10. 2 Tent ukan semua nilai m sehingga persamaan x − (3m + 2)x +m = 0 memil iki 4 akar real yang membent uk barisan arit mat ika.

LAT IHAN 5. A

1. Persamaan kuadrat yang aka r-akarnya dua lebih besar dari akar-akar x 2 + px + 1 = 0 t api t iga

le bih ke il dari akar-akar persamaan 2x c 2 − 3x + q = 0 adalah ⋅⋅⋅⋅

1 + 3 x 2 2 . Jika p =

x − x 2 maka bat as-bat as p supaya x r eal adalah ⋅⋅⋅

3. Jika kedua akar persamaan kuadrat x 2 − px + p = 0 bernilai real posit if , maka bat as-bat as nilai p yang memenuhi adalah ⋅⋅⋅⋅

4. Jika x

1 dan x akar-akar persamaan x + 2x + 4 = 0, maka pe 2 rsamaan kuadrat yang akar-akarnya

x 1 − 1 dan x 2 − 1 adalah ⋅⋅⋅⋅⋅

5. (OSK 2005) Misalkan a dan b adalah bi langan real t aknol yang memenuhi 9a 2 − 12ab + 4b 2 = 0.

T ent ukan a b .

6. (AIME 1990) Tent ukan nilai dari ( 52 + 6 43 )( − 52 − 6 43 ) .

7. (AIME 1990) Tent ukan penyelesaian posit if

x 2 − 10 x − 29 + x 2 − 10 x − 45 = x 2 − 10 x − 69 .

8. (A RML 1999 Individual) Jika a dan b adalah akar-akar persamaan kuadrat 11x 2 − 4x − 2 = 0. hit unglah nilai dari :

(1 + a + a + )(1 + b + b + ) 2 ⋅⋅⋅ 2 ⋅⋅⋅

9. (OSP 2002) Tinj au persamaan yang berben t uk x 2 + bx + c = 0. Berapa banyakkah persamaan demikian yang memiliki akar-akar real j ika koef isien b dan c hanya boleh dipilih dari himpunan {1, 2, 3, 4, 5, 6} ?

10. (OSK 2010) Jika a dan b bilang an bulat sehingga 2010 + 2 2009 merupakan solusi kuadrat x 2 + ax + b = 0 maka nilai a + b adalah ⋅⋅⋅⋅⋅

11. (OSK 2010) Diket ahui bahwa ada t epat 1 bilangan asli n sehingga n 2 + n + 2010 merupakan k uadrat sempu rna. Bilangan asli n t ersebut adalah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

12. Akar-akar persamaan kuadrat x 2 + 6x + c = 0 adal ah x 1 dan x 2 sedan gkan akar-akar persamaan

1 2 )x + 4 = 0 adalah u dan v. Jika u + v = − uv maka nilai dari x 1 x 2 +x 1 x 2 adalah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

kuadrat x 2 + (x 2 +x 2

13. α dan β adalah akar-akar persamaan kuadrat x 2 − 3(a − 1 )x + 2a + 4b = 0. Jika 2 α =2 β maka nilai dari a + b = ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

14. Jika suku pert ama deret geomet ri t ak hingga adalah 2 dan rasionya adalah r = m α = m unt uk n ilai m > 0 d an α , β akar-akar x 2 − (3m + 2) + (4m + 12) = 0, maka j umlah deret geomet ri t ak

hingga t ersebut adalah ⋅⋅⋅

15. D iket ahui x 2 − (2p + 1)x + p = 0 dengan akar-akar x 1 dan x 2 sert a 3x 2 − (q − 1)x − 1 = 0 dengan

a kar-akar x 3 dan x 4 . Jika x 1 x 3 = 1 dan x 2 x 4 = 1, maka nilai dari p − 2q + 13 = ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

Eddy Hermanto, ST 28 Aljabar Eddy Hermanto, ST 28 Aljabar

16. Jika a ≠

memenuhi persamaan x 2 + cx + ab = 0.

17. M isalkan dan adalah akar-akar persamaan x + px + 1 = 0 sedangkan α β 2 γ dan adalah akar-akar δ persamaan x 2 + qx + 1 = 0. Bukt ikan bahwa ( α − γ )( β − γ )( α + δ )( β + δ )=q 2 − p 2 .

18. (AIME 1991) Misalkan k adalah penj umlahan semua nilai mut lak dari nilai-n ilai x yang memenuhi

91 . Tent ukan nilai dari k 2 .

x = 19 +

2 2 1 2 bahwa sedikit nya sat u dari dua persamaan x ). Tunj ukkan +b

19. Diket ahui b 1 , c 1 , b 2 dan c 2 adalah bilangan real yang memenuhi b 1 b = 2(c + c

1 x+c 1 = 0 dan x 2 +b 2 x+c 2 = 0 memiliki akar- akar real.

20. Diberikan a, b, c ∈ bilangan real sert a a dan 4a + 3b + 2c mempunyai t anda yang sama. Tunj ukkan bahwa persamaan ax 2 + bx + c = 0 kedua akarnya t idak mungkin t erlet ak pada int erval (1, 2).

B. Pers amaan Eksp onen Dalam pembahasan hanya akan disinggung t ent ang sif at -sif at pada eksponen, yait u :

(i) o a = 1 unt uk a ≠ 0 (ii) n a =

1 a ⋅ 42 a 4 ⋅ a ⋅ 43 L 4 ⋅ a unt uk n ∈ N.

nkali

b c b + (i c ii) a ⋅ a = a

b − (iv) c

c = a unt u ka ≠ 0

(v) () a = a

b c bc

1 (vi) a = m unt uk a ≠ 0

(vii) a = a 2 d engan syarat a ≥ 0.

(viii) m a n = a

Cont oh 54 :

Harga x yang memenuhi persamaan 4 = 8 adalah ⋅⋅⋅⋅⋅

Solusi :

2 4 = 2 (sif at (v) dan sif at (viii))

Eddy Hermanto, ST 29 Aljabar

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x = − 9 5 .

Cont oh 55 :

Manakah yang le bih besar : 2 175 at au 5 ? B 75 ukt ikan.

J adi, 2 175 lebih besar dari 5 75 .

Cont oh 56 :

02) Bilangan () sama dengan ⋅⋅⋅⋅⋅

(O K 20 S

Solusi :

LA T IHAN 5. B

1. Persam aan 3 ⋅ 27 = 3 () 243 memberikan nilai x sama dengan ⋅⋅⋅⋅⋅

2. Jika 5 3x = 8, maka 5 3 +x = ⋅⋅⋅⋅⋅⋅

3 . Jumlah akar-akar persamaan 5 x+1 +5 6 −x = 11 adalah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

8 −x 2 3 4 −x . Himpunan penyelesaian dari 5 + 49 ⋅ 5 − 2 = 0 adalah ⋅⋅⋅⋅⋅

x 2 3 2 x 2 5. 3 an pe rsamaan −x + −x Diberik 3 + 3 = 10 . Jika x dan x adalah p

1 2 enyelesaiannya, maka

6. Persamaan 54(6 x )+3 x = 6(18 x ) + 9 mempunyai penyelesaian x 1 dan x 2 , maka (x 1 ⋅ x 2 ) 2 = ⋅⋅⋅⋅⋅

C. Persamaan Logarit ma

Pengert ian : Jika a b = c mak ab= a log c.

Sif at -sif at pada logarit ma, yait u :

(i) log b =

a log b log b

dengan syarat a, p ≠

1 dan a, b, p > 0

log a log a (i a i) log a = 1 dengan syarat a > 0 dan a ≠ 1.

Eddy Hermanto, ST 30 Aljabar

(iii) log b = b dengan a, b ≠ 1 da n a, b > 0

log a

(iv) a log b + log c = log (bc) dengan syarat a a a ≠

1 dan a, b, c > 0

a a (v) a log b b − log c = log ()

c dengan syarat a ≠

1 dan a, b, c > 0

(vi) log b = log b = ⋅ log b dengan sya rat a ≠ 1 dan a, b > 0

(vii) a log b n =n ⋅ a log b dengan syarat a ≠

1 dan a, b>0

a b (viii) a log b ⋅ log c = log c dengan syarat a, b 1 dan a, b, c > 0 ≠

n a m log b n

(ix) a = b m dengan syarat a ≠ 1 dan a, b > 0.

