4 PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN SIMULTAN

1 0.4 PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN SIMULTAN

Pada tahap ini, matriks koefisien [C'] dan vektor gaya yang telah tersusun, dituliskan dalam bentuk tergabung (augmented) untuk sejumlah L kasus pembebanan sebagai berikut.

Dalam bahasan sebelumnya telah dinyatakan bahwa matriks koefisien [C] sama untuk struktur yang sama, dan tidak tergantung pembebanan. Ini memperkenankan kita untuk menyusun [ C] cukup sekali saja, dan kemudian menggunakannya untuk setiap kasus pembebanan satu per satu. Dengan demikian, untuk mewakili semua kasus pembebanan, kita akan meninjau salah satu kasus pembebanan saja. Tentu saja tinjauan ini akan berlaku untuk semua kasus lainnya.

CNN r,

[C']

{S}

{P}

GAMBAR 1 0.3 Bentuk Tergabung Dari Distem Persamaan Simultan

Dalam terapan, ditemukan beberapa cara untuk menyelesaikan sistem persamaan simultan linier nonhomogen. Setiap cara mempunyai kelebihan dan kekurangan, sehingga untuk setiap jenis problem yang dihadapi, sepatutnya perlu dipilih suatu cara penyelesaian yang lebih cocok digunakan. Secara garis besar, digolongkan dua macam teknik solusi, yaitu: (a) cara langsung, dan (b) cara tidak langsung. Cara langsung adalah teknik solusi yang beroperasi atas sistem persamaan, yang kemudian digunakan untuk menghitung solusi sekali saja. Cara tidak langsung merupakan cara iteratif yang melakukan operasi atas sistem persamaan. Siklus pertama yang menemukan solusi pendekatan pertama, digunakan untuk siklus berikutnya untuk mendapatkan solusi yang diperbaharui, demikian seterusnya hingga solusi konvergen ke solusi yang sebenarnya.

Salah satu metoda penyelesaian adalah dengan cara inversi, yaitu menghitung inver'ii dari [C], lalu mengalikan sistem persamaan dalam Persamaan (10.8) dengan matriks invers yang diperoleh dari depan; jadi

180 MEKANIKA TEKNIK: STATIKA DALAM ANALISIS STRUKTUR BERBENTUK RA.c'lGKA

(10.20) Karena [C]-1 [C] = [I] yaitu matrik identitas, maka dari Persamaan (10.20) diperoleh

[C]-1 [C] {S} = [C]-1 {P}

{S} = [C]-1 {P}

Dengan demikian, cara inversi merupakan teknik solusi langsung. Cara ini termasuk yang sangat jarang digunakan atas dasar beberapa hal. Pertama, untuk beberapa terapan rekayasa, matriks [C] kerap disimpan dalam memori secara tidak utuh (hanya sebagian), khususnya jika yang disimpan adalah matriks [C1 yang simetris. Kedua, kita hanya berminat untuk mendapatkan vektor {S} sebagai solusi, sehingga bentuk eksplisit matriks inversi [C]-1 tidak kita perlukan. Kecuali jika kita memang membutuhkan bentuk eksplisit inversi matriks koefisien, kita sebaiknya tidak menggunakan metoda inversi ini, sebab ditinjau dari segi praktisnya, tidak begitu menguntungkan serta membutuhkan perhitungan yang lebih panjang dan mahal.

A TIKA dalam Bab 11 nanti, kita akan menggunakan sa tu cara yang diterapkan atas persamaan modifikasi dalam Persamaan (10.14), yaitu untuk [C] yang simetris. Kita menuliskan persamaan itu kembali dengan diwakili oleh suatu sistem persamaan orde tiga

Dalam program ST

sebagai berikut.

ells1 + e12sz + e13S3 = P1 e21s1 + e22s2 + e2353 = p2

a tau

[C]{S} = {P}

e31s1 + e32s2 + e33s3 = p3

Sekarang, kita "memegang" baris pertama, baris kedua dan ketiga masing-masing dikurangi dengan e2J ell dan e3J ell kali baris pertama sehingga diperoleh

