6 CONTOH PENERAPAN Untuk melatih dan memperdalam pemahaman penerapan formulasi matriks yang telah

1 0.6 CONTOH PENERAPAN Untuk melatih dan memperdalam pemahaman penerapan formulasi matriks yang telah

dibahas dalam pasal-pasal terdahulu, berikut ini disajikan beberapa contoh penerapan.

I'

CONTOH 1 0 . 1 : Struktur yang telah dibahas dalam Contoh 7.1, kembali dibahas dalam contoh ini, namun dengan menggunakan formulasi matriks. Untuk soal ini digunakan

12 m, H = 5 m.

Penyelesaian

Sistem struktur yang kembali digambarkan dalam Gambar 10.5a, dimodel atas tiga elemen pendel, dengan penomoran titik simpul dan elemen seperti dalam gambar (b). Dengan demikian, jumlah elemen m = 3, titik simpul j= 3, dan reaksi perletakan/kekangan r= 3.

Data masukan berupa insidens elemen, dan keaktifan, koordinat dan gaya luar titik simpul, disusun dalam Tabel 10.2. Insidens elemen sekaligus akan menetapkan tata sumbu lokal (x1, y1), (x2, y2), dan (x3, y) elemen CD hingga elemen ® seperti terlihat dalam Gambar 10.3f Dengan demikian, sudut apit sumbu xi dengan sumbu X, yaitu O.v diperoleh untuk ketiga tata sumbu

lokal sebesar a1 = 0°, o.2 = arctan (5/12), dan o.3 = 270°.

Penomoran gaya reaksi diberikan dalam Gambar 10.4d. Dalam contoh ini, reaksi gaya dalam pada elemen CD, ®, dan ® diberi indeks 1, 2, dan 3. Mulai dari titik 1 hingga 3, keaktifan titik simpul di arah 1 dan 2 diperiksa. Jika keaktifan bemilai nol, maka di sana ada gaya reaksi, seperti yang diberikan nomor urut 4,

5, dan 6 dalam gambar (d), yang masing-masing koresponden dengan RAW RAv' dan RcH dalam Gambar 7.13b.

186 MEKANIKA TEKNIK ST A TIKA DALAM ANALISJS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA

L = 12 m

H=5m X (b) penomoran elemen dan titik simpul

(a) sistem struktur

(c) keaktifan titik simpul (d) penomoran gaya reaksi

(e) penomoran baris persamaan (j) tata sumbu lokal elemen

GAMBAR 10.5 Struktur Contoh Soal 10.1 TABEL 1 0.2 Data Masukan Untuk Struktur Contoh 10.1

(a) insidens elemen

(b) keaktifan, koordinat dan beban titik simpul

BAB 10 STATIKA STRUKTUR RANGKA SENDI DALAM FORMULAS! MATRIKS

Penomoran urutan baris matriks dimulai dari titik 1 hingga 3, dalam masing-masing arah

X dan Y titik simpul, seperti terlihat dalam Gambar 10.3e. Dengan ini, identifikasi baris dan kolom matriks koefisien [ C] telah tertetapkan.

Sekarang, sumbangan elemen demi elemen terhadap [C'], dapat diproses. Untuk elemen CD, a1 = oo sehingga dengan ujung pertama adalah titik 1 dan ujung kedua adalah titik 2 menurut

insidens elemen CD dalam daftar Tabel 10.2a, sumbangan elemen CD adalah c11 = -1.0, c21 = 0.0, c31 =1.0, dan c41 = 0.0. Untuk elemen @, a2 = arctan (5/12) sehingga cos a2 = 12/13 dan sin � = 5/

13. Dengan ujung pertama dan kedua elemen @ adalah titik simpul 3 dan 2 menurut insidens elemen @ dalam Tabel 10.2a, sumbangan elemen ini adalah c52 = -12/13, c62 = -5/13, c32 = +12/13, dan c42 = +5/13. Untuk elemen ®, � = 270° sehingga cos a3 = 0 dan sin a3 = 1. Ujung pertama dan kedua elemen ® adalah titik simpul 1 dan 3, sehingga sumbangan elemen ini adalah c13 = 0.0, c23 = +1.0, c53 = 0.0, dan c63 = -1.0.

Karena reaksi nomor 4 berada pada titik simpul 1 di arah derajat kebebasan pertama, reaksi nomor 5 pada titik simpul 1 di arah derajat kebebasan 2, reaksi nomor 6 pada titik simpul nomor 3 di arah derajat kebebasan pertama, maka sumbangan reaksi-reaksi perletakan untuk [C] adalah C14 = -1.0, C25 = -1.0, dan c56 = -1.0. Hasil akhir untuk matriks [C] dengan demikian adalah

51 52 53 R1

R2 R3

0 -1.0 0

0 0 +1.0 0 -1.0 0 2

[C] = +1.0 +# 0

0 +-tr 0

0 - .ll. 13 0 0 0 -1.0 5

0 - .2.. 13 -1.0 0

Sekarang dapat dilakukan proses penyusunan vektor beban. Karena hanya ada satu gaya luar, yaitu -P pada titik simpul 2 di arah derajat kebebasan kedua, maka P4 = P. Dengan demikian, diperoleh vektor beban dalam bentuk

