Represenlasi Gavo l_uar Stotis Sebelumnya telah dijelaskan bahwa menurut caranya berhubungan/kontak dengan sistem

4.6. 2 Represenlasi Gavo l_uar Stotis Sebelumnya telah dijelaskan bahwa menurut caranya berhubungan/kontak dengan sistem

struktur, gaya luar dapat dikelolll.pokkan atas gaya traksi permukaan, dan gaya badan. Gaya badan sendiri, sering dapat diwakili dengan gaya traksi permukaan ekivalen, dengan hasil analisis yang masih cukup teliti dan andal. Misalnya, bobot sendiri pelat atau balok dapat diwakili sebagai gaya traksi permukaan yang bekerja secara lateral di atas komponen tersebut.

Menurut ekstensi bidang kontak antara gaya luar dengan struktur, gaya luar dapat dibagi atas gaya terpusat (concentrated loads) dan gaya terdistribusi (distributed loads). Sebagai contoh, beban tekanan ban mobil di atas aspal jalan, atau tekanan roda gerbong kereta di atas rel, dapat dipandang sebagai gaya terpusat terhadap lapisan perkerasan jalan atau balas rel kereta. Berat sendiri balok, pelat, atau tekanan air pada sisi dam, dapat dirnodel sebagai gaya luar terdistribusi. Gaya terdistribusi dapat berupa gaya merata penuh, merata sebagian, linier penuh atau sebagian, atau menurut suatu bentuk fungsi tertentu (kuadratis, kubis, dan lain-lain).

4.6.3 Co ntoh Pen1odela 1l Gaya Luar Sebagai contoh bagaimana suatu kasus pembebanan atas struktur tertentu,

disederhanakan sebagai suatu model analitis, ditinjau beberapa kasus sebagai berikut. Pertama, tinjaulah suatu papan titian berukuran

b x h yang menghubungkan tepi parit selebar L, atas mana seseorang berbobot W sedang berdiri di atas papan sejarak a dari tepi kiri. Papan memiliki bobot r per satuan volume.

Untuk orang tersebut, jika telapak kaki atau sepatu dapat dianggap kecil dibandingkan dengan ukuran papan (lebar dan tinggi) dan bentang parit, bobot W dapat dirnodel sebagai beban terpusat sejarak a dari ujung balok. Untuk bobot sendiri papan, maka jika lebar papan

b dianggap kecil dibattdingkan dengan bentang L, maka bobot tersebut dapat diwakili dengan beban merata sebesar q = yx bx h yang dihitung persatuan panjang titian. Lihat Gambar 4.6 sebagai penjelasan.

BAB 4 PEMODELAN STRUKTUR

if

J • (a) sistem

.k

(b) model

1'-----

a ------,1

l 1.tr

ll

q = "f,/

yH

(If ' t r uk i u r

(b) model

l' t •nwdi' l a n G \a

Ltur T

.t

Atr

44 MEKANIKA TEKN!K: STAT!KA UAlAM ANAUS!S STRUKTUR BERBENTUK RANCKA

Contoh berikutnya adalah dinding penahan air setinggi H dari dasar. Dinding setebal t dengan panjang yang relatif sangat besar dibandingkan dengan ukuran H dan t, dimodel sebagai sistem yang terbuat dari dinding per satuan panjang. Untuk berat sendiri dinding, diperoleh q = yd x tx1 per satuan tinggi dinding dan bekerja vertikal dan aksial terhadap dinding. Tekanan air pada permukaan dinding setinggi y dari dasar, menjadi Pz (y) = Yw x 1 x (H - y), yang jika

digambarkan pada model struktur sebagai balok kantilever, memberikan suatu model diskrit seperti dalam Gambar 4.7b.