Cat at an : Bent uk a log b kadang-kadang dit ulis dengan log b. a

Cont oh 57 :

Jika 5 log 3 = a dan 3 log 4 = b , maka 4 l og 15 = ⋅⋅⋅⋅⋅⋅

Solusi : Berd asarkan sif at (vii

i) maka didapat 5 l og 3 ⋅ 3 log 4 = 5 l og 4 = ab

B erdasarkan sif at (iv) maka 4 l og 15 = 4 l og 3 + 4 l og 5

B erdasarkan sif at (iii) maka 4 l og 15 = 1 b 1 + ab

Maka 4 l og 15 = a + ab 1

Cont oh 58 : Himpunan penyelesaian pert idaksama an :

2 log ( 2 x − 3 )

− log (x + 6) + x + 2 log x =1

2 log x

adalah ⋅⋅⋅⋅⋅

S olusi :

B erdasarkan sif at (i) dan (iii) maka persoalan di at as ekivalen dengan x log (2x − 3) − x log (x + 6) + log (x + 2) = 1 x

Berdasarkan sif at (iv) dan (v) maka

( 2 x − 3 )( x + 2 )

log ( x + 6 ) =1

Berdasarkan kesamaan maka (2 x − 3)(x + 2) = x(x + 6)

2x 2 +x − 6=x 2 + 6x x 2 − 5x − 6=0 (x − 6)(x + 1) = 0 x 1 = 6 dan x 2 = − 1 Uj i ke dua nilai x t er sebut ke persamaan awal. x= − 1 t idak memenuhi syarat basis pada x log (x + 6) yait u bahwa x > 0 dan x ≠ 1. Sedangkan x = 6 memenu hi syarat basis mapun numerus. Jadi, himpunan semu a nil ai x yang memenuhi adalah {6}.

Eddy Hermanto, ST 31 Aljabar

(OSK 2004) Jika log p + log q = log (p + q), maka p dinyat akan dalam q adalah p = ⋅⋅⋅⋅

S olusi : lo g p + log q = log (p + q) lo g (pq) = log (p + q) p q=p+q p(q −

1) = q Jadi, p = q

Cont oh 60 :

b log a 1

Jika k

c = dan b= c , maka k = ⋅⋅⋅

log a 2 c

S olusi :

B erdasarkan sif at (i) akan didapat

b log a lo g c log c 1

log a log b log c 2

Maka k + 1 = 2 J adi, k = 1

Cont oh 61 :

(OSP 2003) Berapakah nilai x yang memenuhi 4 log ( 2 log x) + 2 log ( 4 log x) = 2 ?

Solusi : Berdasarkan sif at (vi) maka 4 log ( 2 log x) = 12 2 log ( 2 log x) sehingga 4 log ( 2 log x) = 2 log ( 2 log x) 1/ 2

B erdasarkan sif at (vi) maka 2 log ( 4 log x) = 2 log ( 12 log x) sehingga 2 log ( 4 log x) = 2 log ( 2 2 log

4 log ( log x) + 2 2 log ( 4 log x) = 2 sehingga 2 log ( 2 log x) 1/ 2 + 2 log ( 2 log

x )=2

2 Maka log ( 2 2 log 1 x ⋅

2 ⋅ log x )=2

2 1 2 log 2 x ⋅

2 ⋅ log x = 2 = 4

( log x ) = 8

2 l og x = 4 x=4 2

Jadi, x = 16

LAT IHAN 5. C

( 3 log 45 )( 2 − 3 log 5 1. 2 )

3 log 3 15 = ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

a b c d e f (OSK 2003) Misalkan 3 = 4, 4 = 5, 5 = 6, 6 = 7, 7 = 8, dan 8 = 9. Berapakah hasil kali abcdef ?

8 (AIME 1984) Bilangan real x dan y me menuhi l og x + 4 log y 2 = 5 dan 8 log y + 4 log x 2 = 7. Tent ukan xy.

Eddy Hermanto, ST 32 Aljabar

4. (AHSME 1998) Tent ukan nilai dari

2 log 100 ! + 3 log 100 ! + 4 log 100 ! + L + 100 log 100 !

dengan n! = 1 x 2 x 3 x ⋅⋅⋅ x n.

5. Bat as-bat as nilai p agar f (x) = 2 log (px 2 + px + 3) t erdef inis ip ada set iap nila ixa dalah ⋅⋅⋅⋅⋅

6. Jika x

3 log x + 3 log y

= 27 dan y

3 log x + 3 log y

= 3 unt uk x > y, maka x + y = ⋅⋅⋅⋅⋅

7. Diket ahui barisan 6 bilangan u 1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 dan u 6 sert a u 1 +u = 11 dan 10 6 log u + 10 3 log u 4 = 1. J ika unt uk set iap n = 1, 2, 3, ⋅⋅⋅ , 5 berlaku u n+1 =p ⋅ u n dan p > 1, maka 10 log p = ⋅⋅⋅⋅

8 . (AIME 1983) Diket ahui x, y dan z adalah bilangan real lebih dari 1 dan w adalah bilangan real posit if . Jika x log w = 24, y l og w = 40 dan xyz log w = 12, t ent ukan z log w.

9. (AIME 1988) Diberikan log ( 2 8 log x) = 8 log ( log x). Tent ukan nilai dari ( log x) 2 2 2 .

10. (AHSME 1997) Unt uk bilangan asli n maka

8 log n j ika 8 log n bilangan rasional

f (n) =

0 unt uk lainnya

Nilai dari 3 ∑ f () n

11. (AHSME 1998) Ada berapa banyak bilangan prima yang me rupakan f akt or dari N dan memenuhi

2 log ( 3 log ( 5 log ( 7 log N )) ) = 11.

12. (ARML 2000 Individual ) Ji ka b = 2000, hit unglah nilai deret t ak hingga berikut :

( log 2 ) ( log 5 ) + ( log 2 ) ( log 5 ) + ( log 2 ) ( log 5 ) + ...

13. x (AIME 2002) Penyelesaian dari sist em persamaan 225 l og x + 64 log y = 4 dan log 225 − y l og 64 = 1

adalah (x, y) = (x 1 , y 1 ) dan (x , y ). Nilai dari 30 2 2 log (x y x y ) adalah 12 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅

D. Persamaan Lingkaran

1) Persamaan Lingkaran berpusat di (0, 0) dan (a, b) L ingkaran adalah kumpulan t it ik-t it ik yang memiliki j arak yang sama t erhadap suat u t it ik t ert ent u, yait u pusat lingkaran. Jadi ada dua hal yang sangat berkait an dengan lingkaran yait u j ari-j ari lingkaran, R, dan pusat lingkaran. Dari pengert ian lingkaran t ersebut j ika dit urunkan akan didapat persam aan :

x 2 +y 2 =r 2 yang merupakan persamaan lingkaran berpusat di (0, 0) dan berj ari-j ari r. (x − a) 2 + (y − b) 2 = r 2 yang merupakan persamaan lingkaran berpusat di (a, b) dan berj ari-j ari r. Jika persamaan (x − a) 2 + (y − b) 2 =r 2 dij abarkan akan didapat persamaan umum lingkaran yang berbent uk : x 2 +y 2 + Ax + By + C = 0 Salah sat u cara menent ukan persamaan ling karan j ika diket ahui pusat lingkaran dan persamaan garis yang menyinggung lingkaran t ersebut adal ah dengan memanf aat kan ru mus j arak t it ik ke suat u garis lurus sebab j arak t it ik pusat ke garis singgung t ersebut adalah merupaka n j ari-j ari

