Barisan Geometri

3.4 Barisan Geometri

Berbeda dengan barisan aritmetika yang mempunyai beda atau selisih yang tetap, berikut ini akan disajikan barisan geometri.

Definisi 3.4.1 Barisan geometri adalah barisan bilangan yang antara dua suku berurutan

mempunyai pembanding (rasio) tetap. Rasio dilambangkan dengan r.

BAB III ~ Barisan dan Deret

Jika barisan u 1 ,u 2 ,u 3 , ... , u n , ... merupakan barisan geometri, maka berlaku:

u 2 u = u 3 = 4 = u L = n = L = konstanta

Konstanta ini yang disebut pembanding (rasio) dari deret geometri tersebut, yang selanjutnya dinotasikan dengan r.

Jika suku pertama, u 1 dari deret geometri dinyatakan dengan a dan rasio dengan r, maka diperoleh:

dan seterusnya.

Jadi, bentuk baku barisan geometri adalah:

a, ar, ar 2 , ar 3 , … , ar n-1 , ...

Bentuk baku suku ke-n dari barisan geometri adalah:

u n = ar n-1

dengan: u n

= suku ke-n r = rasio

a = suku pertama Contoh 3.4.1

Diberikan barisan geometri: 4, 8, 16, ... . Tentukan rasio (r) dan suku ke-8 (u 8 ). Penyelesaian:

u 2 Rasio (r) =

= 2, sedangkan suku ke-8 (u ) = 4 (2) 7 = 4(128) = 512.

W Contoh 3.4.2

Diketahui bahwa suku ke-n dari suatu barisan geometri adalah u n =5·2 n-1 . Tentukan rasio dari barisan geometri ini, dan kemudian tentukan suku ke-7.

Penyelesaian: u n

Karena u n =5·2 n–1 , maka u n–1 =5·2 n–2 . Akibatnya, rasio (r) = = 2. u n −1

Suku pertama dari barisan ini adalah a = u 1 =5·2 1–1 = 5 · 1 = 5, sedangkan suku ke-7 dari barisan geometri ini adalah:

u =a·r 7–1 =5·2 6 7 =5(64) = 320

W Contoh 3.4.3

1 Dari suatu barisan geometri diketahui bahwa suku keempatnya adalah

dan suku 2

pertamanya adalah 4. Tentukan rasio dan barisan tersebut. Penyelesaian:

Diketahui u 1 = a = 4 dan u 4 = . Akibatnya, ar 3 =

atau 4r 3 = .

Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa

Jadi, r 3

atau r = . Barisan geometri yang ditanyakan adalah 4, 2, 1, , ... .

Contoh 3.4.4 Tiga buah bilangan merupakan tiga suku pertama dari suatu barisan geometri. Jumlah

ketiga bilangan tersebut adalah 28 dan hasil kali tiga bilangan tersebut adalah 512. Tentukan tiga bilangan tersebut.

Penyelesaian: Misalkan bilangan-bilangan tersebut adalah:

a , a, ar r

Dari yang diketahui, diperoleh: a

⇔ (2r – 1)(r – 2) = 0 ⇔r= 1

atau r = 2 2

Untuk a = 8 dan r = , diperoleh tiga bilangan tersebut adalah:

Untuk a = 8 dan r = 2, diperoleh tiga bilangan tersebut adalah:

Catatan: Perhatikan bahwa dalam Contoh 3.4.4, kita tidak mengambil pemisalan a, ar, ar 2 .

Siswa yang penasaran tentang hal ini dapat mencoba dengan pemisalan ini, tentu akan diperoleh perhitungan yang tidak sesederhana jika kita memisalkan

a , a, ar r

Dengan kasus ini dapat dimengerti bahwa tiga bilangan, a, b, dan c, membentuk

2 barisan geometri jika berlaku b a 2 = ac (Bandingkan dengan a = r ar).

BAB III ~ Barisan dan Deret

Contoh 3.4.5 Tentukan nilai k agar bilangan k – 3, k – 1, dan 2k + 1 membentuk tiga suku pertama dari

barisan geometri. Penyelesaian: Bilangan k –3, k – 1, dan 2k + 1 membentuk barisan geometri, jika:

2 = (k – 3)(2k + 1) (k – 1) ⇔ k 2 – 2k + 1 = 2k 2 – 5k – 3

⇔ k 2 – 3k – 4 = 0 ⇔ (k + 1)(k – 4) = 0 ⇔ k = –1 atau k = 4

Untuk k = –1, diperoleh barisan geometri: –4, –2, –1, ... . Untuk k = 4, diperoleh barisan geometri: 1, 3, 9, ... .

W Contoh 3.4.6

Sebuah perusahaan pada tahun pertama memproduksi 1.000 unit barang. Setiap tahun perusahaan tersebut menaikkan produksinya sebesar 25%. Berapakah banyaknya produksi perusahaan tersebut pada tahun ke-5?

Penyelesaian: Produksi tahun pertama = 1.000 unit.

1 Produksi tahun kedua adalah (1.000 + 25% × 1.000) = 1.000 ⎛ 1 + ⎜ ⎞ ⎝

4 ⎟ ⎠ Produksi tahun ketiga adalah:

Produksi tahun keempat adalah:

Produksi tahun kelima adalah:

Banyaknya produksi perusahaan tersebut membentuk suatu barisan geometri sebagai berikut.

Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa

Latihan 3.4

1. Tentukan mana yang merupakan barisan geometri dari barisan berikut.

2. Tentukan rasio dan rumus suku ke-n dari barisan geometri berikut ini.

3. Tentukan suku pertama, rasio, dan suku ke-10 dari barisan geometri yang disajikan dalam bentuk rumus suku ke-n berikut ini.

4. Tiga buah bilangan merupakan tiga suku pertama dari suatu barisan geometri. Jumlah ketiga bilangan itu adalah 63 dan hasil kalinya adalah 1.728. Tentukan bilangan-bilangan tersebut.

5. Tentukan nilai x agar tiga bilangan, x + 4, 3x + 3, dan 7x + 1, merupakan tiga suku pertama dari suatu barisan geometri, kemudian tentukan suku ke-10 dari barisan tersebut.

6. Diketahui bahwa banyaknya penduduk Indonesia pada tahun 2000 adalah 220 juta. Setiap tahun penduduk Indonesia bertambah 3%. Berapakah banyaknya penduduk Indonesia pada tahun 2010?

7. Sebuah tabungan sebesar Rp1.000.000,00 mendapatkan bunga 10% setiap tahun. Berapakah besarnya tabungan tersebut setelah 10 tahun?

8. Sebuah perusahaan pada tahun pertama memproduksi sebanyak 1.000 unit barang. Setiap tahun perusahaan tersebut mengalami penurunan produksi sebesar 10%. Pada tahun ke berapakah perusahaan tersebut hanya memproduksi kurang dari 100 unit barang?