{P} =

-P

Akhirnya, untuk contoh ini diperoleh sistem persamaan keseimbangan dalam Persamaan (10.8) sebagai

0 0 -1.0

0 -1.0

0 +-tr

0 0 0 0 R1

-P

0 -.ll. 13 0 0 0 -1.0

R2

0 -� 13 -1.0

0 0 0 R3

188 MEKANIKA TEKNIK: STATIKA DALAM ANALISIS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA dengan solusi

SI

+-¥-

RI _.ll. 5 R2

R3

+ll 5

Hasil yang diperoleh dalam Persamaan (10.44) identik dengan hasil dalam Persamaan ( 7.3 0) ,

dengan catatan bahwa R1, R2, dan R3 dalam soal ini identik dengan RAH' RAV' dan R8H dalam

Contoh 7.1. CONTOH 1 0.2: Sistem struktur rangka sederhana dalam Gambar 10.6 ingin dianalisis untuk

mendapatkan gaya reaksi batang dan perletakan di titik A dan C. Diminta

untuk melakukan analisis dalam formulasi matriks.

Penyelesaian Struktur dimodel dengan 2 elemen AB dan CB, dengan tiga titik simpul

dan A, B, C. Karena ada 4 kekangan perletakan di A dan C, maka untuk sistem ini, diperoleh jumlah elemen m =

2, jumlah titik simpul j =

3, dan kekangan r= 4. Penomoran elemen dan titik simpul terlihat dalam gambar (b). Dengan data insidens elemen serta daftar keaktifan, koordinat, dan gaya luar titik simpul seperti dalam Tabel 10.3, maka keaktifan titik simpul, tata sumbu lokal elemen, penomoran gaya reaksi, dan penomoran baris persamaan menjadi seperti terlihat dalam Gambar

10.6c hingga 10.6f

(a) sistern struktur

(b) penornoran elernen

(c) keaktifan titik sirnpul

1 dan titik sirnpul

5 5 (d) tata surnbu

6 if) penornoran baris 6 lokal elernen

(e) penornoran

gaya reaksi

persarnaan

GAMBAR 1 0.6 Struktur Contoh 10.2

BAB 10 STATIKA STRUI<TUR RANGKA SEND! DALAM FORMULASI MATRIKS

TABEL

1 0.3 Data Masukan Untuk Struktur Contoh 10.2

El em en 2

(a) insidens elemen

(b) keaktifan, koordinat clan gaya luar titik simpul

Sekarang perhatikan Gambar 10.6e. Sistem penomoran gaya reaksi yang mendahulukan penomoran semua gaya batang lalu disusul dengan gaya-gaya reaksi perletakan, dalam contoh ini diubah seperti terlihat dalam gambar (e). Dalam sistem penomoran yang baru ini, gaya-gaya reaksi yang berdekatan diurut dengan penomoran yang sedapat mungkin berdekatan. Kita akan melihat nantinya, bagaimana pengaruh sistem penomoran ini terhadap profil matriks koefisien [C].

Sekarang, rnatriks [C] siap disusun. Untuk elernen CD, cosa1 = sina1 = f{2 sehingga dengan rnernbandingkan gambar (e) dan (f), dan dengan menggunakan koefisien dalarn Tabel 10.3, surnbangan elernen ini terhadap [C] adalah c13 = -f.J2, c23 ·= -f.J2, c33 = + f.fi , dan C43 =

+f.fi . Untuk elernen CV, cos a2 = 0, sin a2 = 1, sehingga surnbangan elemen CV adalah c54 =

0.0, c64 = -1.0, C34 = 0.0, dan C44 = +

1.1. Surnbangan reaksi perletakan adalah c11 = -1.0, c22 = -1.0,

C55 = -1.1, dan C66 = -1.0. Dengan rnernperhatikan bahwa gaya P bekerja di arah mendatar pada titik sirnpul 2, rnaka kornponen beban hanya P 3 = +P, dan sistem persamaan dalam {10.8)

rnengambil bentuk -1.0

-t.fi

RI

-1.0 -t.fi

Rz

+t.fi 0 SI = +P

+t.fi 1.0 52 0

0 -1.0

R3

0 -1.0

R4

190 MEKANIKA TEI<NIK: STATIKA DALAM ANALISIS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA Unsur-unsur matriks [ C] yang bemilai nol karena tidak disumbang oleh gaya reaksi, sengaja

diberi tanda titik (.) untuk memperlihatkan dengan kontras, unsur mana saja yang disumbang

oleh gaya reaksi. Cara penomoran yang mengusahakan agar gaya reaksi yang berdekatan sedapat mungkin mendapatkan nomor urut yang berdekatan, temyata memberikan unsur-unsur tersumbang gaya reaksi yang lebih mengelompok di sekitar diagonal utama. Unsur-unsur diagonal utama pun semuanya bernilai tidak nol. Dengan demikian, matriks [C] yang diperoleh

dengan cara penomoran baru ini, lebih mudah ditangani. Solusi Persamaan (10.45) adalah

RI

R2

SI =

52 -1.0

R3

R4

Pemeriksaan kebenaran dari solusi dalam Persamaan (10.38) dapat dilakukan dengan memeriksa kembali keseimbangan titik-titik simpul.