Eddy Hermanto, ST 33 Aljabar

Ax + By 1 + C

(x 1 , y 1 ) ke garis t ersebut adalah

2) Hubungan ant ara t it ik dengan lingkaran Misalkan t erdapat lingkaran den gan persamaan (x − a ) 2 + (y − b) 2 =r 2 dan t it ik (p, q). Maka hubungan t it ik (p, q) dengan (x − a) 2 + (y − 2 b) 2 =r akan memiliki t iga kemungkinan hubungan :

a ) Jika (p − a) 2 + (q − b) 2 <r 2 maka t it ik (p, q) t erl et ak di dalam lingkaran b)

a) 2 + (q − b) 2 Jika (p − =r 2 maka t it ik (p, q) t erlet ak pada lingkaran

c) Jika (p − a) 2 + (q − b) 2 >r 2 maka t it ik (p, q) t erlet ak di luar lingkaran

3) Hubungan ant ara garis lurus dengan lingkaran Misalkan diket ahui suat u garis lurus y = mx + c dan lingkaran (x − a) 2 + (y − b) 2 =r 2 . Bagaimana hubungan ant ara garis lurus dan lingkaran t ersebut ? S ubt it usikan persamaan y = mx + c ke persamaan lingkaran (x − a) 2 + (y − b) 2 =r 2 sehingga

didapat suat u persamaan kuadrat dalam peuba h x, yait u Ax 2 + Bx + C = 0. Dari persamaan t ersebut dapat dihit ung diskriminan = B 2 − 4AC.

(i) Jika B 2 − 4AC < 0 maka garis lurus t idak memot o ng lingkaran (ii) Jika B 2 − 4AC = 0 maka garis lurus menyinggung lingkaran (iii) Jika B 2 − 4AC > 0 maka garis lurus memot ong lingkaran di dua t it ik

Prinsip nilai diskriminan di at as t idak hanya dapat digunakan u nt uk mencari hubungan ant ara garis lurus dengan lingkaran t et api j uga hubungan ant ara garis luru s dengan irisan kerucut yang lain sepert i parabola, elips maupun hiperbola.

4) Persamaan Garis Singgung pada Lingkaran

a) Garis singgung lingkaran dengan gradien t ert ent u Misalkan diket ahui bahwa garis singgung t er sebut memiliki gradien m. Maka persamaan garis singgung dapat dinyat akan dengan

(i) Unt uk lingkaran x 2 +y 2 =r 2

Persamaan Garis Singgung, 2 y mx

(ii) Unt uk lingkaran (x − a) 2 + (y − 2 b) = r 2

Persamaan Garis Singgung, 2 y − b = m (

b) Garis Singgung melalui t it ik pada lingkaran Mis lkan t it ik (x , y ) t erlet ak pada lingkaran maka persamaan garis singgung yang melalui a 1 1 t it ik t ersebut dapat dit ent ukan de ngan (i )

Unt uk lingkaran x 2 +y 2 =r 2

Persamaan Garis Singgung, x

1 y= r 1 2 x+y

(ii) Unt uk lingkaran (x − a) 2 + (y − b) 2 =r 2

Persamaan Garis Singgung, (x 1 − a) (x −

a) + (y 1 − b)(y −

b) = r 2

c) Persa maan Garis Singgung melalui t it ik di luar li ngkaran Unt uk menent ukan persamaan garis singgung ini dapat dilakukan dengan beberapa cara :

(i) Dengan mencari rumus diskriminan lalu memanf aat kan peng ert ian hubungan ant ara

g aris lurus dengan lingkaran (ii) Dengan menggunakan persamaan garis polar (iii) Dengan memanf aat kan persamaan garis si nggung dengan gradien m unt uk menca ri nil ai m

Eddy Hermanto, ST 34 Aljabar

Cont oh 62 : (O SK 2005) Tit ik A(a, b) disebut t it ik let is j ika a dan b keduanya adalah bilangan bulat . Banyaknya ti t ik let is pada lingkaran yang berpusat di O dan berj ari-j ari 5 adalah

S olusi :

Persamaan li ngkaran yang berpusat di O dan berj ari-j ari 5 adalah x 2 +y 2 = 25

Karena 0 2 +5 2 =3 2 +4 2 = 25 maka pasangan (x, y) bulat yang memenuhi ada 12, yait u (0, 5), (0, − 5), (5, 0), ( −

4, 3) dan ( − 4, − 3). J adi, banyaknya t it ik let is pada lingkaran yang berpusat di O dan berj ari-j ari 5 ada 12.

Cont oh 63 : Persamaan lingkaran yang berpusat di (1, 4) dan menyinggung garis 3x − 4y − 2=0a dal ah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅

S olusi : J arak pusat (1, 4) ke garis 3x − 4y − 2 = 0 sama dengan j ari-j ari lingkaran t ersebut .

Jarak t ersebut = d =

Persamaan lingkaran berpusat di (1, 4) dan memiliki j ari-j ari 3 adalah (x − 1) 2 + (y − 4) 2 =9

Cont oh 64 : (OSK 2002) Unt uk nilai a yang manakah garis lurus y = 6x memot ong pa rabola y = x 2 + a t epat di sat u t it ik ?

S olusi :

Karena 6x = x 2 + a maka x 2 − 6x + a = 0

Disk = 6 2 − 4(1)(a) = 36 − 4a Syarat 2 agar y = 6x memot ong parabola y = x + a di sat u t it ik adalah Diskriminan = 0

3 6 − 4a = 0 Jadi, a = 9

Cont oh 65 :

Persamaan g aris singgung x 2 +y 2 − 6x + 4y −

12 = 0 di t it ik (7, − 5) adalah ⋅⋅⋅⋅⋅

S olusi :

S ubt it usi t it ik (7, − 5) ke persamaan x 2 +y 2 − 6x + 4y −

12 = 0 didapat

2 Art inya t it ik (7, 2 − 5) t erlet ak pada lingkaran x +y − 6x + 4y −

P ersamaan garis singgungnya adalah (x − 3)(7 −

3) + (y + 2)( − 5 + 2) = 25

12 = 0 di t it ik (7, − 5) adalah 4x − 3y = 43

Jadi, per samaan garis singgung lingkaran x 2 +y 2 − 6x + 4y −

Cont oh 66 : Persamaan garis singgung yang dit arik dari t it ik (4, 2) ke lingkaran x 2 +y 2 = 10 adalah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅

S olusi : K arena 4 2 +2 2 > 10 maka t it ik (4, 2) t erlet ak di luar lingkaran.

Eddy Hermanto, ST 35 Aljabar

Persamaan garis melalui t it ik (4, 2) dan gradien m adalah y − 2 = m(x − 4). Subt it usi garis t ersebut ke persa maan lingkaran didapat

x 2 + (mx − 4m + 2) 2 = 10 (m 2 + 1)x 2 + 2( − 4m 2 + 2m)x + 16m 2 − 16m − 6=0 Diskriminan = 2 2 ( − 4m 2 + 2m) 2 − 4(m 2 + 1)(16m 2 − 16m − 6)

Agar y − 2 = m(x −

4) menyinggung lingkaran x 2 +y 2 = 10 maka diskriminan harus sama dengan 0.

2 2 ( − 4m 2 + 2m) 2 − 4(m 2 + 1)(16m 2 − 16m −

4 3 2 4 3 2 16m 2 − 16m + 4m − 16m + 16m +6 m − 16 m + 16m + 6 = 0

3m 2 − 8m − 3=0 (3m + 1)(m −

Jika m = − 1

3 maka ga is singgung t ersebut memiliki persamaan y r − 2= − 3 (x − 4). Jika m = 3 maka garis singgung t ersebut memiliki persamaan y − 2 = 3(x − 4). Jadi, persamaan g aris singgung yang dit arik dari t it ik (4, 2) adalah x + 3y = 10 dan 3x − y = 10.