Jika dalam akhir proses pertama ini dinyatakan bahwa unsur-unsur baru adalah

maka Persamaan (10.23) berubah menjadi

CnSI + c12S2 + C13S3 = fi

cbs2 + c}3s3 - pl -2

c�2S2 + d3S3 -

10 STATIKA STRVI<TUR RANGKA SEND! DALAM FORMULAS! MATRIKS

BAB

Sekarang, baris kedua "dipegang" pada d2, lalu baris ketiga dikurangi dengan c�2/ d2 kali

baris kedua, sehingga diperoleh

= PI

-2 pl

pl _

C32 p'

3 �1 '

L-22

Hasil akhir dalam Persamaan (10.26) mengandung matriks koefisien yang berbentuk segitiga atas, dengan baris terakhir yang hanya mengandung unsur 53 dari rnatrik {5},

c1151 + c1252 + c1353 = P1

ci2S2 + c{3S3 = P21

d3s3 = P32

Solusi dimulai dengan menghitung 53 dari baris ketiga, memasukkannya ke dalarn baris kedua untuk menghitung 52• Nilai 53 dan 52 yang sudah dihitung dari baris ketiga dan kedua, akhimya dimasukkan ke dalam baris pertama untuk menghitung 51.

Sekarang, kita dapat menyusun proses solusi yang telah diuraikan di atas secara rnetodik sebagai berikut. Pertama, dalam langkah pertama yang "memegang" C11, kita menggunakan unsur ell' c12, c13 dan P1, yang kita catat dan sirnpan dalam formasi

Dalam akhir proses ini, diperoleh unsur-unsur baru dalarn baris kedua dan ketiga yang dihitung

menurut Persamaan (10.24), dengan d1 = d1 = 0, dan persamaan rnodifikasi seperti dalam Persamaan (10.26).

Berikutnya, dalam proses ··pemegangan · dalam c:: , kita menggunakan unsur-unsur baru d2, ci3, dan Pl yang dicatat dalam formasi

(10.29) Dalam akhir proses ini, diperoleh unsur-unsur baru dalam baris ketiga, dengan d2 = 0 dengan

persamaan modifikasi baru seperti dalam Persamaan (10.27). Hasil akhir dalam baris ketiga, lalu dicatat dalam format

Kita mengamati suatu hal yang amat penting. Dalam mengoperasikan modifikasi unsur­

unsur seperti dalam Persamaan (10.24), kita dapat memodifikasi unsur c .. I} , dan P I secara terpisah I

sebab bentuk dalam Persamaan (10.28), (10.29) dan (10.30) menunjukkan bahwa penyimpanan data-data seperti ini, memungkinkan kita untuk mengoperasikan unsur · P;, setelah operasi atas cii selesai dilakukan.

MEKANIKA TEKNIK: STATIKA DALAM ANALISIS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA

Operasi penyelesaian sistem persamaan dalam Persamaan (10.14) disusun dalam algoritma solusi sebagai berikt.lt ini.

(1) Pertama, kita melakukan proses modifikasi hanya atas matriks koefisien [C'] yang pada akhimya mendapatkan matriks koefisien berbentuk segitiga atas seperti terkandung dalam Persamaan (10.27). Ini dapat dilakukan dengan menggunakan rumus umum Persamaan

(10.24a), yaitu

(k-1)

c<k-1) - SL_ c < k '.1 - 1)

c kl (10.31) - 1 ) kJ pada saat melakukan �pemegangan" dalam unsur ckl-1! Proses ini dinamakan proses

c<kl ,_,

triangulasi (triangulation process). Dalam proses ini, operasi perhitungan disertai dengan pencatatan unsur termodifikasi seperti dalam Persamaan (10.28), (10.29), dan (10.30), namun

hanya untuk unsur Cij. (2) Kemudian, operasi klfiH1kukan atas matriks kolom {P}, yaitu dengan melakukan proses

modifikasi seperti 'dlilam Persamaan (10.24b ), yang dalam bentuk yang lebih umum dituliskan sebagai

(k-1)

p.(k) l = p.(k-1) - SL_p.(k-1) l

ckk (10.32) Ini dinamakan proses reduksi (reduction process).

