Barisan Aritmetika
3.2 Barisan Aritmetika
Di dalam subbab sebelumnya telah dijelaskan pengertian barisan dan deret, sekarang kita akan membahas barisan yang mempunyai sifat-sifat khusus, yang akan disebut dengan barisan aritmetika.
Definisi 3.4 Suatu barisan u 1 ,u 2 ,u 3 , ... , u n , ... disebut barisan aritmetika, jika dipenuhi u 2 u 1 =
u 3 u 2 =u 4 u 3 = ... = u n u n-1 = ... . Selisih yang tetap ini disebut beda (b) dari barisan arimatika, berarti b = u n u n-1 .
Dengan kata lain, barisan aritmetika adalah barisan bilangan yang mempunyai selisih atau beda antara suku-suku yang berurutan tetap. Barisan aritmetika sering juga disebut barisan hitung. Berikut ini diberikan beberapa contoh barisan aritmetika dan barisan yang bukan barisan aritmetika.
Contoh 3.2.1 Barisan 2, 4, 6, 8, ... merupakan barisan aritmetika karena u 2 u 1 =u 3 u 2 =u 4 u 3 = ...
dengan beda b = u 2 u 1 = 2. Barisan 125, 120, 115, 110, ... juga merupakan barisan aritmetika dengan beda, b = 120 125 = 5. Tetapi, barisan 1, 0, 1, 0, ... bukan merupakan barisan aritmetika karena u 2 u 1 = 1 tidak sama dengan u 3 u 2 = 1. Demikan juga barisan 1, 2, 4, 7, 11, ... bukan barisan aritmetika karena u 2 u 1 = 1 tidak sama dengan u 3 u 2 = 2. W
Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa
Berdasarkan definisi di atas, jika u 1 = a, maka bentuk umum dari suatu barisan aritmetika dapat ditulis sebagai:
u 1 =a u 2 = a+b u 3 = a + 2b u 4 = a + 3b
M n = a + (n1)b u
dengan suku ke-n adalah u n = a + (n-1)b. Karena a = u 1 , maka bentuk umum suku ke-n adalah:
u n =u 1 + (n 1)b
Apabila banyak sukunya berhingga, maka kita dapat menentukan sifat-sifat yang lebih khusus, yaitu jika banyak sukunya ganjil, maka banyak sukunya dapat dinyatakan dengan (2n + 1) , untuk suatu bilangan asli n. Akibatnya, kita dapat menentukan suku tengahnya, yaitu:
1 u t =u n+1 =u 1 + nb = (u 1 +u 2n + 1 ) 2
Sedangkan jika banyak sukunya genap, maka banyak sukunya dapat dinyatakan dengan 2n, untuk suatu bilangan asli n, dan untuk kasus ini diperoleh hubungan:
u 1 +u 2n =u 2 +u 2n 1 = =u n +u n+1
Berikut ini diberikan beberapa contoh menentukan suku ke-n barisan aritmetika jika diketahui suku pertama dan bedanya.
Contoh 3.2.2 Tentukan suku ke-51 dari barisan aritmetika: 3, 1, 5, 9, ... . Penyelesaian:
Dari barisan aritmetika yang diberikan diketahui bahwa u 1 = a = 3 dan b = 1 (3) =
4. Suku ke-51 dapat ditentukan sebagai berikut.
u 50 =u 1 + (51 1) 4 = 3 + 200 = 197
W Contoh 3.2.3
Diberikan suatu barisan aritmetika: 126, 120, 114, ... . Suku yang ke berapakah merupakan bilangan nol?
Penyelesaian: Dari barisan yang diberikan diketahui u 1 = 126 dan b = 120 126 = 6. Jika diketahui
u n = 0, maka diperoleh:
n =0 u ⇔ u 1 + (n1)b = 0 ⇔ 126 + (n1)(6) = 0
⇔ 126 6n + 6 = 0 ⇔ 6n = 132
⇔ n= 132 = 22 6
Jadi, suku ke-22 adalah bilangan nol atau u 22 = 0.