Alt ernat if 2 : Misalkan t i ik (x t o , y o ) = (4, 2). Persamaan garis polar t it ik (x

o , y o ) t erhadap lingkaran x +y = 10 adalah x o x+ y o y = 10 yait u 2x + y = 5

S ubt it usikan persamaan garis polar t ersebut ke lingkaran x + y = 10 didapat 2 2 x 2 + (5 − 2x) 2 = 10

x 2 − 4x + 3 = 0

x 1 = 1 at au x 2 =3

Jika x 1 =1 maka y = 3 sehingga t it ik singgung dari garis singgung t ersebut pada lingkaran adalah 1 (1, 3) sehingga persamaan garis singgungnya adalah x + 3y = 10. Jika x 2 = 3 maka y 2 = − 1 sehingga t it ik singgung dari garis singgung t ersebut pada lingkaran adalah (3, − 1) sehingga persamaan garis singgungnya adalah 3x − y = 10. Jadi, persamaan g aris singgung yang dit arik dari t it ik (4, 2) adalah x + 3y = 10 dan 3x − y = 10.

Alt ernat if 3 : Misalkan gradien garis singgung t ersebut adalah m. Maka persama an garis singgung t ersebut adalah

y 2 = mx ± r m + 1

2 Karena r = 10 2 maka y = mx ± 10 m + 10

Karena garis t ersebut melalui t it ik (4, 2) maka

10 2 m + 10 = ± (

10m + 10 = 4 2 − 16m + 16m 2

(3m + 1)(m −

Jika m = − 1

3 maka garis singgung t ersebut memiliki persamaan y − 2= − 3 (x − 4). Jika m = 3 maka garis sing gung t ersebut memiliki persamaan y − 2 = 3(x − 4). Jadi, persamaan garis singgu ng yang dit arik dari t it ik (4, 2) adalah x + 3y = 10 dan 3x − y = 10.

LAT IHAN 5. D

1 . Persamaan lingkaran dengan t it ik pusat (4, 3) dan j ari-j ari = 4 adalah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅

2 . Persamaan lingkaran yang t it ik pusat nya t erlet ak pada garis y = x + 1 dan menyinggung sumbu X di t it ik (5, 0) adalah ⋅⋅⋅⋅⋅

Eddy Hermanto, ST 36 Aljabar Eddy Hermanto, ST 36 Aljabar

4. Diket ahui t it ik A( − 2, 1) , B(4, − 3) dan P(x, y) t erlet ak sedemikian sehingga (PA) 2 + (PB) 2 = (AB) 2 . Maka P merupakan t it ik-t it ik yang t erlet ak pada busur lingkaran yang memot ong sumbu X pada koordinat ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

5. Persamaan garis singgung di t it ik (7, − 1) pada lingkaran x 2 +y 2 = 50 adalah ⋅⋅⋅⋅⋅

6. Garis lurus 3x + 4y + k = 0 akan menyinggung lingkaran x 2 +y 2 + 6x + 8y = 0 j ika k bernilai ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

7. Jari-j ari lingkaran yang menyinggung sumbu x di (6, 0) dan menyinggung garis y = √ 3 x adal ah ⋅⋅⋅⋅

8. Persamaan garis singgung yang dit arik dari t it ik (7, −

2 1) ke lingkaran x 2 +y = 40 adalah ⋅⋅⋅⋅

9. Persamaan garis singgung pada lingkaran x 2 +y 2 = 36 yang t egak lurus garis 4y = − 3x + 80 adalah

10. Jarak t erj auh dari t it ik ( −

12, 5) ke lingkaran dengan persamaan x 2 +y 2 = 100 adalah ⋅⋅⋅⋅

11. Bilangan real x dan y memenuhi (x + 5) 2 + (y − 12) 2 = 14 2 , maka nilai minimum dari x 2 +y 2 adalah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅

12. (AHSME 1998) Kedua graf ik x 2 +y 2 = 4 + 12x + 6y dan x 2 +y 2 = k + 4x + 12y memiliki t it ik pot ong j ika k memenuhi a ≤ k ≤

b. Nilai dari b − a adalah ⋅⋅⋅⋅⋅

13. (AHSME 199 6) Diberikan persamaan x + y = 14x + 6y + 6. Nilai t erkecil dari 3x + 4y yang 2 2 memenuhi adalah ⋅⋅⋅⋅⋅

E. Persamaan Nilai mut lak Nila i mut lak dari x dit ulis dengan ⏐ x ⏐ dan memiliki pengert ian ⏐ x ⏐ = x j ika x ≥ 0 dan ⏐ x ⏐ = − x j ika x < 0. Jika hanya memuat sat u t anda mut lak maka penyelesaian persamaan dapat dengan m enggunakan pengert ian nilai mut lak at au dapat j uga dengan mengkuadrat kan t anda mut lak.

Cont oh 67 :

Selesaikan persamaan ⏐ x − 2 ⏐ =8

S olusi :

A lt ernat if 1 : Dari pengert ian didapat j ika x ≥ 2 maka x − 2 = 8 sehingga x = 10 yang memenuhi persamaan. Sedangkan j ika x < 2 maka 2 − x = 8 se hingga x = − 6 yang j uga memenuhi persamaan. J adi, penyelesaian x yang memenuhi adalah x = − 6 at au x = 10.

Alt ernat if 2 : Karena ⏐ x − 2 ⏐ bernilai t ak negat if maka penyelesaiannya dapat dilakukan dengan mengkuadrat kan kedua ruas. (x − 2) 2 = 64 x 2 − 4x −

60 = 0 (x − 10)(x + 6) =0 x = 10 at au x = − 6

Eddy Hermanto, ST 37 Aljabar Eddy Hermanto, ST 37 Aljabar

Cont oh 68 : (OSP 2003) Apakah himpunan j awab dari persamaan ⏐ x+2 ⏐ + ⏐ 3x ⏐ = 14

Solusi :

• Unt uk x ≤ − 2, maka | x+2 | = − x − 2 dan | 3x | = − 3x

| x+2 | + | 3x | = 14. Maka − x − 2 − 3x = 14 sehingga x = − 4 (memenuhi bahwa x ≤ − 2)

• Unt uk − 2 ≤ x ≤ 0 maka | x+2 | = x + 2 dan | 3x | = − 3x

| x+2 | + | 3x | = 14. Maka x + 2 − 3x = 14 sehingga x = − 6 (t idak memenuhi bahwa − 2 ≤ x ≤ 0) • Unt uk x ≥ 0 maka | x+2 | = x + 2 dan | 3x | = 3x | x+2 | + | 3x | = 14. Maka x + 2 + 3x = 14 sehingga x = 3 (memenuhi bahwa x ≥ 0)

Ja i, himpunan j awab dari persamaan d | x+2 | + | 3x | = 14 adalah = { −

LAT IHAN 5. E :

1 . (OSK 2005) Tent ukan semua solusi persamaan ⏐ x − 1 ⏐ + ⏐ x − 4 ⏐ = 2.

2. (AIME 1983) Tent ukan nilai minimum dari ⎪ x − ⎪ p + ⎪ x − 15 ⎪ + ⎪ x − p − 15 ⎪ unt uk suat u nilai x dalam bat as p ≤ x ≤

15 dimana 0 < p < 15.

3. Banyaknya bilangan bulat berbeda y yang memenuhi ⏐ x − 7 ⏐ − ⏐ x + 11 ⏐ = y adalah ⋅⋅⋅⋅

4. (OSP 2006) Diberikan f ungsi f (x) = ⎪⎪ x − ⎪ 2 − a ⎪ − 3. Jika graf ik f memot ong sumbu-x t epat di t iga t it ik, maka a = ····

5. (OSP 2006) Jika ⏐ x ⏐ + x + y = 10 dan x + ⏐ y ⏐ − y = 12, maka x + y = ⋅⋅⋅⋅⋅⋅

6. (AHSME 1997) Ada berapa banyak t ripel bilangan bulat (a, b, c) yang memenuhi

⎪ a+b ⎪ + c = 19 dan ab + ⎪ c ⎪ = 97

7. (AHSME 1977) Unt uk a, b, c bilangan real t aknol, semua kemungkinan nilai dari

a b c + abc + +

a b c abc

adalah ⋅⋅⋅⋅⋅

8. (AHSME 1999) Graf ik y = −⎪ x − a ⎪ + b dan y = ⎪ x − c ⎪ + d berpot ongan di t it ik (2, 5) dan (8, 3). Nilai a + c adalah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

9. (A IME 1988) x i adalah bilangan real yang memenuhi − 1<x i < 1 dan ⎪ x 1 ⎪ + ⎪ x 2 ⎪ + ⋅⋅⋅ + ⎪ x n ⎪ = 19 + ⎪ x 1 +x 2 + ⋅⋅⋅ +x n ⎪ . Tent ukan nilai t erkecil n yang memenuhi.

