LAT IHAN 2 :

LAT IHAN 2 :

1. (OSP 2007) Tit ik P t erlet ak di kuadran I pada garis y = x. Tit ik Q t erlet ak pada garis y = 2x demikian sehingga PQ t egak lurus t erhadap garis y = x dan PQ = 2. Maka koordinat Q adalah ⋅⋅⋅⋅⋅

2. Segiempat ABCG dibagi menj adi 12 buah persegi yang sama. Panj ang AB = 4 dan panj ang BC = 3. Berapakah luas irisan ant ara segiempat DEFG dengan segit iga ABC ?

3. (OSK 2008) Tit ik A dan B t erlet ak pada parabola y = 4 + x − x 2 . Jika t it ik asal O merupakan t it ik t engah ruas garis AB, maka panj ang AB adalah ⋅⋅⋅⋅⋅

4. Pada persegi ABCD dengan panj ang sisi k t erdapat t it ik P dan Q yang masing-masing pada sisi AB dan BC sedemikian sehingga AP : PB = 2 : 1 dan BQ : QC = 3 : 1. Garis DP dan garis AQ berpot ongan di t it ik R. Hit unglah luas segit iga ARP dinyat akan dalam k.

5. (OSP 2003) Suat u garis vert ikal membagi segit iga dengan t it ik sudut (0, 0), (1, 1) dan (9, 1) menj adi dua daerah dengan luas yang sama. Apakah persamaan garis t ersebut ?

6. (OSK 2009) Diberikan persegi ABCD dengan panj ang sisi 10. Misalkan E pada AB dan F pada BD dengan AE = FB = 5. Misalkan P adalah t it ik pot ong CE dan AF. Luas DFPC adalah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅

3. SEGITIGA

Segit iga dibent uk dari t iga buah garis lurus dengan t idak ada garis yang sej aj ar. Jumlah ket iga sudut dalam segit iga sama dengan 180 o .

Segit iga Lancip

Segit iga Tumpul

Segit iga Siku-siku

Jika salah sat u sudut segit iga ada yang lebih dari 90 o maka disebut segit iga t umpul sedangkan j ika t idak ada yang sat upun sudut yang lebih dari 90 o maka disebut segit iga lancip. Segit iga dikat akan siku-siku j ika salah sat u sudut nya sama dengan 90 o .

Selain nama-nama t ersebut ada j uga beberapa segit iga yang perlu unt uk dikenal berkait an dengan panj ang sisinya.

a. Segit iga sama sisi Sesuai dengan namanya maka sisi-sisi segit iga sama panj ang. Selain it u, ket iga sudut segit iga t ersebut j uga sama besar yait u 60 o .

b. Segit iga sama kaki Misalkan ∆ ABC dengan sisi-sisinya a, b dan c. Segit iga ABC dikat akan sama kaki j ika t erdapat sepasang

sisi misalkan a dan b sehingga a = b. Akibat dari a = b maka ∠ A= ∠ B.

Hal yang pent ing j uga adalah misalkan ∆ ABC dengan a = b maka sebuah garis dari t it ik sudut C akan memot ong t egak lurus pert engahan sisi c = AB.

A. Dalil Cosinus dan Sinus

Pada set iap segit iga sebarang selalu berlaku dalil cosinus. Misalkan segit iga ABC memiliki sisi-sisi yang panj angnya a, b, c dengan sudut di hadapannya secara berurut an adalah A, B, C, maka berlaku :

a 2 =b 2 +c 2 − 2bc cos A

b 2 =a 2 +c 2 − 2ac cos B

c 2 =a 2 +b 2 − 2ab cos C

Jika salah sat u sudut segit iga t ersebut siku-siku misalkan A maka

a 2 =b 2 +c 2 yang dikenal dengan dalil pit agoras.

Dari dalil cosinus t ersebut akan didapat • Jika a 2 >b 2 +c 2 dengan a adalah sisi t erpanj ang maka segit iga t ersebut adalah segit iga t umpul • Jika a 2 <b 2 +c 2 dengan a adalah sisi t erpanj ang maka segit iga t ersebut adalah segit iga lancip

Pada segit iga ABC t ersebut j uga berlaku dalil sinus

2 R sin A sin B sin C

Dengan R adalah j ari-j ari lingkaran luar ∆ ABC.

Dari dalil sinus j uga didapat bahwa sisi di hadapan sudut yang t erbesar merupakan sisi t erpanj ang.

Cont oh 11 : Pada segit iga ABC diket ahui panj ang AC = 5, AB = 6 dan BC = 7. Dari t it ik C dibuat garis t egak lurus sisi AB memot ong sisi AB di t it ik D. Tent ukan panj ang CD.

Solusi : Alt ernat if 1 : Misalkan panj ang AD = x sehingga BD = 6 − x

CD 2 = AC 2 − AD 2 = BC 2 − BD 2

5 2 − x 2 =7 2 − (6 − x) 2

24 = 36 − 12x + x 2 − x 2 sehingga x = 1

CD 2 =5 2 − 1 2

CD = 2 6

Alt ernat if 2 : s= 1 2 (5 + 6 + 7) = 9

Luas ∆ ABC = s ( s − a )( s − b )( s − c ) Luas ∆ ABC = 9 ( 9 − 5 )( 9 − 6 )( 9 − 7 ) = 6 6

Luas ∆ 1 ABC =

2 ⋅ AB ⋅ CD = 3CD

3 ⋅ CD = 6 6

Jadi, panj ang CD = 2 6 .

Cont oh 12 : (OSK 2002) Pada suat u segit iga ABC, sudut C t iga kali besar sudut A dan sudut B dua kali besar sudut

A. Berapakah perbandingan (rasio) ant ara panj ang AB dengan BC ?

Solusi : ∠ C=3 ∠

A dan ∠ B=2 ∠ A Karena ∠ A+ ∠ B+ ∠

C = 180 o maka

∠ A+2 ∠ A+3 ∠

A = 180 o sehingga ∠

A = 30 o

∠ C=3 ∠

A = 90 o

sin ∠ C = sin ∠ A Jadi,

AB BC

AB = sin 90 ° BC sin 30 ° = 2.

LAT IHAN 3. A

1. (OSK 2010) Diberikan segit iga ABC, AB = AC. Jika t it ik P diant ara A dan B sedemikian rupa sehingga AP = PC = CB, maka besarnya sudut A adalah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅

2. (NAHC 1995-1996 First Round) Pada segit iga siku-siku diket ahui panj ang sisi-sisinya adalah a, a + b

dan a + 9b unt uk suat u bilangan posit if a dan b. Tent ukan nilai dari a b .

3. (OSK 2003) Segit iga ABC adalah segit iga sama sisi dengan panj ang sisi 1 sat uan. Melalui B dibuat garis yang t egak lurus BC. Garis t ersebut berpot ongan dengan perpanj angan garis AC di t it ik D. Berapakah panj ang BD?

4. (OSP 2010) Jika a, b, dan c menyat akan panj ang sisi-sisi suat u segit iga yang memenuhi (a + b + c)(a + b −

c) = 3ab, maka besar sudut yang menghadapi sisi dengan panj ang c adalah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

5. (OSP 2010) Pada segit iga ABC dimisalkan a, b, dan c bert urut -t urut merupakan panj ang sisi BC, CA, dan AB. Jika

tan A = tan B

Maka nilai sin 2 A − sin 2 cos B 2 A + cos 2 B adalah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅

6. (AIME 1983) Tit ik A dan C t erlet ak pada lingkaran yang berpusat di O dan berj ari-j ari 50 . Tit ik

B t erlet ak di dalam lingkaran yang memenuhi ∠ ABC = 90 o , AB = 6 dan BC = 2. Tent ukan panj ang OB.