BAB III ~ Barisan dan Deret
Contoh 3.2.4 Dari suatu barisan aritmetika yang banyak sukunya ganjil diketahui bahwa u 5 = 18,
u t = 14, dan suku yang terakhir adalah 26. Tentukan banyak suku dan barisan tersebut. Penyelesaian: Karena banyak sukunya ganjil, maka banyak sukunya dapat dinyatakan dengan
(2n + 1), sehingga suku terakhirnya dapat dituliskan dengan u 2n + 1 = a + 2nb dan suku tengahnya dapat dituliskan: u t = a + nb. Akibatnya, diperoleh hubungan-hubungan:
a + 2nb = 26 2a + 2nb = 28 _ a = 2
Diperoleh a = 2. Selanjutnya dari u 5 = 18, diperoleh a + 4b = 18 dan akibatnya 4b = 18 2 atau b = 4. Kemudian dari a + nb = 14 , diperoleh 2 + 4n = 14 atau n = 3. Jadi, banyak suku dari barisan tersebut adalah 2 · 3 + 1 = 7 dan barisan tersebut adalah:
W Contoh 3.2.5
Diketahui bahwa tiga bilangan membentuk tiga suku pertama dari suatu barisan aritmetika. Jumlah ketiga bilangan tersebut adalah 24 dan hasil kalinya 440. Tentukan bilangan-bilangan itu.
Penyelesaian: Misalkan bilangan-bilangan itu adalah p b, p, p + b.
Dari soal, diketahui: (i) (p b) + p + (p + b) = 24
⇔ 3p = 24 ⇔ p=8
(ii) (p b) (p) (p + b)
⇔ (b 3)(b + 3) = 0 ⇔ b = 3 atau b = 3
Untuk p = 8 dan b = 3, diperoleh barisan aritmetika 5, 8, 11, ... . Untuk p = 8 dan b = 3, diperoleh barisan aritmetika 11, 8, 5, ... .
Tugas Kelompok
Pada Contoh 3.2.5, kita juga dapat memisalkan tiga bilangannya adalah a, a + b, a + 2b, tetapi perhitungannya tidak akan sederhana jika kita memisalkan p b, p, p + b (Silakan diskusi dengan teman Anda). Anda dapat juga memisalkan tiga bilangan tersebut adalah x, y, dan z, tetapi pemisalan ini akan menghasilkan perhitungan yang lebih rumit lagi. Dari kasus ini dapat dimengerti bahwa tiga bilangan, s, t, dan u, membentuk barisan aritmetika jika berlaku 2t = s + u. Dengan cara yang sama, empat bilangan, s, t, u, dan v, membentuk barisan aritmetika jika berlaku s + u = t + v (Buktikan dalam kelompok diskusi Anda).
Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa
Latihan 3.2
1. Selidikilah apakah barisan berikut ini merupakan barisan aritmetika atau bukan (berikan penjelasan).
2. Tentukan beda dari barisan aritmetika berikut ini.
3. Tuliskan rumus umum suku ke-n dari barisan aritmetika yang disajikan pada no. 2.
4. Tentukan suku ke-10 dan suku ke-15 dari masing-masing barisan aritmetika berikut. 113
5. Dari suatu barisan aritmetika diketahui bahwa suku ke-8 adalah 25 dan suku ke-12 adalah 45. Tentukan suku pertama dan beda dari barisan tersebut, kemudian tentukan juga barisannya.
6. Dari suatu barisan aritmetika diketahui bahwa suku ke-5 adalah 32 dan suku ke-10 adalah 12. Tentukan suku ke-20 dari barisan aritmetika tersebut.
7. Diketahui bahwa tiga bilangan membentuk tiga suku pertama dari suatu barisan aritmetika. Jumlah ketiga bilangan tersebut adalah 60 dan hasil kalinya 7.500. Tentukan bilangan-bilangan itu.
8. Suku ke-5 dari suatu barisan aritmetika adalah 16, jumlah tiga suku pertamanya adalah
21. Tentukan beda dan suku ke-10 dari barisan tersebut.
9. Tentukan x apabila bilangan-bilangan berikut membentuk suatu barisan aritmetika.
a. x 2, x + 1, dan 5x
c. 2x 2 + 1, 3x 2 1, dan 5x 2 x+3
b. 3x 1, 3x + 1, dan 4x 3
10. Dalam sebuah barisan aritmetika diketahui u 1 = 3, u n = 87, dan u 6 +u 7 = 39. Tentukan beda (b), n, dan u 50 .