4.6.4 Ko nsep Gay a T erkumpul Dalam proses analisis struktur, sering dihadapi kasus dimana demi kesederhanaan, gaya

luar yang terdistribusi dapat dikumpulkan (lumped) sebagai gaya terpusat ekivalen; dalam arti, gaya terdistribusi diwakili oleh gaya terpusat yang menangkap pada titik tertentu. Khususnya, konsep ini sering dimanfaatkan dalam proses peninjauan keseimbangan sistem struktur, misalnya dalam menentukan reaksi perletakan.

Untuk menerangkan konsep ini, pandanglah suatu balok yang memikul gaya lateral terdistribusi dengan intensitas q(x) pada domain

a � x �b seperti dalam Gambar 4.8. Gaya luar terdistribusi ini ingin digantikan dengan suatu gaya terpusat pengganti, yaitu gaya P yang memiliki besar yang sama dengan total gaya terdistribusi dalam domain tersebut; namun,

dengan momen yang sama terhadap titik tertentu, misalnya ke titik 0.

x=n

x=b

GAMBAR <1.8 Konsep Goyil Terkumpul

Besar gaya lateral pada segmen dx dalam hal ini menjadi

(4.8) Yang jika diintegrasikan untuk domain

dP = q(x) dx

a � x � b, memberikan

I dP = I q(x) dx

(4.9) Selanjutnya, momen akibat gaya dP terhadap suatu titik (dalam hal ini, diambil terhadap titik

awal 0), adalah

dM = dP · x = q(x) x · dx

45 yang jika diintegrasikan, memberikan ( 4 . 11 )

n \6 4 PI .'v\O l l lcl .:\1\. c; r

RU::Tl'l�

Jika gaya terkumpul (lumped) P bekerja pada suatu titik sejarak x0 dari titik awal, maka untuk dapat menggantikan beban terdistribusi menjadi gaya terkumpul ekivalen, haruslah

sehingga x0 = M/P, yang oleh Persamaan (4.9) dan (4.11) menjadi

Menurut matematika, Persamaan (4.13) menyatakan bahwa x0 adalah merupakan absis dari titik berat dari fungsi q(x ) dalam domain yang bersangkutan.

Berdasarkan uraian di atas, maka untuk peninjauan keseimbangan kita dapat mewakili gaya terdistribusi dengan suatu gaya terpusat ekivalen, dengan catatan bahwa:

(1) gaya terpusat mempunyai besar sama dengan total gaya terdistribusi yang digantikan, dan

(2) gaya terpusat pengganti tersebut bertitik tangkap pada titik berat bidang fungsi gaya terdistribusi.

4.7 PERJANJ IAN TAN DA U NT U K GAYA Untuk keseragaman, arah gaya yang bekerja dapat diketahui dari tanda yang dipunyai. Ini

dapat diperoleh dengan menggunakan konvensi atau perjanjian tanda. (a) Perja11jiall Tamla wrtttk C aya Titik. ':l l lllpTll, fJcl icttl k.,lll

Caya Luar Besaran-besaran ini umumnya dinyatakan dalam tata sumbu global struktur. Gaya yang

positif adalah arah vektorial sesuai dengan arah sumbu dan X, Y, Z positif. Lihat Gambar 4.9 untuk penjelasannya. Dalam gambar ini yang sebetulnya adalah struktur dalam Gambar 4.5, struktur dimodel atas tiga elemen AB, BC, dan CD yang dibatasi titik simpul A, B, C, dan D. Dengan demikian, gaya V menjadi beban elemen, dan M dan P menjadi gaya simpul. Gaya simpul M pada titik simpul B, bertanda positif, karena arah vektorialnya searah dengan sumbu z positif. Gaya simpul P pada titik simpul D perlu diuraikan atas komponen searah sumbu global. Komponen horisontal P cos a bernilai positif karena searah sumbu X positif, komponen vertikal P sin a bernilai positif karena searah sumbu Y positif.