7. (AIME 1983/ Hongkong PSC 1988) Dua lingkaran yang masing-masing berj ari-j ari 8 dan 6 mempunyai j arak ant ar pusat 12. Melalui t it ik P yang merupakan salah sat u t it ik perpot ongan

kedua lingkaran dibuat t ali busur PQ dan PR dengan Q, P, R segaris. Jika PQ = PR, t ent ukan PQ 2 .

8. (ME V7N1) Tent ukan semua kemungkinan sisi-sisi segit iga ABC dengan sisi-sisinya membent uk 3 bilangan bulat berurut an sert a ∠ C=2 ∠ A.

9. (Flanders MO 1996 Final Round) Misalkan ABC dan DAC adalah dua buah segit iga sama kaki dengan AB = AC dan AD = DC. Pada ABC besar ∠ BAC = 20 o sedangkan pada ADC berlaku ∠ ADC = 100 o ∆ ∆ . Bukt ikan bahwa AB = BC + CD.

B. Kesebangunan Segit iga

Dua buah segit iga dikat akan sebangun apabila sisi-sisinya memiliki perbandingan yang sama sedangkan segit iga yang memiliki sisi-sisi yang sama dikat akan kongruen (sama dan sebangun).

Dua buah segit iga ABC dan DEF dikat akan sebangun j ika memenuhi salah sat u syarat berikut : (i) Ket iga sudut nya sama. Dengan kat a lain ∠ A= ∠ D, ∠ B= ∠

F. Jika diperhat ikan syarat sebenarnya hanyalah dua buah sudut nya sama sebab sudut ket iga akan sama j ika dua sudut lainnya sama.

E dan ∠ C= ∠

(ii)

Sisi-sisinya memiliki perbandingan yang sama, AB AC BC DE = DF = EF .

(iii) Dua sisi memiliki perbandingan yang sama sert a sudut yang mengapit kedua sisi t ersebut j uga sama.

AB = AC

DE DF dan ∠ A= ∠ D.

Cont oh 13 : (OSK 2002) Garis AB dan CD sej aj ar dan berj arak 4 sat uan. Misalkan AD memot ong BC di t it ik P diant ara kedua garis. Jika AB = 4 dan CD = 12, berapa j auh P dari garis CD ?

Solusi : Dibuat garis EF t egak lurus AB maupun CD sert a melalui t it ik P.

Karena ∠ CPD = ∠ APB dan AB sej aj ar dengan CD, maka ∆ APB sebangun dengan ∆ CPD.

PF CD 12

EP = AB = 4 = 3

EP = 1 3 PF ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (1) EP + PF = 4

3 PF + PF = 4 Jadi, PF = 3 sat uan

LAT IHAN 3. B

1. ABCD adalah persegi panj ang dengan AB = 4 dan BC = 3. Tent ukan j arak dari t it ik A ke garis BD.

2. ABCD adalah persegi panj ang dengan panj ang sisi AB = 16 dan AD = 12. Dari t it ik D dibuat garis memot ong t egak lurus diagonal AC di t it ik P. Dari t it ik B j uga dibuat garis yang memot ong t egak lurus diagonal AC di t it ik Q. Hit unglah panj ang PQ.

3. Pada sebuah segit iga siku-siku dengan sisi siku-siku 4 dan 6 dibuat set engah lingkaran dengan pusat lingkaran t erlet ak pada hi pot enusa dan menyinggung kedua sisi siku-siku segit iga t ersebut . Tent ukanlah j ari-j ari lingkaran t ersebut ?

4. Pada j aj aran genj ang ABCD, E t erlet ak pada sisi BC. Garis DE memot ong diagonal AC di t it ik G. Perpanj angan DE dan perpanj angan AB saling berpot ongan di t it ik F. Jika panj ang DG = 6 dan panj ang EG = 4, t ent ukan panj ang EF.

5. (OSP 2006) Misalkan segit iga ABC siku-siku di B. Garis t inggi dari B memot ong sisi AC di t it ik D. Jika t it ik E dan F bert urut -t urut adalah t i t ik t engah BD dan CD, bukt ikan bahwa AE ⊥ BF.

C. Garis-garis pada segitiga

Ada empat garis yang akan dibahas

a. Garis Bagi Garis bagi adalah suat u garis yang dit arik dari salah sat u t it ik sudut dan membagi sudut t ersebut menj adi dua bagian yang sama besar.

Sif at -sif at yang berhubungan dengan ket iga garis bagi dalam ∆ ABC. (i) Ket iga garis bagi bert emu di sat u t it ik (ii) Pert emuan ket iga garis bagi merupakan t it ik pusat lingkaran dalam ∆ ABC. Lingkaran dalam segit iga adalah lingkaran yang menyinggung bagian dalam ket iga sisi segit iga.

(iii) BA BD Misalkan garis bagi dalam dibuat dari t it ik A memot ong sisi BC di D maka berlaku

AC = DC

(iv) Misalkan j uga garis bagi luar dibuat dari t it ik A memot ong perpanj angan sisi BC di D maka

j uga berlaku BA AC BD = DC

b. Garis Tinggi Garis t inggi adalah suat u garis yang dit arik dari salah sat u t it ik sudut dan memot ong t egak lurus sisi di hadapannya.

Sif at -sif at yang berhubungan dengan ket iga garis t inggi dalam ∆ ABC. (i) Ket iga garis t inggi bert emu di sat u t it ik.

(ii) Misalkan AD adalah garis t inggi dari

o ∆ ABC maka ∠ BDA = ∠ CDA = 90 .

c. Garis Berat Garis Berat (disebut j uga median) adalah suat u garis yang dit arik dari salah sat u t it ik sudut dan memot ong pert engahan sisi di hadapannya.

Sif at -sif at yang berhubungan dengan ket iga garis berat dalam ∆ ABC. (i) Ket iga garis berat bert emu di sat u t it ik. (ii) Perpot ongan ket iga garis berat merupakan t it ik berat ∆ ABC (iii) Misalkan ket iga garis berat (garis AD, BE dan CF) berpot ongan di t it ik G maka berlaku AG : GD = BG : GE = CG : GF = 2 : 1.

(iv) Misalkan koordinat t it ik sudut ∆ ABC adalah A(x A , y A ), B(x B , y B ) dan C(x C , y C ) maka koordinat

t it ik berat G ⎜

d. Garis Sumbu Garis Sumbu adalah suat u garis yang dit arik t egak lurus dari pert engahan salah sat u sisi dan memot ong sisi di hadapannya.

Pada gambar di at as, t it ik D, E dan F bert urut -t urut adalah pert engahan sisi AB, BC dan AC. Sif at -sif at yang berhubungan dengan ket iga garis sumbu dalam ∆ ABC.

(i) Ket iga garis sumbu bert emu di sat u t it ik. (ii) Perpot ongan ket iga garis sumbu merupakan pusat lingkaran luar ∆ ABC.

Cont oh 14 : (OSP 2004 / OSK 2010) Diberikan segit iga ABC dengan perbandingan panj ang sisi AC : CB = 3 : 4. Garis bagi sudut luar C memot ong perpanj angan BA di P (t it ik A t erlet ak di ant ara t it ik-t it ik P dan B). Tent ukan perbandingan panj ang PA : AB.