1 0. (AIME 2001) Fungsi f (x) memenuhi persamaan f (3x) = 3f (x) unt uk semua bilangan real x dan

f (x) = 1 − ⎪ x − 2 ⎪ unt uk 1 ≤ x ≤

3. Tent ukan bilangan posit if x t erkecil yang memenuhi

f (x) = f (2001).

Eddy Hermanto, ST 38 Aljabar

Sist em persamaan t erdiri dari lebih dari sat u persamaan dalam rangka mencari suat u penyelesaian.

A. Sist em Persamaan L inier S ist em persamaan umum yang dikenal adalah sist em persamaan linier, yait u sist em persamaan yang p angkat variabelnya t idak lebih dari sat u. Unt uk menyelesaikan n buah variabel dibut uhkan n buah p ersamaan. Penyelesaian sist em persamaan dapat dilakukan dengan menggunakan subt it usi, eliminasi maupun dengan memanf aat kan mat riks.

Cont oh 69 : Harga x yang memenuhi : 3 x+y = 29 dan x − y = 1 adalah ⋅⋅⋅

Solusi :

3 x+y = 29 dan x − y=1 x+y= 3 log 29

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (1) x − y=1 ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (2) Dari persamaan (1) dan (2) didapat

Cont oh 70 : (OSK 2003) Hari ini usiaku 1 kali usia ayahku. Lima t ahun yang lalu, usiaku 3 1 4 kali usia ayahku pada wakt u it u. Berapaka h usiak u sekaran g?

S olusi : Misal usiaku saat ini = X dan usia ayahku saat ini = Y, maka :

X= 1 3 Y

X − 5= 1 4 (Y − 5) −

4 X 5= (3X − 5) 4X −

20 = 3X − 5

X = 15 Jadi , usiaku saat ini 15 t ahun

Cont oh 71 : Selesaikan sist em persamaan a+b+ c+d=0 a+b+c+e=5

a +b+d+e=1

a +c+d+e=2 b+c+d+e =4

Solusi : Jumlahkan semua persamaan di at as didapat 4(a + b + c + d + e ) = 12 a+b+c+d+e= 3 Maka 0 + e = 3 se hingga e = 3

5 + d = 3 sehingga d = − 2 1+c=3 sehingga c = 2

2 + b = 3 sehingga b = 1

4 + a = 3 sehingga a = − 1 Jadi, penyelesaian sist e m persamaan t ersebut adalah (a, b, c, d, e) = ( −

Eddy Hermanto, ST 39 Aljabar

Cont oh 72 : Tent ukan persamaan lingkaran yang melalui t it ik (0, 0), (6, 8) dan (7, 7)

Solusi : P ersamaan umum lingkaran adalah

x 2 +y 2 + Ax + By + C = 0 Karena ada 3 t it ik yang diket ahui dan ada 3 variabel yang dicari yait u A, B dan C maka soal ini merupakan sist em persamaan linier dengan 3 variabel (peubah). S ubt it usikan t it ik (0, 0) ke persamaan lingkaran didapat C=0

Maka persamaan umum lingkaran me nj adi x 2 +y 2 + Ax + By = 0

Berdasarkan t it ik (6, 8) m aka 6A + 8B = − 100 3A + 4B = − 50 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (1)

Berdasarkan t it ik (7, 7) maka 7A + 7B = − 98 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (2)

Dari persamaan (1) dan (2) didapat A = − 6 dan B = − 8

Maka p ersamaan umum lingkaran t ersebut adalah x 2 +y 2 − 6x − 8y = 0

B. Sist em Persamaan Tak Linier Dalam sist em persamaan t ak linier pangkat variabel bisa le bih dari sat u at au merupakan perkalian di ant ara variabel-variabel yang ada. Dalam sist em p ersamaan t ak linier maka persoalan menj adi lebih sulit dan membut uhkan t eknik penyelesaian yang lebih t inggi.

C ont oh 73 : Dit ent ukan 3 buah persamaan dengan x, y, z > 0 (x − 1)(y −

2) = 12 (y − 2)(z −

3) = 20 (z − 3)(x −

1) = 15 T ent ukan nilai 3x + 2y + 3z.

Solusi : Kalikan ket iga pers amaan didapat

((x − 1)(y − 2)(z − 3 )) 2 = 12 ⋅ 20 ⋅

(x − 1)(y − 2)(z − 3) = 60 Maka z − 3 = 5, x − 1 = 3 dan y − 2=4

D idapat x = 4, y = 6 dan z = 8 Jadi, 3x + 2y + 3z = 48.

Jika persamaan-persamaan dalam sist em p ersamaan t ak linier dapat dibawa ke dalam persamaan- persamaan sebagaimana t elah dij elaskan pada rumus Viet a maka hubungan suku banyak dengan akar-akarnya dapat digunakan unt uk m enyelesai kan persoalan sist em persamaan t ak linier.

C ont oh 74 : Tent ukan nilai a, b dan c yang memenuhi sist em persamaan berikut : a+b+c=9

ab + ac + bc = 26

a bc = 24

Solusi : Sesuai dengan rumus Viet a maka a, b, dan c adalah akar-akar persama an x 3 − 9x 2 + 26x −

24 = 0 Dengan t eore ma horner didapat x 3 − 9x 2 + 26x − 24 = (x − 2)(x − 3)(x −

Tripel (a,

b, c) yang memenuhi adalah (2, 3, 4) dan permut asinya.

Eddy Hermanto, ST 40 Aljabar

Cont oh 75 : (AIME 1991) m, n adalah bilangan asli yang memenuhi mn + m + n = 71 dan m 2 n + mn 2 = 88 0, t ent ukan m 2 +n 2 .

Solusi : m n + m + n = 71

m 2 n + mn 2 = 880 sehingga mn(m + n) = 880 mn + 880 mn = 71 ( 2 mn) − 71(mn) + 880 = 0

55) = 0 mn = 16 at au mn = 55 • Jika mn = 16 maka m + n = 71 −

(mn − 16 )(mn −

Nilai (m, n) yang memenu hi mn = 16 adalah (1, 16), (2, 8), (4, 4), (8 , 2) dan (16, 1) t et api t idak ada yang m emenuhi m + n = 55.

• Jika mn = 55 maka m + n = 71 −

Nilai (m, n) yang me menuhi mn = 55 adal ah (1, 55), (5, 11), (11, 5), (55, 1). Yang memenuhi m + n = 16 adalah m = 5 dan n = 11 at au m = 11 dan n = 5

m 2 +n 2 =5 2 + 11 2 = 146 Jad

i, nilai dari m 2 +n 2 sama dengan 146.

Con t oh 76 : Ten t ukan penyelesaian dari sist em persamaan

S olusi : K alikan kelima persamaan didapat

(abcde) 2 =2 4 ⋅ 3 2 abcde = 12 at au abcde = − 12 • Jika abcde = 12

Mengingat a b = 1 dan cd = 3 maka e = 4 sehingga d = 1 dan a = 3 2 .

Maka b = 2 3 dan c = 3.

Jadi, (a, b, c, d, e) = ( 3 , 2 2 3 , 3, 1, 4) merupakan penyelesaian.

• Jika abcde = − 12

Mengingat ab = 1 dan cd = 3 maka e = − 4 sehingga d = − 1 dan a = − 3 2 .

Maka b = − 2 3 dan c = − 3.

Jadi, (a, b, c, d, e) = ( − 3 2 , − 2 3 , − 3, − 1, − 4) merupakan penyelesaian.