Dalam model diskrit, ujung-ujung batang akan memberikan gaya pada titik simpul. Dalam Gambar 4.9, diberikan gaya titik simpul pada titik simpul B, C, dan D akibat ujung batang AB, BC, dan CD. Pada Gambar 4.9 tersebut, digambarkan gaya reaksi perletakan A dan C yang positif, yaitu yang searah sumbu global positif.

(b) Perfanjian Tanda zm tuk Gaya Ujzmg, Gaya Dalam, da11 Gaya Luar Eleme11 Gaya-gaya yang berkaitan dengan elemen, yaitu gaya ujung, gaya dalam, dan beban luar

yang bekerja pada elemen (bukan titik simpul), diberi tanda yang dikaitkan dengan tata sumbu

\lEI<.\\JIKA HKNIK. STAnK,\ DAL\\1 1\'-i .. \ : '�15 46 STRUKTUR llFRRFNTUK 1{/\''.;\ , K,\

1 1 ttuL t ur

I 'n ,,

lb! model d isknl

B,AR

(' I'J•' Jl 1 l a nda l J n t u k

G�\·,1 Tit 1k Simrul, Pnlet,1 k .1n. d.1n C.1 '. ,1 Luar T'dda S1mpul

V - -- - -- - -- - -- - -- - - - -- - -- - -- - -- - -- -

GAMBAq Ll 1 0 Peq<�nJtan f.mda Lntuk Caya Ujung dan Uebdn Elemen

lokal elemen bersangkutan. Untuk jelasnya, ambillah elemen BC dari Gambar 4.9 sebagai contoh.

Dengan mengambil titik B sebagai titik pertama, sumbu x, y, z lokal menjadi seperti dalam Gambar 4.10. Beban terpusat V bemilai negatif karena mengarah ke sumbu y negatif. Pada ujung 1 (titik B) dan ujung 2 (titik C) digambarkan gaya-gaya ujung yang bernilai positif.

Untuk gaya dalam, suatu perjanjian tanda yang bersifat khusus diberikan, yang berbeda dari perjanjian tanda untuk gaya-gaya ujung. Sebagai contoh, gaya aksial titik 1 dan gaya aksial titik 2 yang menurut perjanjian tanda yang khusus untuk gaya ujung, bemilai positif, tetapi

BAil 4 I 'F�10UEI i\1\: ST RL'KTUR

GAMBAR

4 l l Perjanji,ln Cava Dalam

memberikan efek yang berbeda terhadap batang (yang di titik 1 menekan, di titik 2 menarik

batang). Untuk gaya dalam, pasangan gaya dalam yang memberikan efek sama terhadap elemen, diberi tanda yang sama.

Untuk itu, kita mendefinisikan tarn pang yang positif dan negatif dari sua tu batang. Tampang positif adalah potongan yang mempunyai sumbu x positif sebagai normal, dan sebaliknya. Untuk tampang positif, gaya dalam positif adalah normal yang memberikan tarikan pada elemen, lintang yang memutarkan batang menurut putaran dengan arah vektorial pada sumbu z positif, dan momen yang memutarkan batang sesuai sumbu z positif.

Untuk tampang yang negatif, gaya dalam yang positif adalah gaya dalam dengan arah yang menuruti aturan aksi-reaksi pada potongan. Dengan mengatur seperti ini, dalam Gambar 4.11 ditemukan pasangan gaya dalam yang positif serta yang memberikan aksi/efek sama terhadap segmen batang (lihat segmen 1-11 dalam gambar). Dengan mengikuti konvensi gaya dalam seperti ini, terlihat bahwa pada ujung 2, gaya dalam positif dan gaya ujung positif, sama arah, sedangkan pada ujurig 1, saling berbalikan arah.

