mempunyai penyelesaian dan kemungkinan kedua mempunyai penyelesaian yang banyaknya tak hingga.

Tugas Mandiri

1. Berikan penjelasan lebih detail untuk sistem persamaan linear AX = b, dengan ⎛ ab ⎞

⎛⎞ x

⎛⎞ k

A =⎜ ⎟ , X =⎜⎟ , b , dan det(A) = 0, dengan pendekatan aljabar dan ⎝ c d ⎠

pendekatan geometri.

2. Berikan beberapa kemungkinan penyelesaian untuk soal No. 1.

BAB II ~ Matriks

Untuk memberikan penjelasan catatan kedua, perhatikan contoh berikut ini.

Contoh 2.9.3 Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut (jika

ada). ⎧ 2 x + 3 y =− 1

a. ⎨ ⎩ 4 x + 6 y =− 2

⎧ 4 x + 6 y = 10

b. ⎨ ⎩ 2 x + 3 y = 6 Penyelesaian:

a. Semua pasangan berurutan (x,y) yang memenuhi persamaan 2x + 3y = –1 pasti juga memenuhi persamaan 4x + 6y = –2. Ini berarti bahwa himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear tersebut adalah:

HP = {(x,y) | 2x + 3y = -1}.

Karena banyaknya pasangan (x,y) yang memenuhi persamaan tersebut banyaknya tak hingga, maka sistem tersebut mempunyai penyelesaian yang banyaknya tak hingga. Perhatikan bahwa untuk sistem persamaan linear ini diperoleh Δ = (2)(6) – (3)(4) = 12 – 12 = 0.

b. Jika persamaan 4x + 6y = 10 dibagi dua, maka diperoleh 2x + 3y = 5. Pasangan (x,y) yang memenuhi persamaan 2x + 3y = 5 dan sekaligus persamaan 2x + 3y = 6 tidak ada. Ini berarti, sistem persamaan linear tersebut tidak mempunyai penyelesaian. Perhatikan bahwa untuk sistem persamaan linear ini diperoleh Δ = (4)(3) – (6)(2) = 12 – 12 = 0.

W Di dalam kehidupan sehari-hari banyak dijumpai suatu persoalan yang

model matematikanya berupa sistem persamaan linear. Berikut sebuah contoh tentang hal ini.

Contoh 2.9.4 Seorang siswa ingin membeli kue dan es krim. Jika ia membeli 3 kue dan 3 es

krim, maka ia harus membayar Rp7.500,00, sedangkan jika ia membeli 2 kue dan 4 es krim, maka ia harus membayar Rp8.000,00. Berapakah harga sebuah kue dan sebuah es krim?

Penyelesaian: Misalkan: harga sebuah kue adalah x rupiah

harga sebuah es krim adalah y rupiah Dari informasi yang diberikan dalam soal di atas, diperoleh model matematika:

3x + 3y = 7.500 2x + 4y = 8.000

Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa

= 1.000 dan y = Δ = 1.500 Δ Jadi, harga sebuah kue adalah Rp1.000,00 dan harga sebuah es krim adalah

x=

Rp1.500,00. W