Ja i, penyelesaian (a, d b, c, d, e) adalah ( 3 , 2 3 2 2 3 , 3, 1, 4) dan ( − 2 , − 3 , − 3, − 1, − 4).

Con t oh 77 : Sele saikan sist em persamaan :

x 2 − yz = 3 y 2 − xz = 4

z 2 − xy = 5

Solusi : Alt ernat if 1 :

x 2 +y 2 +z 2 − xy − xz − yz = 12

Eddy Hermanto, ST 41 Aljabar

2x 2 + 2y 2 + 2z 2 − 2xy − 2xz − 2yz = 24

(x 2 − 2xy + y 2 ) + (x 2 − 2xz + z 2 ) + (y 2 − 2yz + z 2 ) = 24 (x − y) 2 + (x − z) 2 + (y − z) 2 = 24 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (1)

y 2 − xz − (x 2 − yz) = 1 (y + x)(y − x) + z(y − x) = 1 (y − x)(x + y + z) = 1 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (2)

z 2 − xy − (y 2 − xz) = 1 (z + y)(z − y) + x(z − y) = 1 (z − y)(x + y + z) = 1 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (3)

z 2 − xy − (x 2 − yz) = 2 (z + x)(z − x) + y(z − x) = 2 (z − x)(x + y + z) = 2 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (4) Subt it usikan persamaan (2), (3) dan (4) ke persamaan (1)

() x + y + z + () x + y + z +

2 () x + y + z = 24

(x + y + z) 2 = 1 4

• Jika x + y + z = 1 2

Dari persamaan (2), (3) dan (4) y − x=2 z − y=2 z − x=4

x + (2 + x) + z = 1 2

2x + z = − 3 2

2x + (4 + x) = − 3 2 sehingga x = − 11 6

y=2+( − 11 6 1 )= 6

z=4+( − 11 6 )= 1 6 3 • Jika x + y + z = − 1 2

y − x= − 2 z − y= − 2

z − x= − 4

x+( − 2+x +z= ) − 1 2

2x + z = 3 2

2x + ( − 4 + x) = 3 sehingga x = 2 11 6

y= − 2+( 11 6 )= 1 6

z= − 4+( 11 6 13 )= 6 Tripel (x, y, z) yang memenuhi adalah (( − 11 6 1 , 6 , 13 6 )( 11 6 , − 1 , − 6 13 6 ))

Alt ernat if 2 : x 2 − yz + z 2 − x = 2y y 2 − 2xz (x − y)(x + y) + (z − y)(z + y) + z(x − y) + x(z − y) = 0 (x + y + z)(x + z 2y) = 0 − * Jika x + y + z = 0

Subt it usikan ke persamaan pada soal didapat x 2 − y( − x − y) = 3 x 2 +y 2 + xy = 3

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⋅ (5) ( − x − y) 2 − xy = 5

Eddy Hermanto, ST 42 Aljabar Eddy Hermanto, ST 42 Aljabar

* Jika x + z = 2y ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (7) x 2 − y(2y − x) = 3 x 2 − 2y 2 + xy = 3 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (8 ) y 2 − x(2y − x) = 4 x 2 +y 2 − 2xy = 4 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (9)

4(x 2 − 2y 2 + xy) = 3(x 2 +y 2 − 2xy) x 2 − 11y 2 + 10xy = 0 (x + 11y)(x − y) = 0 • Jika x = y

Subt it usikan k e persamaan (7) maka

x = y sehingga x = y = z yang t id ak memenuhi x 2 − yz = 3

• Jika x = − 11y Subt it usikan ke p ersamaan (7) maka z = 13y

y 2 − xz = 4

y 2 + 143y 2 =4 144y 2 =4 y= ± 1 6

* Jika y= 1 6 Maka x = − 11 6 dan z = 13 6 * Jika y = − 1 6 Mk aax= 11 6 dan z = − 13 6 Tripel (x, y, z) yang memenuhi adalah (( − 11 , 1 6 13 6 )( 6 11 , 6 , − 1 6 , − 13 6 ))

LAT IHAN 6 :

1. Lingkaran yang melalui t it ik-t it ik (2, 2), (2, 4) da (5 − n , − 1) mempunyai j ar i-j ari ⋅⋅⋅⋅⋅⋅

2. T ent ukan semua nilai x + y real yang memenuhi sist em persamaan :

x+y+ x y = 232 dan

3. Tent ukan semua penyelesaian pasangan (x, y) real yang memenuhi x 2 +y 2 + x + y = 12 xy + x + y = 3

4. (OSK 2005) Diberikan t iga bilang an posit x, y dan z ya if ng s emuanya berbeda. Jika x − z = = z x y , maka nilai x y sama dengan

a 1 5. a (Canadian MO 1969) Tunj ukkan bahwa j ika 2 a 3

b 1 = b 2 = b 3 dan p 1 , p 2 dan p 3 semuanya t idak sama

dengan nol, maka :

Eddy Hermanto, ST 43 Aljabar Eddy Hermanto, ST 43 Aljabar

7. (Irish MO 1999) Selesaikan sist em persamaan berikut : y 2 = (x + 8)(x 2 + 2)

2 − y 2 (8 + 4x)y + (16 + 16x − 5x )=0

8. (Canadian MO 1970) Tent ukan semua t ripel (x, y, z ) yang memenuhi bahwa salah sat u bilangan j ika dit ambahkan dengan hasil kali kedua bi langan yang lain hasilnya ad alah 2.

9. (COMC 1997) Tent ukan bilangan real x, y dan z yang me menuhi sist em persamaan :

x − yz = 42 y − xz = 6 z − xy = − 30

10. (Viet namese MO 1996) Selesaikan sist em persamaan berikut :

3 x ⎜⎜ 1 +

7 y ⎜⎜ 1 − = 4 x

7. KETAKSAMAAN

A. Konsep Urut an dan Sif at -sif at dasar dari konsep urut an Sif at pent ing pada bilangan-bilangan real adalah adanya urut an sehingga dapat membandingkan dua

b ilangan sehingga didapat apakah kedua bilangan t ersebut sama at au t idak sama. Sif at -sif at dari dari konsep urut an pada sist em bilangan real : (1) Set iap bilangan real a hanya memenuhi sat u dan hanya sat u dari kemungkinan (i) a=0 (ii) a> 0

(iii) a<0 (2) Set iap bilangan real a dan b hanya memenuhi sat u dan hanya sat u dari kemungkinan

(i) a=b (ii) a>b

(iii) a<b (3) Jika a > 0 dan b > 0 maka a + b > 0 (4) Jika a > 0 dan b > 0 at au a < 0 dan b < 0 maka ab > 0 (5) Jika a < b dan b < c maka a < c (6) Jika a < b maka a ± c<b ± c unt uk set iap bilangan real c (7) Jika a < b dan c < d maka a + c < b + d (8) Jika a < b dan c > 0 maka ac < bc (9) Jika a < b dan c < 0 maka ac > bc

(10) Jika a > 0 maka 1 a >0

a Jika a > 0 dan b > 0 maka

b >0

Eddy Hermanto, ST 44 Aljabar

(12) Jika 0 < a < b at au a < b < 0 maka 1 1 b < a . (13) Jika a > 0 dan b > 0 sert a a > b m 2 2 aka a > b.

Sif at -sif at t ersebut j uga berlaku j ika t a nda < digant i dengan t anda ≤ kecuali unt uk sif at (12) yang mensyarat kan bahwa a an b d keduanya t ak nol.

Cont oh 78 :

Bukt ikan bahwa j ika a, b, c dan d adalah bilangan po sit if yang memenuhi a c a a c b c < d maka < + b b + d < d .

