Deret Geometri

3.5 Deret Geometri

Seperti halnya deret aritmetika diperoleh dari penjumlahan bilangan-bilangan di dalam barisan aritmetika, definisi untuk deret geometri juga serupa.

Definisi 3.5.1 Jika u 1 ,u 2 ,u 3 , ... , u n , ... merupakan barisan geometri, maka bentuk jumlahan: u 1 +

u 2 +u 3 + ... + u n + ... disebut deret geometri.

BAB III ~ Barisan dan Deret

Karena bentuk baku barisan geometri dinyatakan dalam bentuk: a, ar, ar 2 , ar 3 , ... , ar n-1 , ... , maka bentuk baku untuk deret geometri dinyatakan sebagai:

a + ar + ar 2 + ar 3 + ... + ar n–1 + ...

Jika jumlah n buah suku pertama deret geometri dinyatakan dengan S n , maka rumus untuk S n adalah:

dengan: S n : jumlah n buah suku pertama

a : suku pertama r : rasio n : nomor suku

Rumus jumlah n buah suku pertama tersebut dapat diturunkan dari perhitungan berikut.

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– – S n – rS n = a

– ar

(1-r)S n = a(1 – r n ) Jadi,

a (1 r n − )

a (1 − r n )

Apabila pembilang dan penyebut dari S n = , r ≠ 1 dikalikan dengan –1, diperoleh:

1 − r ar ( n − 1)

Contoh 3.5.1 Tentukan S 10 dari deret geometri: 3, 6, 12, 24, ... . Penyelesaian: Dari yang diketahui, diperoleh bahwa a = 3 dan rasio r = 2. Jumlah 10 suku pertama dari

deret ini adalah:

W Contoh 3.5.2

Tiga buah bilangan merupakan barisan geometri, yang jumlahnya sama dengan 65. Jika suku tengahnya sama dengan 15, tentukan bilangan-bilangan tersebut.

Penyelesaian: Misalkan bilangan-bilangan tersebut adalah a, ar, ar 2 . Diketahui bahwa ar = 15 dan a +

2 2 15 15 ar + ar 3 = 65, akibatnya a + ar = 50 dan a = . Selanjutnya, + 15r = 50 atau

r + 3r = 10.

Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa

3 – 10r + 3 = 0 atau (3r – 1)(r – 3) = 0. Ini berarti, r =

Jadi, diperoleh persamaan: 3r 2

atau r

r = 3. 3

Untuk r = , diperoleh barisan geometri: 45, 15, 5. r

Untuk r = 3, diperoleh barisan geometri: 5, 15, 45. W

Contoh 3.5.3 Jumlah n suku dari suatu deret adalah S n =5 n – 1.

a. Tunjukkan bahwa deret tersebut merupakan deret geometri.

b. Tentukan suku pertama, rasio, dan suku ke-5. Penyelesaian:

a. Dari rumus S n , diperoleh bahwa:

Dari hubungan u n =S n –S n–1 , diperoleh: u = (5 n – 1) – (5 n–1 – 1) = 5 n –5 n–1 =5 n–1 n (5 – 1) = 4 · 5 n–1 Akibatnya,

u n Karena

merupakan bilangan yang tetap, maka deret tersebut merupakan deret u n − 1

geometri.

b. Suku pertama, u 1 =4·5 0 = 4 · 1 = 4.

Rasio, r = n = 5.

Suku ke-5,

u = ar 5–1 =4·5 4 5 = 4 · 625 = 2.500.

W Contoh 3.5.4

Tiap-tiap awal bulan, Ani menabung uang di bank sebesar Rp.100.000,00. Bank tersebut memberikan bunga sebesar 2% setiap bulan. Pada akhir bulan ke-10, semua uang Ani diambil. Berapakah uang Ani tersebut?

Penyelesaian: Uang Ani pada akhir bulan pertama adalah:

S 1 = 100.000 + 2% · 100.000 = 100.000 (1 + 0,02) = 100.000 (1,02)

Uang Ani pada akhir bulan kedua adalah: S 2 = 100.000 (1,02)+ 2% · 100.000 (1,02) = 100.000 (1,02) (1 + 0,02)

= 100.000 (1,02 + 1,02 2 ) Dengan cara serupa diperoleh bahwa uang Ani pada akhir bulan kesepuluh adalah: S = 100.000 (1,02 + 1,02 2 + 1,02 10 3 + 1,02 4 + ... + 1,02 10 ) Perhatikan bahwa jumlahan: 1,02 + 1,02 2 + 1,02 3 + ... + 1,02 10 merupakan deret geometri dengan suku pertama, a = 1 dan rasio, r = 1,02.

BAB III ~ Barisan dan Deret

= 100.000 ⋅ 11,16871542 (lihat daftar bunga tabel III) = 1.116.871,54 Jadi, jumlah uang Ani pada akhir bulan ke-10 adalah Rp1.116.871,54. W

Tugas Mandiri

Dengan menggunakan paket pengolah angka Microsoft Excel, buatlah tabel kondisi keuangan Ani, pada Contoh 3.5.4, setiap awal bulan dan akhir bulannya.

Latihan 3.5

1. Tentukan mana yang merupakan deret geometri dari deret berikut.

2. Tentukan rasio dan suku ke-10 dari deret geometri berikut ini.

3. Suku pertama dan suku ketiga dari suatu deret geometri adalah 81 dan 9. Tentukan suku ke-8 dan jumlah 8 suku pertama dari deret tersebut.

4. Suku ke-4 dan suku ke-9 dari suatu deret geometri adalah –8 dan 256. Tentukan suku pertama, rasio, suku ke-12, dan jumlah 12 suku pertama dari deret tersebut.

5. Dari suatu deret geometri diketahui bahwa jumlah dua suku pertama adalah 12 dan jumlah empat suku pertama adalah 93. Tentukan suku ke-8 dan jumlah 8 suku pertama.

6. Diketahui bahwa jumlah n suku pertama dari suatu deret adalah S

n =2 – 1.

a. Buktikan bahwa deret tersebut merupakan deret geometri.

b. Berapakah suku pertama, rasio, dan suku ke-8 deret tersebut.

7. Tiap-tiap awal bulan, Hasan menabung uang di bank sebesar Rp200.000,00. Bank tersebut memberikan bunga sebesar 3% setiap bulan. Pada akhir bulan ke-8, semua uang Hasan diambil. Berapakah jumlah uang Hasan tersebut?