3 PERILAKU MATRIKS KOEFISIEN
1 0.3 PERILAKU MATRIKS KOEFISIEN
Seusai penyusunan sistem persamaan keseimbangan dalam Persamaan (10.8), analisis struktur dapat dilanjutkan dengan penentuan vektor gaya reaksi {5} untuk vektor beban luar
{P} yang diketahui. Namun, sebelum operasi perhitungan dilakukan, terlebih dahulu kita memeriksa sifat matriks koefisien [C].
Untuk sistem struktur yang elastis tinier, matriks koefisien [C] tetap untuk sistem tersebut, serta tidak tergantung kepada pembebanan. Dengan demikian, matriks tersebut dapat disusun sekali saja, dan kemudian menggunakannya berulang-ulang untuk semua kasus pembebanan yang ada. Untuk sistem struktur yang stabil dan statis tentu, maka berkaitan dengan suatu pola
pembebanan tertentu yang diberikan, kita selalu dapat menentukan distribusi gaya reaksi yang unik. Dengan demikian, matriks [C] adalah nonsingular. Secara matematis, determinan matriks
[C] tidak nol; jadi, det [C] :F. 0 (10.11)
Sifat[C] berikutnya yang dapat kita amati adalah bahwa matriks tersebut pada umumnya tidak simetris; jadi
MEKANIKA TEKNIK: STATIKA DALAM ANALISIS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA
Ini disebabkan kenyataan bahwa arah kita menyusun persamaan keseimbangan untuk mendapatkan baris demi baris sistem persamaan simultan dalam Persamaan (10.8), tidak berpasangan dengan arah dari komponen gaya reaksi yang tercakup dalam vektor gaya {S}.
Sifat berikutnya matriks [C] adalah kenyataan bahwa matriks tersebut adalah "sparse", dalam arti bahwa kebanyakan unsurnya bernilai nol, namun unsur yang tidak nol mengambil tempat yang tersebar. Unsur-unsur diagonal utama juga temyata umumnya tidak dominan
dibandingkan dengan unsur-unsur di luar diagonal utama. Bahkan dalam beberapa kasus, ada beberapa unsur diagonal yang bernilai nol. Ini tergantung dari hubungan antara urutan
komponen reaksi
51, 52, . . • , 5,., R1, R2, • • . , Rm dibandingkan dengan urutan baris persamaan
keseimbangan yang ditentukan oleh kesinambungan topologi sistem struktur, yang umumnya tidak mempunyai kaitan langsung.
Sifat-sifat matriks [C] di atas akan mempengaruhi kita dalam proses pemilihan metoda penyelesaian sistem persamaan simultan dalam Persamaan (10.8). Sebagai contoh, jika kita menggunakan cara solusi yang didasarkan atas metoda eliminasi Gauss, kita kemungkinan
dapat menghadapi masalah jika baris yang dipegang (di-pivot), memiliki unsur diagonal utama yang nol. Cara untuk mengatasi ini lazimnya dilakukan dengan cara pertukaran baris. Cara lain untuk mengatasi hal ini adalah dengan memperkalikan ruas kiri dan kanan Persamaan (10.8) dengan matriks transpos [C] dari depan, sehingga diperoleh
(10.13) atau, dalam notasi baru,
[C]T [C] {S} = [C]r {P}
(10.14) dengan
[C'] {S} = {P '}
[C'] = [C]T [C]
{P '} = [C]T{P}
Sistem persamaan baru dalam Persamaan (10.14) setara dengan sistem persamaan awal dalam Persamaan (10.8), namun dengan matriks koefisien baru yang memiliki sifat-sifat yang sangat
berbeda. Untuk meneliti hal ini, perhatikanlah bahwa nilai unsur-unsur matriks [C'] dalam
Persamaan (10.15a) diberikan oleh (10.16)
dengan unsur-unsur diagonal utama
c'u =cki ·cki = I,cfi
k (10.17)
Pengamatan atas bentuk dari Persamaan (10.16) menyatakan bahwa (10.18)
sehingga terlihat bahwa (10.19)
BAB 10 STATIKA STRUKTUR RANGKA SENDI DALAM FORMULAS! MATRIKS
Hasil Persamaan (10.17) membuktikan bahwa unsur-unsur diagonal utama matriks [C'] menjadi non zero
dan definit positif. Hasil Persamaan (10.19) menunjukkan bahwa matriks tersebut simetris. Dengan demikian, bentuk persamaan dalam Persamaan (10.14) lebih cocok untuk disolusikan ketimbang Persamaan (10.8), karena sifat matriks [C'] yang simetris dan memiliki
unsur-unsur diagonal utama yang definit positif. Cara penyelesaian yang didasarkan atas metoda eliminasi Gauss, atau cara-cara lainnya, dapat digunakan dengan tidak menemui kesulitan numerik yang mungkin akan dihadapi, jika prosedur yang sama digunakan untuk menyelesaikan
sistem persamaan simultan dalam bentuk Persamaan (10.8). Cara yang dipilih dan digunakan dalam program komputer diberikan dalam uraian pasal berikut ini.