Karena CP adalah garis bagi maka berlaku AC : CB = PA : PB. Maka PA = 3 4 PB.

PB = PA + AB

3 PA = PA + AB. PA = 3 AB

Jadi, perbandingan panj ang PA : AB = 3 : 1

Cont oh 15 : (OSK 2009) Diket ahui ABC adalah segit iga siku-siku di A dengan AB = 30 cm dan AC = 40 cm. Misalkan AD adalah garis t inggi dari dan E adalah t it ik t engah AD. Nilai dari BE + CE adalah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

Solusi : Karena ABC siku-siku di A maka BC = 50 cm.

BD = 30 ⋅ 30 50 = 18 cm sehingga DC = 50 −

BE 2 = BD 2 + DE 2 = 18 2 + 12 2 =6 2 ⋅ 13 CE 2 = CD 2 + DE 2 = 32 2 + 12 2 =4 2 ⋅ 73

BE + CE = 4 73 + 6 13 Jadi, nilai dari BE + CE adalah 4 73 + 6 13 cm.

Cont oh 16 : AD dan BE adalah garis berat suat u segit iga ABC. Kedua garis berat ini saling t egak lurus. Hit ung AB j ika AC = 8 dan BC = 6.

Solusi : Misal G adalah t it ik berat segit iga Misal AD = 3x maka AG = 2x dan DG = x Misal BE = 3y maka BG = 2y dan EG = y Pada

+ (2y) 2 = 9 sehingga x 2 + 4y ∆ 2 DGB berlaku : x 2 =9

Pada

2 2 2 ∆ 2 EGA berlaku : y + (2x) = 9 sehingga 4x +y = 16 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (2)

Jumlahkan persamaan (1) + (2) didapat 5x 2 + 5y 2 = 25 sehingga x 2 +y 2 =5 Pada ∆ ABG berlaku (AB) 2 = (2x) 2 + (2y) 2 = 4(x 2 +y 2 ) = 20

AB = 2 5

LAT IHAN 3. C

1. (OSK 2010) AB, BC dan CA memiliki panj ang 7, 8, 9 bert urut -t urut . Jika D merupakan t it ik t inggi dari B, t ent ukan panj ang AD.

2. Pada segit iga ABC diket ahui panj ang AB = 5, BC = 7 dan AC = 9. Tit ik D t erlet ak pada AC sehingga panj ang BD = 5. Tent ukan perbandingan AD : DC.

3. Diket ahui ∆ ABC dengan AC = 2BC = 10 cm. Dari t it ik C dibuat garis bagi sudut ACB, sehingga memot ong AB di t it ik D. Dibuat garis DE t egak lurus pada AB, sehingga BC = EB. Dari t it ik D dibuat garis t egak lurus pada EB dan memot ong EB di t it ik F. Jika panj ang AD = 8 cm. Hit unglah panj ang

EF.

4. Segit iga sama sisi ABC ket iga t it ik sudut nya t erlet ak pada lingkaran berj ari-j ari 1. Tit ik M dan N berurut an adalah pert engahan AC dan BC. Perpanj angan MN memot ong lingkaran di t it ik P dengan panj ang NP < MP. Maka panj ang NP adalah ………………

5. (OSP 2006) Pada segit iga ABC, garis bagi sudut A memot ong sisi BC di t it ik D. Jika AB = AD = 2 dan BD = 1, maka CD = ⋅⋅⋅⋅⋅

6. Pada ∆ ABC, diket ahui AB = 5, AC = 6, BC = 4. Tit ik D t erlet ak pada sisi AB sehingga panj ang AD =

2. Dari t it ik D dibuat garis t egak lurus AC di E dan dibuat sebuah garis lagi dari D t egak lurus BC di t it ik F. Tent ukan nilai DE : DF.

7. (OSK 2009) Diberikan segit iga ABC t umpul ( ∠ ABC > 90 o ), AD dan AE membagi sudut BAC sama besar. Panj ang segmen garis BD, DE dan EC bert urut -t urut adalah 2, 3, dan 6. Panj ang t erpendek dari sisi segit iga ABC adalah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅

8. (AIME 1992) ABCD adalah t rapesium dengan AB sej aj ar DC, diket ahui panj ang AB = 92, BC = 50, CD = 19, DA = 70. P adalah sebuah t it ik yang t erlet ak pada sisi AB sehingga dapat dibuat sebuah lingkaran yang berpusat di P yang menyinggung AD dan BC. Tent ukan panj ang AP.

9. Tit ik M adalah t it ik t engah sisi BC dari segit iga ABC dengan AM : BC = 3 : 2. Bukt ikan bahwa garis berat dari t it ik B dan C saling t egak lurus.

10. Garis t inggi AP, BQ dan CR dari segit iga ABC berpot ongan di t it ik H. Jika panj ang AH = BC maka bukt ikan bahwa PR dan PQ t egak lurus.

D. Luas Segitiga

a. Diket ahui alas dan t inggi segit iga

Misalkan ∆ ABC memiliki panj ang alas = a dan t inggi = t maka

Luas segit iga = [ ABC] = 1 2 at

Dari persamaan di at as akan didapat (i) Dua buah segit iga yang alas dan t ingginya sama panj ang akan memiliki luas yang sama.

Sebagai cont oh, perhat ikan gambar. Garis l 1 dan l 2 adalah dua garis yang sej aj ar. Akibat nya t inggi ∆ ABC, ∆ ABD akan sama. Karena panj ang alasnya sama yait u AB maka ∆ ABC, ∆ ABD keduanya memiliki luas yang sama. Misalkan perpot ongan kedua segit iga di t it ik E, maka luas ∆ ACE = Luas ∆ BDE.

(ii) Dua buah segit iga yang alas at au t ingginya sama maka perbandingan luasnya bert urut -t urut dapat dinyat akan sebagai perbandingan t inggi at au alasnya.

Sebagai cont oh, perhat ikan gambar. Garis l 1 dan l 2 adalah dua garis yang sej aj ar. Akibat nya t inggi ∆ ABC, ∆ ADE akan sama. Maka perbandingan luas ∆ ABC dan ∆ ADE dapat dinyat akan sebagai perbandingan alas. Luas ∆ ABC : Luas ∆ ADE = panj ang AB : AD.

b. Diket ahui dua sisi dan sat u sudut yang mengapit kedua sisi t ersebut

Misalkan ∆ ABC memiliki sisi-sisi a, b dan c sert a t it ik sudut A, B dan C.

Luas segit iga ABC = [ ABC] = 1 ab sin C = 2 1 2 ac sin B = 1 2 bc sin A Luas segit iga ABC = [ ABC] = 1 ab sin C = 2 1 2 ac sin B = 1 2 bc sin A

Misalkan ∆ ABC memiliki sisi-sisi a, b dan c Luas segit iga ABC dapat dihit ung dengan menggunakan rumus Heron yait u

s ( s − a )( s − b )( s − c )

Luas segit iga = [ ABC] =

dengan s = 1 2 (a + b + c)

Cont oh 17 : Hit unglah luas daerah yang diarsir

Solusi : Luas daerah yang diarsir

Luas ∆ ABD + Luas ∆ ABE − 2 ⋅ Luas ∆ ABC

= 1 2 ⋅ 4 ⋅ 6+ 1 2 ⋅ 4 ⋅ 9 − 2 ⋅ 1 2 ⋅ 4 ⋅ 3 = (12 + 18 − 12) cm 2

= 18 cm 2

Cont oh 18 : (OSP 2002) Segit iga ABC memiliki panj ang sisi AB = 10, BC = 7, dan CA = 12. Jika set iap sisi diperpanj ang menj adi t iga kali panj ang semula, maka segit iga yang t erbent uk memiliki luas berapa kali luas ∆ ABC ?