S olusi :

A lt ernat if 1 :

Karena bd po sit if sert a a b c < d maka

ad < bc ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (sif at 7)

a d + ab < bc + ab ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (sif at 6) a(b + d) < b(a + c) Karena b(b + d ) posit if maka

b < + b + d ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (sif at 7) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (1)

Karena bd posit if sert a a b c < d maka

ad < bc ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (sif at 7)

ad + cd < bc + cd ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (sif at 6) d(a + c) < c(b + d) Karena d(b + d) posit if maka

b + d < d ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (sif at 7) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (2)

Dari persamaan (1) dan (2) d idapat

b < b + d < d (t erbukt i)

Alt ernat if 2 :

Karena a b c < d maka bc > ad

a + c a b c − ad

K arena bc > ad sedangkan b dan (b + d) posit if maka

a + c a bc − ad

b + d − b = ( b b + d ) >0

Jadi, a + c b a + d > b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (3)

c a + c bc − ad

Karena bc > ad sedangkan d dan (b + d) posit if maka

c a + − c bc − ad

d b + d = ( d b + d ) >0

Jadi, c a d c > + b + d ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (4)

Dari pers am aan (3) dan (4) didapat

b b + d < d (t erbukt i)

Cont oh 79 :

ax + by

x + Jika a y ≥ b da nx ≤ y maka bukt ikan bahwa ≤ a + b

Eddy Hermanto, ST 45 Aljabar

Karena a ≥ b dan x ≤ y maka (a − b)(y − x) ≥ 0.

x + y ax + J by adi, a + b

2 ⋅ 2 − 2 ≥ 0. Tanda kesamaan t erj adi j ika a = b at au x = y.

ax + by

T erbukt i bahwa

Cont oh 80 : Jika

x + 1 0 − x + 2 < 2 , maka bat as-bat as nilai x yang memenuhi adal ah ⋅⋅⋅

Solusi : K et aksamaan pada soal memiliki syarat bahwa bilangan dalam t anda akar t idak boleh negat if se hingga

x ≥ − 10 dan x ≥ − 2 yang berakibat syarat pada soal adalah x ≥ − 2 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (1)

x + 10 <2+ x + 2

Akar dari suat u bilangan selalu posit if sehingga j ika dikuadrat kan t idak akan mempengaruhi t anda ket aksam aan.

x + 10 < 2 + x + 2 + 4 x + 2

3<2 x + 2

9 < 4x + 8

x> 1 4 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (2) Jadi, bat as-bat as nilai x yang memenuhi adalah x > 1 4 .

B. Kuadr at Seba ang Bilangan Real Selalu Tak Negat if r Sebag aimana k it a ket ahui bahwa kuadrat dari suat u bilangan real t idak mungkin negat if . Konsep ini pent ing unt uk menyelesaikan suat u persoalan.

Jika a sebarang bilangan real maka a 2 ≥ 0. Tanda kesamaan t erj adi hanya j ika a = 0.

Cont oh 81 : Bukt ikan bahwa a + b 2 2 ≥ 2ab unt uk bilangan real a dan b. Kapan t anda kesamaan t erj adi ?

Solusi : Karena bilangan kuadrat t idak mungk in negat if maka

(a − b) 2 ≥ 0 Tanda kesam aan t erj adi j ika a = b

2 a + b 2ab 2 − ≥ 0

a 2 +b 2 ≥ 2ab (t erbukt i)

Cont oh 82 : Diket ahui a, b, c > 0 sert a a + b + c = 2. Bukt ikan bahwa ab + bc t idak lebih dari 1.

Solusi :

ab + bc = b(a + c) = b(2 − b)

a b + bc = 1 − (b − 1) 2 Karena bilan gan kuadrat t idak mungkin negat if maka ab + bc ≤ 1 dengan t anda kesamaan t erj adi

j ika b = 1. J adi, t erbukt i bahwa ab + bc t idak lebih dari 1.

Eddy Hermanto, ST 46 Aljabar

Sif at bilangan kuadrat t idak mungkin negat if t i dak hanya digunakan unt uk menyelesaikan masalah pert idaksamaan t et ap i j uga menyangkut persamaan.

Cont oh 83 : (A HSME 1997) Jika x, y dan z adalah bilangan real yang memenuhi (x − 3) 2 + (y − 4) 2 + (z − 5) 2 =0 m aka nilai dari x + y + z adalah

Solusi : K arena bilangan kuadrat t idak mungkin negat if maka penyelesaian (x − 3) 2 + (y − 4) 2 + (z − 5) 2 =0

h anya didapat j ika x − 3 = 0, y − 4 = 0 dan z − 5 = 0. Maka, penyel esaian (x, y, z) yang memenuhi adalah x = 3, y = 4 dan z = 5. Jadi, nil ai dari x + y + z = 3 + 4 + 5 = 12.

C. Ket aksam aan Rat aan Kuadrat (QM), Rat aan Arit mat ik (AM), Rat aaan Geomet ri (GM) dan Rat aan Harmonik (HM) Perlu dij elaskan t erlebih dahulu pengert ian masing-m asing rat aan.

Misalkan x 1 , x 2 , x 3 , ⋅⋅⋅ , x n adalah bilangan real posit if .

R at aan Kuadrat (QM) =

Rat aan Arit mat ik (AM) =

n Rat aan Geomet ri (GM) = n x 1 x 2 x 3 L x n

Rat aan Harmonik (HM) =

Cont oh 84 : Hit unglah QM, AM, GM da n HM dari bilangan-bilan gan 2, 3 dan 7.

3 GM = 3 2 ⋅ 3 ⋅ 7 = 42

Hubungan ant ara QM, AM, GM dan HM adalah

QM ≥ AM ≥ GM ≥ HM Tanda kesamaan t erj a di j i ka x 1 =x 2 =x 3 = ⋅⋅⋅ =x n

Eddy Hermanto, ST 47 Aljabar

Cont oh 85 :

Bukt ikan bahwa a 2 +b 2 ≥ 2ab unt uk bilangan real posit if a dan b.

S olusi :

D engan memanf aat kan ket aksamaan AM-GM didapat

2 ≥ a b = ab

2 Tanda kesam 2 aan t erj adi j ika a =b sehingga a = b.

a 2 +b 2 ≥ 2ab (t erbukt i)

Cont oh 86 :

Tent ukan nilai minimal dari z

2 y + 4 z + 8 x dan kapan nilai t erkecil it u t erj adi ?

Solusi :

B e rda arkan ket aksama s an AM-GM maka

xy

Jadi, nilai minimal dari y

2 y + 4 z + z 8 x ada lah 3 4 .

Tanda kesamaan t erj adi j ika x

Misalkan y

2 y = 4 z = 8 x = k maka

3 x yz

2 y ⋅ 4 z ⋅ 8 x = 64

k= 1 4 Jadi,

2 = y 1 4 sehingga y = 2x

= 4 sehingga z = 2x Jadi, t anda k esamaan t erj adi j ika y = z = 2x

Maka y nilai min ima da l ri x

2 y + 4 z + 8 x adalah 4 yang t erj adi j ika y = z = 2x.

Cont oh 87 : Unt uk a, b dan c bilangan posit if , bukt ikan ket aksamaan (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc.

Solusi : Berdasarkan ket aksamaa n AM ≥ GM maka

2 ≥ ab a+b ≥ 2 ab

Dengan cara yang sama maka

a+c ≥ 2 ac b+c ≥ 2 bc

Tanda kesam an t erj adi j ika a= b = c. a

(a + b)(a + c) (b + c) ≥ 2 ab ⋅ 2 ac ⋅ 2 bc

(a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc (t erb ukt i)

Eddy Hermanto, ST 48 Aljabar

Cont oh 88 : Bukt ikan bahwa unt uk x, y, z posit if maka x 2 +y 2 +z 2 ≥ xy + xz + yz dan kapan t anda kesamaan t erj adi.

S olusi :

B erdasarkan ket aksamaan AM-GM maka x 2 +y 2 ≥ 2xy x 2 +z 2 ≥ 2xz y 2 +z 2 ≥ 2yz

Tanda kesamaan t erj adi j ika x = y = z Jumlahka n ket iga persamaan didapat

2 x 2 + 2y 2 + 2z 2 ≥ 2xy + 2xz + 2yz x 2 +y 2 + z 2 ≥ xy + xz + yz (t erbukt i)

Cont oh 89 :

9 x 2 sin 2 x (OSP 2009/ AIME 1983) Tent ukan nilai m 4 inimal dari +

unt uk 0 < x < π .