Jelasnya, untuk gaya dalam elemen, kenalilah mana ujung 1 dan ujung 2 (sesuai dengan pilihan kita), sehingga kita dapat menggambarkan tata sumbu lokal,

sesuai bahasan Pasal 4.3. Lalu, gaya

normal positif j ika cenderung menarik batang. Lintang berusaha memutarkan batang sesuai putaran searah sumbu z lokal. momen adalah

segmen balok

yang memberi efek menekan sumbu/ serat tepi atas batang. Lihat Gambar

4.12 untuk penjelasan. Perjanjian tanda yang digunakan

-----� \

lazimnya dengan menggunakan tata gaya lintang I '

positif sumbu global, sering agak menyulit­ kan, karena mana serat atas-bawah,

�---- -

serat tebn

kiri-kanan, untuk menentukan momen lentur M+ positif momen dalam yang positif, menjadi

M+

ser�t tarik

rancu; misalnya, jika dihadapi kasus balok miring. Dengan perj anjian

4. 1 2 Caya-gaya Dalam Positit tanda menurut tata sumbu lokal,

GAMBAR

akan lebih jelas, tentunya setelah tata sumbu lokal ditetapkan berdasarkan yang mana titik ujung pertama dan kedua, yang perlu ditetapkan terlebih dahulu. Konsep semacam ini sangat menolong khususnya dalam analisis dengan metoda matriks dalam Bab 10.

48 \1EKANIKA HKI" IK STI\TIK \ U;\ L II M ANIII I':ih ST R u KT U R fJFRKF"JTUK K \ M .KA

4.8 J E N IS E LE M E N DAN GAYA U J U N G Berdasarkan bahasan mengenai penggolongan jenis segmen batang dalam Pasal 4.5, dengan

perjanjian tanda gaya-gaya ujung dalam Pasal 4.7, maka berikut ini diberikan daftar penggolongan jenis elemen lengkap dengan gaya-gaya ujung positif dan gaya-gaya luar yang mungkin bekerja pada elemen. Penyajian hanya diberikan untuk kasus struktur bidang (dua dimensi).

(a) Elemen B a lok·-Ko lo 111

Jenis elemen ini mempunyai 3 komponen gaya ujung untuk setiap titik ujung, yaitu momen, lintang, dan normal. Dengan demikian untuk setiap elemen jenis balok-kolom, dipunyai 6 komponen gaya ujung, dengan 3 persamaan keseimbangan. Gaya-gaya luar yang bekerja dapat merupakan gaya lateral maupun aksial.

(b) Eleme11 B a l o k Jenis elemen ini mempunyai 2 komponen gaya ujung untuk setiap titik ujung, yaitu momen dan lintang. Dengan demikian, untuk setiap elemen jenis balok, dipunyai 4 komponen gaya ujung, dengan 2 persamaan keseimbangan. Gaya-gaya luar yang bekerja hanya merupakan gaya lateral.

(c) Elemeu Pendel Jenis elemen ini mempunyai 1 komponen gaya ujung untuk setiap titik ujung, yaitu aksial

saja. Dengan demikian, untuk setiap elemen jenis pendel, dipunyai 2 komponen gaya ujung, dengan 1 persamaan keseimbangan. Gaya-gaya luar yang bekerja hanya merupakan gaya aksial.

(d) Uemen Tarik Jenis elemen ini hanya mempunyai 1 komponen gaya ujung, yaitu gaya ujung tarik normal. Untuk jenis elemen ini, tidak ada lagi persamaan keseimbangan yang dapat dituliskan, karena elemen secara individual sudah dalam keseimbangan. Elemen ini tidak mempunyai gaya luar elemen. Jenis elemen beserta gaya-gaya ujung positif serta kemungkinan gaya luar diberikan dalam Tabel 4.2.

lABEL 4.2 )em" Flemen, Gay,1 LitM, d<1n ! umlah Knmpurwn <;ava Ujung Serta l'ersamaan Keseimbangiln

2 1 Tarik

BAFl 4

49 Berikut ini diberikan pernbahasan rnengenai penggolongan/jenis sistern struktur berbentuk

l'I'MODELAN STRUKTUR

rangka, lengkap dengan peninjauan ketidaktentuan statis untuk jenis sistem yang berkaitan.