Solusi :

Luas segit iga semula = 1 2 ab sin C Luas segit iga akhir = 1 2 1 (3a)(3b)sin C = 9 ⋅ 2 ab sin C

Luas segit iga akhir = 9 ⋅ Luas segit iga semula Jadi, perbandingan luas segit iga akhir dengan luas segit iga semula adalah = 9

LAT IHAN 3. D

1. Pada segit iga ABC diket ahui a = 2 √

2, b = 2 √ 3 dan sudut A = 45 o , maka luas segit iga it u adalah ⋅⋅⋅⋅

2. (OSP 2004) Pada sisi-sisi SU, TS dan UT dari ∆ STU dipilih t it ik-t it ik P, Q dan R bert urut -t urut sehingga SP = 1 SU, TQ = 4 1 2 TS dan UR = 1 3 UT. Jika luas segit iga STU adalah 1, berapakah luas segit iga PQR ?

3. (OSP 2009/ AIME 1988) Diberikan segit iga ABC dengan t an ∠ CAB = 22 7 . Melalui t it ik sudut A dit arik garis t inggi sedemikian rupa sehingga membagi sisi BC menj adi segmen-segmen dengan panj ang 3

dan 17. Luas segit iga ABC adalah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

4. (Canadian MO 1969) Misalkan ABC adalah sebuah segit iga dengan sisi-sisinya a, b dan c. Garis bagi yang dit arik dari t it ik C memot ong AB di D. Bukt ikan bahwa panj ang

2 ab cos C

CD =

5. (OSP 2008/ Hongkong PSC) Diberikan segit iga ABC dengan sisi-sisi a, b, dan c. Nilai a 2 +b 2 +c 2 sama dengan 16 kali luas segit iga ABC. Besarnya nilai ct g A + ct g B + ct g C adalah ⋅⋅⋅⋅⋅

6. Segi empat ABCD memiliki panj ang sisi-sisi AB = 9, BC = 12, CD = 13 dan DA = 14. Panj ang diagonal AC adalah 15. Dari t it ik B dan D dibuat garis t egak lurus AC dan memot ong AC bert urut -t urut di t it ik P dan Q. Hit unglah panj ang PQ.

7. ABCD adalah sebuah persegi panj ang dengan luas 1. Diagonal AC dan BD berpot ongan di E. Tit ik F t erlet ak pada pert engahan BC. Jika AF berpot ongan dengan diagonal BD di G, maka berapakah luas segit iga AEG ?

8. (AIME 1988) P adalah t it ik di dalam segit iga ABC. Perpanj angan PA memot ong sisi BC di D, perpanj angan PB memot ong sisi AC di E dan perpanj angan PC memot ong sisi AB di F. Jika panj ang PD = PE = PF = 3 dan PA + PB + PC = 43 t ent ukan nilai dari PA ⋅ PB ⋅ PC.

9. (OSN 2004) Bukt ikan bahwa suat u segit iga ABC siku-siku di C dengan a menyat akan sisi dihadapan sudut A, b menyat akan sisi di hadapan sudut B, c menyat akan sisi di hadapan sudut C memiliki diamet er lingkaran dalam = a + b − c.

10. (OSK 2006) Pada segit iga ABC, t it ik F membagi sisi AC dalam perbandingan 1 : 2. Misalkan G t it ik t engah BF dan E t it ik perpot ongan ant ara sisi BC dengan AG. Maka t it ik E membagi sisi BC dalam perbandingan

11. Pada persegi ABCD dengan panj ang sisi 1, t it ik E pada AB dan t it ik F pada BC sehingga segit iga DEF adalah segit iga sama sisi. Tent ukan luas segit iga DEF.

12. (OSK 2006) Pada segit iga ABC yang t umpul di C, t it ik M adalah t i t ik t engah AB. Melalui C dibuat garis t egak lurus pada BC yang memot ong AB di t it ik E. Dari M t arik garis memot ong BC t egak

lurus di D. Jika luas segit iga ABC adalah 54 sat uan luas, maka luas segit iga BED adalah ⋅⋅⋅⋅⋅

13. Diket ahui segit iga siku-siku ABC, sisi AB t egak lurus sisi AC. Panj ang AB = 3 dan panj ang AC = 4. Tit ik P t erlet ak di dalam segit iga ABC. Tit ik D, E dan F masing-masing t erl et ak pada sisi BC, AC dan AB sehingga PD t egak lurus BC, PE t egak lurus AC dan PF t egak lurus AB. Jika

AB AC BC

PF + PE + PD = 12 , hit unglah panj ang PE, PF dan PD.

t erlet ak di dalam segit iga ABC sehingga ∠ PAC = ∠ PBA = ∠ PCB = ϕ . Nilai dari t an ϕ = ⋅⋅⋅⋅⋅⋅

15. P adalah sebuah t it ik di dalam segit iga ABC. Tiga buah garis dibuat melalui t iit k P yang sej aj ar dengan ket iga sisi segit iga ABC. Perpot ongan garis-garis t ersebut dengan sisi-sisi segit iga

membent uk segit iga kecil. Luas ket iga segit iga t ersebut adalah p 2 , q 2 dan r 2 . Bukt ikan bahwa luas

segit iga ABC adalah (p + q + r) 2 .

16. S adalah t it ik yang t erlet ak di dalam segit iga ABC sehingga luas ∆ SAB, ∆ SBC dan ∆ SCA sama. Tunj ukkan bahwa S adalah t it ik berat segit iga ABC.

17. (Flanders MO 2001 Final Round) Pada segit iga ABC t it ik D dan E bert urut -t urut t erlet ak pada sisi AC dan BC. Garis BD dan AE berpot ongan di t it ik F. Misalkan [ XYZ] menyat akan luas segit iga XYZ. Jika [ ADF] = 4, [ ABF] = 8 dan [ BEF] = 7 maka t ent ukan luas daerah CDFE.

E. Hubungan antara luas segitiga dengan j ari-j ari lingkaran dalam dan j ari-j ari lingkaran luar segitiga

Ada hubungan ant ara luas segit iga dengan j ari-j ar i lingkaran dalam dan j ari-j ari lingkaran luar.

Luas segit iga ABC = [ ABC] = 1 2 r(a + b + c) = rs Luas segit iga ABC = [ ABC] = abc 4 R

Cont oh 19 : (OSK 2004) Jika luas segit iga ABC sama dengan kelilingnya, maka j ari-j ari lingkaran dalam segit iga ABC adalah ⋅⋅⋅⋅

Solusi : Misal j ari-j ari lingkaran dalam sama dengan r dan ket iga sisinya adalah a, b dan c, maka :

Luas segit iga = 1 2 r (a + b + c) Luas segit iga = 1 2 r ⋅ Keliling segit iga

Karena luas segit iga sama dengan keliling segit iga maka r = 2 Jadi, j ari-j ari lingkaran dalam segit iga ABC adalah 2

LAT IHAN 3. E

1. Jika r dan R menyat akan j ari-j ari lingkaran dalam dan lingkaran luar segit iga yang panj ang sisi- sisinya adalah 5, 6 dan 7 maka t ent ukan nilai dari hasil kali rR.