Berdasarkan ket aksamaan AM-GM maka

9 x 2 sin 2 x + 4 = 9x sin x +

2 9 x sin x ⋅ x sin x = 12 Maka nilai minimum dari 9 x 2 sin 2 x + x 4 sin x sama dengan 12.

x sin x

x sin x

LAT IHAN 7 :

4 ≤ 1. 2 (OSK 2010) Bilangan bulat yang memenuhi pert idaksamaan x 8x − 16 sebanyak ⋅⋅⋅⋅⋅

2. (O SP 2004) Tent ukan semua bilangan real x yang memenuhi x 2 < ⎪ 2x − 8 ⎪

3. (A IME 1987) Tent ukan bilangan bulat t erbesar n sehingga t erdapat bilangan unik k yang memenuhi

15 < n +k < 13 .

4. (India RMO 1995) Tunj ukkan bahwa unt uk sembarang bilangan real x maka

2 x 2 sin x + x cos x + x + 1

4 − 3 5 2 . (OSP 2009) Banyaknya bilangan real x yang memenuhi persamaan x 2x + 5x − 176x + 2009 = 0 adalah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅

6. Selesaikan persamaan berikut dalam bilangan real

7. (B alt ic Way 2000) Tent ukan semua bilangan real posit if (x, y) yang memenuhi persamaan :

x+y − 1 x − 1 y +4=2 ( 2 x − 1 + 2 y − 1 )

Eddy Hermanto, ST 49 Aljabar

9. (M

E V2N4) Misalkan a, b dan c adalah bilangan posit if yang memenuhi persamaan a 2 +b 2 − ab = c 2 . Bukt ikan bahwa (a − c)(b − c) ≤ 0

10. (Irish MO 1998) Tunj ukkan bahwa j ika x bilangan real t ak nol maka :

11. (OSP 2008) Diberikan f (x) = x 2 + 4. Misalkan x dan y adalah bilangan-bilangan real posit if yang memenuhi f (xy) + f (y − x) = f (y + x). Nilai minimum dari x + y adalah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅

0. Tent ukan j uga x yang menyebabkan nilai minimum t ersebut .

12. 2 Tent ukan nilai t erkecil dari f (x) j ika f (x) = 4 x 8 x + + 13

unt uk x ≥

13. 2 B ukt ikan bahwa ⎜ ∑

a i ⎟ ⋅ ⎜ ⎜ ∑ ⎟ ⎟ ≥ n unt uk a i > 0.

14. (OSP 2003) Bukt ikan bahwa 999! < 500 999 .

15. Jika a dan b adalah bilangan real posit if mak a bukt ikan bahwa

Kapan t anda kesamaan t erj adi ?

16. (Aust rian MO 2000 : Beginner Compet it ion) Jika a dan b adalah bilangan real posit if maka bukt ikan bahwa

( a + b ) 3 27

Kapan t anda kesamaan t erj adi ?

17. (Canadian MO 1971) Diket ahui x dan y adalah bi langan real posit if yang memenuhi x + y = 1. Bukt ikan bahwa

1 + 1 x 1 + ( 1 ) () y ≥ 9

18. (OSP 2009) Bilangan rasional a < b < c membent uk barisan hit ung (arit mat ika) dan

b + c + a =3

Banyaknya bilangan posit if a yang memenuhi adalah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

19. x, y dan z adalah bilangan real yang memenuhi x + y + z = 1. Bukt ikan bahwa xy + yz + xz ≤ 1 3 .

20. M isalkan x, y dan z adalah bilangan posit if berbeda. Bukt ikan bahwa

x + y + z > 1 + 1 xy 1 xz + yz

21. (Hongkong PSC 1988) Jika a + b + c + d + e = 8 dan a 2 +b 2 + c 2 +d 2 +e 2 = 16 maka t ent ukan nilai maksimal dari e.

Eddy Hermanto, ST 50 Aljabar

22. Diberikan persamaan x + px + qx + rx + s = 0 yang mempunyai empat akar real posit if . Bukt ikan 4 3 2 bahwa :

a ) pr − 16s ≥ 0

b) q 2 − 36s ≥ 0 dengan t anda kesa maan t erj adi bila keempar akarnya sama.

2 3. Bukt ikan bahwa unt uk a, b dan c bilangan real posit if maka

Kapan t anda kesamaan t erj adi ?

24. (Irish MO 1998) T unj ukkan bahwa j ika a, b, c adalah bilangan real posit if maka : (i)

(ii)

25. Bukt ikan bahwa unt uk bilangan real posit if a, b, dan c sebarang berlaku

26. (Belarussian MO 1999) Jika a, b, c > 0 dan a 2 +b 2 +c 2 = 3 maka bukt ikan bahwa :

1 + ab 1 + bc 1 + ca 2

ab bc 27. ca Misalkan a, b, c > 0 dan abc = 1. Tunj ukkan bahwa

a 5 + b 5 + ab + b 5 + c 5 + bc + c 5 + a 5 + ca ≤ 1.

Eddy Hermanto, ST 51 Aljabar

BAB II TEORI BILANGAN

1. SIFAT-SIFAT PENJUMLAHAN DAN PERKALIAN DUA BILANGAN

Sif at -sif at dalam penj umlahan dua bilangan adalah :

1. Bilangan Ganj il ± Bilangan Ganj il = Bilangan Genap

2. Bilangan Ganj il ± Bilangan Genap = Bilangan Ganj il

3. Bilangan Genap ± Bilangan Ganj il = Bilangan Ganj il

4. Bilangan Genap ± Bilangan Genap = Bilangan Genap Sif at -sif at dalam perkalian dua bilangan adalah :

1. Bilangan Ganj il x Bilangan Ganj il = Bilangan Ganj il

2. Bilangan Ganj il x Bilangan Genap = Bilangan Genap

3. Bilangan Genap x Bilangan Ganj il = Bilangan Genap

4. Bilangan Genap x Bilangan Genap = Bilangan Genap

Cont oh 1 : (OSK 2003 SMP/ MTs) Hasil kali suat u bilangan genap dengan suat u bilangan ganj il adalah 820. Bilangan ganj il t erbesar yang memenuhi syarat t ersebut adalah ⋅⋅⋅⋅⋅

Solusi : 820 = 2 2 ⋅ 5 ⋅ 41

Perkalian dua bilangan yang menghasilkan bilangan ganj il hanya didapat j ika kedua bilangan t ersebut adalah ganj il. Fakt or ganj il dari 820 selain 1 adalah 5 dan 41. Bilangan ganj il t erbesar yang memenuhi adalah 5 ⋅

Jadi, bilangan t erbesar yang memenuhi adalah 205.

LAT IHAN 1 :

1. Diket ahui a + p ⋅ b = 19452005 dengan a dan b masing-masing adalah bilangan ganj il sert a diket ahui bahwa 1945 ≤ p ≤ 2005. Banyaknya nilai p bulat yang memenuhi persamaan t ersebut adalah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

2. p dan q adalah bilangan prima dan p > q. Jika p + q = 2005, maka berapakah p − q?

3. 2005 Tent ukan bilangan prima t erkecil yang membagi 19 2004 + 45 .

4. (Canadian MO 1971) Diberikan polinomial p(x) = x n +a x n-1 1 +a n-2 2 x + ⋅⋅⋅ +a n-1 x+a n dengan koef isien a 1 ,

a 2 , ⋅⋅⋅ , a n semuanya bilangan bulat . Jika p(0) dan p(1) keduanya bilangan ganj il, t unj ukkan bahwa p(x) t idak mempunyai akar bilangan bulat .

5. Diket ahui (bd + cd) adalah bilangan ganj il. Tunj ukkan bahwa polinomial x 3 + bx 2 + cx + d t idak dapat diubah menj adi (x + r)(x 2 + px + q) dengan b, c, d, p, q dan r semuanya bilangan bulat .