(k-1) k

(3) Akhir proses langkah (l) dan (2) menghasilkan bentuk sistem persamaan seperti dalam Persamaan (10.24), yartg lalu dapat disolusikan untuk vektor {S} dengan proses substitusi balik (back substitution);' yaitu menghitung unsur terakhir dari {S} dari baris terakhir dan

menenthkan unsur-unsur lainnya dengan bergerak ke baris di atasnya secara berurutan. Sebagai <.contoh penerjlpan, diinginkan untuk menentukan solusi sistem persamaan

simultan lini£1'1 nonhomo�n untuk dua kasus seperti dalam bagan Gambar 10.4 berikut ini.

2 1 -1 7 2

[A]

{B1} {B2}

GAMBAR 1 0.4 Daftar Koefisien [A] dan {B)

Penyelesaian: Kita dapat memroses triangulasi matriks koefisien [A} terlebih dahulu. Pertama, kita mencatat

baris pertama, yaitu (10.33)

Berikutnya, dengan memegang a11, kita dapat menggunakan Persamaan (10.31) untuk menghitung koefisien dalam baris 2 dan 3, yaitu

183 �

' BAB

10 STATIKA STRUKTUR RANGKA SENDI DALAM FORMULASI MATRIKS

yang dicatat dalarn daftar (10.34)

Akhimya, dengan rnernegang

ab , operasi atas baris ketiga rnernberikan

aiz a23 - 2 (1/ 2) x 2 -2 -

a33 - a33 2 -1 - � 1 - �-

l - _ _! - -2

yang dicatat dalarn daftar

(10.35)

Matriks koefisien [A] berbentuk segitiga atas rnenjadi

0 (10.36)

Sekarang kita rnelakukan proses terhadap vektor {B1}. Penggunaan Persarnaan (10.32) rnernberi­ kan

clan

Dengan dernikian, untuk {B1} diperoleh persarnaan terrnodifikasr

2x1 + x2 - x3 =7

txz + fx3 = 5/2

(10.37)

-2x3 = -2

Dari baris ketiga hingga ke baris pertarna diperoleh

BAB 10 STATIKA STRUKTUR RANGKA SENDI DALAM FORMULAS! MATRIKS 185

yang aktif, indeks 0 untuk derajat kebebasan yang terkekang oleh adanya reaksi perletakan.

(d) Penomoran urutan kolom matriks koefisien sekarang dapat dilengkapi, yaitu

51, 52, . . . , 5m. Dengan memeriksa indeks keaktifan titik simpul, mulai dari 1 hingga titik j, dapat ditemukan derajat kebebasan

mengurutkan kolom 1, 2, . . . I m untuk lokasi

yang memiliki indeks 0 (nol). Berarti bahwa disitu ada reaksi perletakan, yang lalu diberi nomor mulai dari (m + 1), (m + 2), dan seterusnya hingga nomor (2j).

(e) Penomoran urutan baris persamaan dapat dilakukan dengan mudah sesuai urutan nomor titik simpul. Misalnya, arah X dan Y titik simpul bemomor k diberi masing­ masing nomor urut 2(k - 1) + 1 dan 2(k - 1) + 2 dalam urutan baris persamaan simultan.

(f) Matriks koefisien [C] sekarang dapat disusun dengan memroses elemen satu per satu, yaitu dengan menggunakan koefisien dalam Tabel 10.1. Sumbangan reaksi perletakan

dapat dimasukkan dengan menuliskan -1,0 dalam baris dan kolom yang sesuai. (g) Langkah berikutnya adalah penyusunan vektor gaya luar {P}, berdasarkan data masukan

yang memberikan lokasi titik simpul dimana bekerja gaya-gaya luar terpusat di arah tata sumbu global.

(h) Sistem persamaan simultan dalam akhir langkah (g), yaitu Persamaan (10.8), lalu disolusikan untuk {S}. Sebagai altematif, sistem persamaan termodifikasi dalam Persamaan (10.14) juga dapat digunakan untuk menghitung gaya reaksi dan reaksi perletakan yang terkandung dalam {S}.