2. (OSK 2008) Lingkaran T merupakan lingkaran luar bagi segit iga ABC dan lingkaran dalam bagi segit iga PQR. Jika ABC dan PQR keduanya segit iga samasisi, maka rasio keliling ∆ ABC t erhadap keliling ∆ PQR adalah

3. (OSP 2009) Diket ahui segit iga siku-siku ABC dengan panj ang sisi-sisinya a, b, dan c sert a a < b < c. Misalkan r dan R bert urut -t urut menyat akan panj ang j ari-j ari lingkaran dalam dan lingkaran

luarnya. Jika

R 2 = 3 maka nilai dari a + b + c adalah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

F. Ketaksamaan Segitiga

Pada set iap segit iga haruslah berlaku bahwa panj ang set iap sisi selalu kurang dari j umlah panj ang dua sisi yang lain. Misalkan panj ang sisi-sisi segit iga ABC adalah a, b dan c maka berlaku

a < b + c ; b < a + c dan c < a + b

Cont oh 20 : Ada berapa banyak nilai n bulat j ika 5, 6 dan n + 4 merupakan sisi-sisi suat u segit iga ?

Solusi : * Misalkan 6 adalah sisi t erpanj ang maka 6 < 5 + n + 4 Æ n> − 3

Selain it u n + 4 ≤ 6 sehingga n ≤ 2. Nilai n yang memenuhi adalah − 2, −

* Misalkan n + 4 adalah sisi t erpanj ang maka n + 4 < 5 + 6 Æ n<7 Selain it u n + 4 ≥ 6 sehingga n ≥ 2 Nilai n yang memenuhi adalah 2, 3, 4, 5, 6

Jadi, nilai n yang memenuhi adalah − 2, −

1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 dan 6.

Jadi, banyaknya nilai n yang memenuhi ada 9.

Cont oh 21 : Misalkan t it ik T t erlet ak pada segit iga ABC. Bukt ikan bahwa

TA + TB + TC > 1 2 Keliling ∆ ABC

Solusi :

Berdasarkan ket aksamaan segit iga maka Pada ∆ TAB berlaku TA + TB > AB ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (1) Pada ∆ TAC berlaku TA + TC > AC ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (2) Pada ∆ TBC berlaku TB + TC > BC ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (1) Jumlahkan ket iga persamaan (1), (2) dan (3) maka

2(TA + TB + TC) > AB + AC + BC TA + TB + TC > 1 2 Keliling ∆ ABC (t erbukt i)

Cont oh 22 : (OSK 2007) Keliling sebuah segit iga adalah 8. Jika panj ang sisi-sisinya adalah bilangan bulat , maka luas segit iga t ersebut sama dengan

Solusi :

a + b + c = 8 dengan a, b, dan c semuanya bilangan asli. Kombinasi t ripel (a, b, c) yang mungkin adalah (6, 1, 1), (5, 2, 1), (4, 3, 1), (4, 2, 2), (3, 3, 2).

Yang memenuhi a < b + c hanya t ripel (a, b, c) = (3, 3, 2) s= 1 2 (a + b + c) = 4

Dengan rumus Heron, Luas ∆ = s ( s − a )( s − b )( s − c ) =2 2

Luas ∆ =2 2

LAT IHAN 3. F :

1. (OSP 2009) Banyaknya segit iga t umpul dengan sisi bilangan asli yang memiliki sisi-sisi t erpanj ang

10 adalah ⋅⋅⋅⋅⋅

2. (OSP 2009) Diberikan segit iga dengan panj ang dari ket iga garis t inggi segit iga it u merupakan bilangan bulat . Jika panj ang kedua garis t ingginya adalah 10 dan 6, maka panj ang maksimum garis

t inggi ket iga adalah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅

3. (OSP 2006) Pada segit iga ABC, garis-garis berat dari t it ik sudut B dan t it ik sudut C saling berpot ongan t egak lurus. Nilai minimum ct g B + ct g C adalah ⋅⋅⋅⋅⋅

4. Buj ur sangkar ABCD memiliki sisi yang panj angnya a dan diagonal yang panj angnya d. Segit iga APQ dibuat sedemikian sehingga t it ik P pada sisi BC dan Q pada sisi AB dengan DP = DQ. Jika keliling segit iga DPQ = k, bukt ikan bahwa 2d < k < 4a.

5. Panj ang sisi-sisi suat u segi empat merupakan bilangan asli. Panj ang masing-masing sisi membagi j umlah panj ang ket iga sisi yang lain. Bukt ikan bahwa t erdapat sedikit nya dua sisi dengan panj ang yang sama.

6. (OSP 2009) Diberikan segit iga ABC dan t it ik D pada sisi AC. Misalkan r 1 , r 2 dan r bert urut -t urut menyat akan j ari-j ari lingkaran dalam dari segit iga-segit iga ABD, BCD, dan ABC. Bukt ikan bahwa r 1 +r 2 > r.

4. SEGIEMPAT

Ada beberapa bangun segiempat dalam dua dimensi yang akan dibahas.

a. Persegi Panj ang

Sif at -sif at persegi panj ang (i) Dua sisi berhadapan sej aj ar Dari gambar didapat AB ⁄⁄ DC dan AD ⁄⁄ BC. (ii) Dua buah sisi berhadapan sama panj ang AB = DC dan AD = BC

(iii) o Masing-masing keempat t it ik sudut sama dengan 90 ∠ A= ∠ B= ∠ C= ∠

D = 90 o

AO = OC = BO = OD.

Misalkan persegi panj ang memiliki sisi yang panj angnya p dan l maka berlaku Keliling persegi panj ang = 2(p + l) Luas persegi panj ang = p ⋅ l

b. Persegi

Sif at -sif at persegi (i) Dua sisi berhadapan sej aj ar Dari gambar didapat AB ⁄⁄ DC dan AD ⁄⁄ BC. (ii) Keempat sisi sama panj ang AB = DC = AD = BC

(iii) Masing-masing keempat t it ik sudut sama dengan 90 o

∠ A= ∠ B= ∠ C= ∠

D = 90 o

(iv) Kedua diagonal saling t egak lurus AC t egak lurus BD (v) Kedua diagonal sama panj ang dan saling membagi dua sama panj ang AC = BD dan AO = OC = BO = OD.

Misalkan persegi memiliki sisi yang panj angnya s maka berlaku Keliling persegi = 4s Luas persegi = s 2

c. Jaj aran Genj ang

Sif at -sif at j aj aran genj ang (i) Dua sisi berhadapan sej aj ar dan sama panj ang Dari gambar didapat AB ⁄⁄ DC dan AD ⁄⁄ BC sert a AB = DC dan AD = BC (ii) Sudut yang berhadapan sama besar ∠ BAD = ∠ BCD dan ∠ ADC = ∠ ABC (iii) Kedua diagonal saling membagi dua sama panj ang AO = OC dan BO = OD

Misalkan j aj aran genj ang memiliki sisi yang panj angnya a dan b sert a j arak dua sisi sej aj ar a sama dengan t maka berlaku Keliling j aj aran genj ang = 2(a + b) Luas j aj aran genj ang = a ⋅ t

d. Belah Ket upat

Sif at -sif at belah ket upat (i) Dua sisi berhadapan sej aj ar Dari gambar didapat AB ⁄⁄ DC dan AD ⁄⁄ BC (ii) Semua sisi sama panj ang AB = DC = AD = BC (iii) Sudut yang berhadapan sama besar ∠ BAD = ∠ BCD dan ∠ ADC = ∠ ABC (iv) Kedua diagonal berpot ongan t egak lurus dan saling membagi sama panj ang AO = OC dan BO = OD

Misalkan belah ket upat memiliki sisi-sisi yang panj angnya a sert a panj ang kedua diagonalnya d 1 = AC dan d 2 = BD maka berlaku Keliling belah ket upat = 4a

Luas belah ket upat = 1 2 ⋅ d 1 ⋅ d 2

e. Trapesium

Sif at -sif at t rapesium (i) Memiliki t epat sepasang sisi yang sej aj ar Dari gambar didapat AB ⁄⁄ DC (ii) Sudut ant ara dua sisi sej aj ar sama dengan 180 o ∠ BAD + ∠ ADC = 180 o dan ∠ ABC + ∠ BCD = 180 o

Misalkan t rapesium memiliki sisi-sisi yang panj angnya a, b, c dan d dengan a dan c sej aj ar sert a j arak dua sisi sej aj ar sama dengan t maka berlaku Keliling t rapesium = a + b + c + d Luas t rapesium = 1

2 ⋅ (a + c) ⋅ t

f. Layang-layang

Sif at -sif at layang-layang (i) Memiliki dua pasang sisi sama panj ang AB = BC dan AD = CD (ii) Kedua diagonal berpot ongan t egak lurus Diagonal BD ⊥ AC (iii) Diagonal t erpanj ang membagi diagonal t erpendek sama panj ang Diagonal t erpanj ang adalah BD sehingga AO = OC.

Misalkan layang-layang memiliki sisi-sisi yang panj angnya AB = BC = a dan AD = CD = b sert a panj ang

kedua diagonalnya d 1 = AC dan d 2 = BD maka berlaku

Keliling layang-layang = 2(a + b)

Luas belah ket upat = 1 2 ⋅ d 1 ⋅ d 2

Cont oh 23 : (OSK 2005) Diberikan dua buah persegi, A dan B, dimana luas A adalah separuh dari luas B. Jika keliling B adalah 20 cm, maka keliling A, dalam cent imet er, adalah ⋅⋅⋅⋅

Solusi : Luas B = 2 Luas A, maka B = 2A Misalkan panj ang sisi A = x dan panj ang sisi B = y maka

Luas B = y 2 = 2x 2 sehingga y = x √ 2 Keliling B = 4y.

Maka 4x √ 2 = 20 sehingga x = 5 2 2

Keliling A = 4x = 10 √ 2 Jadi, keliling A = 10 √ 2 cm

Cont oh 24 : (OSK 2008) Pada t rapesium ABCD, sisi AB sej aj ar sisi DC dan rasio luas segit iga ABC t erhadap luas segit iga

ACD adalah 1 3 . Jika E dan F bert urut -t urut adalah t it ik t engah BC dan DA, maka rasio luas ABEF t erhadap luas EFDC adalah

∆ ABC dan ∆ ACD memiliki t inggi yang sama maka perbandingan luas keduanya dapat dinyat akan sebagai perbandingan alas.

AB : DC = 1 : 3 Misalkan panj ang sisi AB = x maka panj ang sisi DC = 3x.

E adalah pert engahan BC dan F pert engahan DA sehingga FE sej aj ar AB dan DC. Maka FE = 1 2 (x + 3x) = 2x Misalkan t inggi t rapesium = t . Luas ABEF = ( AB + FE ) t

3tx

( FE + Luas EFDC = DC ) t

5tx

Rasio luas ABEF t erhadap luas EFDC = 3 : 5.

Jadi, rasio luas ABEF t erhadap luas EFDC adalah 3 5 .

LAT IHAN 4 :

1. (OSK 2007) Sepot ong kawat dipot ong menj adi 2 bagian, dengan perbandingan panj ang 3 : 2. Masing- masing bagian kemudian dibent uk menj adi sebuah persegi. Perbandingan luas kedua persegi adalah

2. (OSP 2003) Dalam sebuah segit iga ABC siku-siku sama kaki, dibuat persegi PQRS sebagai berikut : Tit ik P pada sisi AB, t it ik Q pada sisi AC, sedangkan t it ik-t it ik R dan S pada sisi miring BC. Jika luas segit iga ABC adalah x, berapakah luas persegi PQRS ?

3. (OSP 2004/ Hongkong PSC 1988) Pada sebuah t rapesium dengan t inggi 4, kedua diagonalnya saling t egak lurus. Jika salah sat u dari diagonal t ersebut panj angnya 5, berapakah luas t rapesium t ersebut ?

4. (OSP 2005) Misalkan ABCD adalah sebuah t rapesium dengan BC ║ AD. Tit ik-t it ik P dan R bert urut -t urut adalah t it ik t engah sisi AB dan CD. Tit ik Q t erlet ak pada sisi BC sehingga BQ : QC = 3 : 1, sedangkan t it ik S t erlet ak pada sisi AD sehingga AS : SD = 1 : 3. Maka rasio luas segiempat PQRS t erhadap luas t rapesium ABCD adalah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅

5. (OSK 2007) Diket ahui empat t it ik pada bidang dengan koordinat A(1, 0), B(2008, 2007), C(2007, 2007), D(0, 0). Luas j aj aran genj ang ABCD sama dengan ⋅⋅⋅⋅⋅⋅

6. Pada suat u j aj aran genj ang, dua diagonalnya membent uk sudut 60 o . Panj ang sisi-sisinya adalah 6 dan

8. Luas j aj aran genj ang t ersebut adalah

7. ABCD adalah t rapesium dengan AB sej aj ar CD. Diagonal AC dan BD berpot ongan di t it ik O. Luas segit iga AOB = 99 2 sedangkan luas segit iga COD = 19 2 . Tent ukan luas t rapesium t ersebut .

8. Tit ik E dan F secara berurut an t erlet ak pada sisi AB dan CD suat u persegi panj ang ABCD sehingga DFBE adalah belah ket upat . Jika AB = 16 dan BC = 12, maka panj ang EF sama dengan ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

ABCD sedangkan N adalah perpot ongan AM dan diagonal BD. Perpanj angan DA dan CN berpot ongan di t it ik P.

a. Bukt ikan bahwa AP = AD

b. Jika AB = AC maka bukt ikan CP = BD

5. SEGI-N BERATURAN

Segi-n berat uran adalah suat u bangun dat ar yang memiliki sisi sebanyak n dan panj ang semua sisinya sama.

Gambar di at as adalah cont oh segi-n berat uran yait u segi-12 berat uran. Misalkan panj ang sisi suat u segi-n berat uran adalah s maka

Kelilin segi-n berat uran = n ⋅ s

Bagaimana caranya menghit ung luas ? Segi-n berat uran dapat dibagi menj adi n buah segit iga sama kaki dengan salah sat u sisi panj angnya s dan dua sisi yang lain sama panj ang. Karena sat u put aran = 360 o maka besarnya sudut pada segit iga di hadapan sisi s besarnya dapat dihit ung

yait u = .

Karena salah sat u sat u sisi diket ahui dan sudut di hadapan sisi t ersebut diket ahui sert a dua sisi yang lain sama panj ang maka luas segit iga t ersebut dapat dihit ung.

Luas segi-n berat uran = n ⋅ Luas segit iga LAT IHAN 5 :

1. (OSK 2004) Pada sebuah segi6 berat uran, rasio panj ang ant ara diagonal t erpendek t erhadap diagonal t erpanj ang adalah

2. (OSP 2005) Sebuah segienam berat uran dan sebuah segit iga sama sisi mempunyai keliling yang sama. Jika luas segit iga adalah

3 , maka luas segienam adalah ⋅⋅⋅⋅

3. Diket ahui bahwa ABCDEF adalah segienam berat uran. Tent ukan perbandingan luas segienam berat uran ABCDEF dengan luas daerah diarsir.

4. ABCDEFGH adalah segidelapan berat uran dengan penyusunan huruf disusun berlawanan arah j arum j am. Diket ahui koordinat A(0, 4), B(4, 0) dan E(p, q). Maka p − q= ⋅⋅⋅⋅

6. LINGKARAN

Lingkaran adalah kumpulan t it ik-t it i k yang memiliki j arak yang sama t erhadap suat u t it ik t ert ent u, yait u pusat lingkaran. Jadi ada dua hal yang sangat berkait an dengan lingkaran yait u j ari-j ari lingkaran, R, dan pusat lingkaran. Unsur-unsur pada lingkaran dapat dilihat pada gambar berikut .

a. Tit ik O disebut sebagai pusat lingkaran

b. OA, OB, OD, OE disebut sebagai j ari-j ari lingkaran

c. Ruas garis lurus AB yang melalui pusat lingkaran di sebut diamet er lingkaran

d. Ruas garis DE disebut t ali busur

e. Garis lengkung DE dan AC disebut busur lingkaran

f. Daerah arsiran yang dibat asi dua j ari-j ari (pada gambar dibat asi OA dan OC sert a berwarna hit am) disebut j uring

g. Daerah yang dibat asi t alibusur DE dan busur DE disebut t embereng

h. Garis OF yang t egak lurus DE disebut apot ema

Misalkan r adalah j ej ari lingkaran dan d adalah diamet er lingkaran dengan d = 2r Luas lingkaran = π r 2

Keliling Lingkaran = 2 π r n

Luas Juring = 2 ⋅ π r

dengan n adalah sudut pusat diukur dalam deraj at .

Panj ang Busur =

360 Luas t embereng DE = Luas Juring ODE − Luas ∆ ODE

Dalam menj elaskan lingkaran dengan olimpiade mat emat i ka di Indonesia, Penulis t idak akan menj elaskan persamaan lingkaran, t et api lebih mengedepankan kepada dalil-dalil yang berhubungan dengan lingkaran.

(a) Mi sal kan gar is l menyi nggung l i ngkar an yang ber pusat di O pada t i t i k A maka OA akan t egak l ur us gar is l .

(b) Mi sal kan t i t ik A t er l et ak di l uar l i ngkar an L maka dar i t i t i k A dapat di buat dua buah gar i s si nggung yang j ar aknya t er hadap t i t i k si nggungnya sama panj ang.

Tit ik A t erlet ak di luar lingkaran. Dari A dibuat dua garis yang menyinggung lingkaran di t it ik P dan Q maka panj ang AP = AQ. Selain it u ∠ PAO = ∠ QAO.

(c) Mi sal kan t i t i k P t er l et ak di l uar l i ngkar an L yang ber pusat di O dan gar i s yang di t ar i k dar i t i t i k P menyi nggung l i ngkar an di t i t i k A dan B. Maka ∠ APO = ∠ BPO.

Berdasarkan kesimet rian akan didapat ∠ APO = ∠ BPO.

(d) Sebuah l i ngkar an ber pusat di A menyinggung di l uar sebuah l ingkar an ber pusat di B pada t i t i k P. Maka A, P dan B ber ada pada sat u gar is l ur us.

Buat garis singgung melalui t it ik P. Maka garis singgung t ersebut akan t egak lurus AP dan PB berakibat AP dan PB akan sej aj ar. Jadi, A, P dan B berada pada sat u garis lurus.

(e) Gar is yang menghubungkan pusat dua l i ngkar an akan memot ong t egak l ur us per t engahant al i busur per sekut uannya.

Misalkan lingkaran yang berpusat di A berpot ongan di t it ik P dan Q dengan lingkaran yang berpusat di B. Maka AB akan berpot ongan t egak lurus dengan PQ di t it ik T yang merupakan pert engahan PQ.

(f ) Besar sudut pusat sama dengan dua kal i sudut kel i l i ng

Misalkan AB adalah t alibusur dan O pusat lingkaran. Maka ∠ AOB disebut sebagai sudut pusat . Misalkan j uga t it ik C t erlet ak pada lingkaran t ersebut , maka ∠ ACB disebut sudut keliling. Hubungan ant ara sudut pusat dan sudut keliling t ersebut adalah

∠ AOB = 2 ∠ ACB

Berlaku j uga bahwa j ika ∠ AOB = 2 ∠ ACB maka dapat dibuat sebuah lingkaran melalui A, B dan C sert a berpusat di O.

(g) Besar sudut kel i l i ng yang menghadap t al i busur yang sama akan sama besar .

Misalkan AB adalah t alibusur dan t it ik C dan D t erlet ak pada lingkaran. Maka

∠ ACB = ∠ ADB

(h) Mi sal kan AB adal ah diamet er suat u l i ngkar an dan C t er l et ak pada l i ngkar an maka ∠ ACB = 90 o

(i) Mi sal kan AB adal ah t al i busur suat u l i ngkar an yang ber pusat di O dan t i t i k P adal ah per t engahan AB maka OP akan t egak l ur us AB

Karena O adalah pusat lingkaran maka OA = OB = j ari-j ari lingkaran. Jadi ∆ AOB adalah segit iga sama kaki. Karena OAB segit iga sama kaki maka garis dari O akan memot ong t egak lurus pert engahan sisi

AB.

(j ) Mi sal kan dua t al ibusur AB dan CD pada sat u l ingkar an sal i ng ber pot ongan di t i t i k X maka ber l aku AX ⋅ XB = CX ⋅ XD. Ber l aku sebal i knya, j i ka dua buah gar is AB dan CD ber pot ongan di t it i k X dan memenuhi AX ⋅ XB = CX ⋅ XD maka keempat t i t i k A, B, C dan D t er l et ak pada sat u l i ngkar an. Perhat ikan gambar.

Dari hubungan garis didapat bahwa ∠ AXD = ∠ CXB Perhat ikan bahwa ruas AC j uga merupakan t alibusur sehingga dari dalil sebelumnya maka ∠ ADC = ∠ ABC.

Dengan cara yang sama akan didapat bahwa ∠ BAD = ∠ BCD. Karena ket iga sudut ∆ ADX dan ∆ BCX sama maka kedua segit iga t ersebut sebangun. Akibat nya

AX = CX

sehingga

XD XB

AX ⋅ XB = CX ⋅ XD

Berlaku kebalikannya.

(k) Pada segi empat t al i busur , j uml ah sudut sehadapan sama dengan 180 o ber l aku j uga bahwa j i ka j uml ah sudut sehadapan sama dengan 180 o maka segi empat t er sebut mer upakan segi empat t al i busur . Perlu dij elaskan bahwa segiempat t alibusur adalah segiempat yang keempat t it ik sudut nya t erlet ak pada sat u lingkaran.

Karena t it ik-t it ik A, B, C dan D semuanya t erlet ak pada sat u lingkaran maka ABCD adalah segiempat t ali busur. Maka berlaku

∠ ABC + ∠ ADC = 180 o ∠ BAD + ∠ BCD = 180 o

Cont oh 25 : Perhat ikan gambar. AB dan CD adalah diamet er lingkaran dengan AB = CD = 8 sert a AB dan CD saling t egak lurus. Busur AC, CB, BD dan DA adalah 4 busur yang kongruen dengan dua busur yang berdekat an saling bersinggungan. Tent ukan luas daerah yang diarsir. (Jawaban boleh dinyat akan dalam π . Perlu dicat at

bahwa π ≠ 22 7 maupun 3, 14. )

Solusi : Alt ernat if 1 : Buat persegi EFGH dengan A, B, C dan D adalah pert engahan sisi-sisinya.

Luas arsir = Luas persegi EFGH − 4 ⋅ Luas 1/ 4 lingkaran

Luas

8 − 4 (¼ π 4 arsir 2 =8 ⋅ ) Luas arsir = 64 − 16 π

Alt ernat if 2 : Misal perpot ongan garis AB dan CD di t it ik O

Luas t embereng AC = Luas 1/ 4 lingkaran − Luas ∆ AOC Luas t embereng AC =¼ ⋅ π ⋅ 4 2 − ½ ⋅ 4 ⋅ 4

Luas t embereng AC =4 π − 8

Luas arsir = Luas lingkaran − 8 ⋅ Luas t embereng Luas arsir = π ⋅ 4 2 − 8 ⋅ (4 π − 8)

Luas arsir = 64 − 16 π

Cont oh 26 : ABC adalah sebuah segit iga dengan panj ang AB = 6. Dibuat sebuah lingkaran dalam yang menyinggung sisi AB di K, sisi AC di L dan sisi BC di M (lihat gambar). Jika diket ahui panj ang LC = 5, t ent ukan keliling segit iga ABC.

Solusi : Perhat ikan bahwa CM = CL, BM = BK dan AL = AK Keliling ∆ ABC = BK + KA + AL + LC + CM + MB Keliling ∆ ABC = BK + KA + KA + LC + LC + BK Keliling ∆ ABC = 2(BK + KA) + 2LC Keliling ∆ ABC = 2AB + 2LC Keliling ∆ ABC = 2 ⋅ 6+2 ⋅ 5 Keliling ∆ ABC = 22

Cont oh 27 : (OSP 2002) Garis t engah sebuah set engah lingkaran berimpit dengan alas AB dari ∆ ABC. Tit ik sudut C bergerak sedemikian rupa, sehingga t it ik t engah sisi AC selalu t erlet ak pada set engah lingkaran. Berupa apakah lengkungan t empat kedudukan t it ik C ?

Solusi :

AB adalah diamet er dan D t erlet ak pada lingkaran. Maka ∠ ADB = 90 o Karena AD = CD dan BD ⊥ AC maka ∆ ABC adalah segit iga sama kaki dengan AB = BC. Karena BC = AB = diamet er lingkaran yang berart i bernilai t et ap dan B adalah t it ik yang t et ap maka lengkung yang t erj adi adalah berupa set engah lingkaran dengan pusat t it ik B. Jadi, lengkung yang t erj adi adalah berupa set engah lingkaran

LAT IHAN 6 :

1. Tent ukan sudut t erkecil yang dibent uk oleh j arum panj ang (menit ) dan j arum pendek (j am) pada pukul 20 : 06.

2. (OSK 2002) Suat u persegi panj ang berukuran 8 kali 2 √ 2 mempunyai t it ik pusat yang sama dengan suat u lingkaran berj ari-j ari 2. Berapakah luas daer ah irisan ant ara persegi panj ang dan lingkaran t ersebut ?

3. (OSP 2004) Sant i dan Tini berlari sepanj ang sebuah lint asan yang berbent uk lingkaran. Keduanya mulai berlari pada saat yang sama dari t it ik P, t et api mengambil arah berlawanan. Sant i berlari 1½ kali lebih cepat daripada Tini. Jika PQ adalah garis t engah lingkaran lint asan dan keduanya berpapasan unt uk pert ama kalinya di t it ik R, berapa deraj at kah besar ∠ RPQ ?

4. (OSP 2006) Pada t rapesium ABCD, sisi AB sej aj ar dengan DC. Sebuah lingkaran yang menyinggung keempat sisi t rapesium dapat dibuat . Jika AB = 75 dan DC = 40, maka keliling t rapesium ABCD = ⋅⋅⋅⋅⋅

5. Garis AD adalah diamet er set engah lingkaran dengan M adalah t it ik t engah diamet er t ersebut . Tit ik B dan t it ik C keduanya t erlet ak pada set engah lingkaran sedemikian sehingga garis AC t egak lurus BM. Jika diket ahui ∠ CAD = 50 o , hit unglah sudut yang dibent uk ant ara garis AC dan BD.

6. (NHAC 1994-1995 Second Round) Sebuah lingkaran menyinggung bagian dalam suat u segienam ABCDEF. Jika diket ahui panj ang sisi-sisi AB = 1, BC = 2, CD = 3, DE = 4 dan EF = 5 maka panj ang sisi FA adalah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

7. (Canadian MO 1971) DEB adalah t ali busur suat u li ngkaran dengan DE = 3 dan EB = 5. Misalkan O adalah pusat lingkaran. Hubungkan OE dan perpanj angan OE memot ong lingkaran di t it ik C. Diket ahui EC = 1. Tent ukan radius lingkaran t ersebut .

8. (OSP 2010) Dua lingkaran (t idak sama besar) bersinggungan di luar. Tit ik A dan A 1 t erlet ak pada lingkaran kecil; sedangkan B dan B 1 pada lingkaran besar. Garis PAB dan PA 1 B 1 merupakan garis singgung persekut uan kedua lingkaran t ersebut . Jika PA = AB = 4, maka luas lingkaran kecil adalah ⋅⋅⋅⋅

9. ABCD adalah persegi dengan panj ang sisi 9. Tit ik P t erlet ak pada sisi AB sehingga AP : PB = 7 : 2. Sebuah seperempat lingkaran dibuat dengan C sebagai t it ik pusat dan CB j ej arinya. Dari t it ik P dibuat sebuah garis yang menyinggung seperempat lingkaran t ersebut dan memot ong sisi AD di t it ik Q. Panj ang QD adalah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅

10. Jika ∠ ACB = ∠ ADB maka bukt ikan bahwa dapat dibuat sebuah lingkaran yang melalui A, B, C dan D.

11. LM adalah t ali busur suat u lingkaran dengan K adal ah pert engahan LM. Dari t it ik K dibuat garis yang memot ong lingkaran di t it ik D dan J. Dengan DJ sebagai diamet er dibuat set engah lingkaran. Sebuah garis melalui t it ik K dan t egak lurus DJ memot ong set engah lingkaran di t it ik S. Bukt ikan bahwa panj ang KS = KL.

12. (Canadian MO 1975) Tit ik-t i t ik A, B, C dan D bert urut -t urut t erl et ak pada sat u buah lingkaran pada arah put aran yang sama. Tit ik-t it ik P, Q, R dan S bert urut -t urut pert engahan busur-busur AB, BC, CD dan DA. Bukt ikan bahwa PR t egak lurus QS.

13. Tit ik P t erlet ak di luar sebuah lingkaran. Dari t it ik P dit arik sebuah garis memot ong lingkaran di t it ik

A dan B dengan PA < PB. Dari t it ik P j uga dit arik sebuah garis lain yang memot ong lingkaran di t it ik C dan D dengan PC < PD. Sat u buah garis lagi dit arik dari t it ik P menyinggung lingkaran di t it ik T. Bukt ikan bahwa

PA ⋅ PB = PC ⋅ PD = PT 2