Ada berapa cara benda t ersebut bergerak dari t it ik A hingga mencapai t it ik B namun harus melalui ruas PQ dengan Q(4, 3) ?
c. Ada berapa cara benda t ersebut bergerak dari t it ik A hingga mencapai t it ik B namun harus melalui ruas PQ dengan Q(4, 3) ?
30. Sebuah komit e mengadakan 40 pert emuan dengan 10 orang anggot a komit e hadir pada masing- masing pert emuan. Set iap dua orang anggot a komit e menghadiri pert emuan secara bersamaan paling banyak sat u kali. Tunj ukkan banyaknya anggot a komit e t ersebut lebih dari 60.
31. (OSP 2003) Berapakah banyaknya cara memilih t iga bilangan berbeda sehingga t idak ada dua bilangan yang berurut an, j ika bilangan-bil angan t ersebut dipilih dari himpunan {1, 2, 3, ⋅⋅⋅ , 9, 10 } ?
32. Ada berapa banyaknya himpunan bagian dari kat a MATEMATIKA ?
33. Ahmadi berhasil menemukan semua himpunan bagian dari kat a “ BELAJARLAH” . Ada berapa banyak himpunan bagian yang j umlah anggot anya paling banyak 5 ?
34. (OSP 2009) Misalkan N menyat akan himpunan semua bilangan bulat posit if dan
n 2009 + 2 ⎫
Banyaknya himpunan bagian dari S adalah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
Sebagaimana t elah dij elaskan sebelumnya bahwa sebuah persoalan t erkadang bisa diselesaikan dengan hanya menggunakan salah sat u cara dari at uran pengisian t empat , permut asi at au kombinasi saj a. Tet api kadang-kadang sebuah persoalan hanya dapat diselesaikan dengan menggunakan gabungan dari beberapa cara t ersebut . Berikut beberapa cont oh persoalan.
Cont oh 34 : Ada berapa banyak cara memilih 2 orang wanit a dari 5 orang wanit a dan 2 orang laki-laki dari 6 orang laki-laki sebagai ket ua, wakil ket ua dan 2 orang kepala seksi dari suat u organisasi dengan syarat bahwa ket ua dan wakil ket ua harus laki-laki dan 2 orang kepala seksi harus wanit a ?
Solusi :
2 orang laki-laki dipilih dari 6 orang laki-laki sebagai ket ua dan wakil ket ua yang berart i urut an
diperhat ikan. Maka banyaknya cara memilih ada 6 P 2 = 30 cara.
2 orang wanit a dipilih dari 5 orang wanit a sebagai kepala seksi yang berart i urut an t idak diperhat ikan.
Maka banyaknya cara memilih ada 5 C 2 = 10 cara.
Jadi, banyaknya cara memilih ada 30 x 10 = 300 cara.
Cont oh 35 : Dari lima orang siswa suat u sekolah, akan diambil t iga orang sebagai t im cerdas cermat dengan salah sat u sebagai j uru bicara dan dua lainnya sebagai pendamping. Ada berapa cara memilihnya ?
Solusi : Jika kit a menj awab bahwa banyaknya cara dari persoalan di at as adalah 5 P 3 = 60 cara, maka ada kesalahan yang kit a buat . Benar j ika dikat akan bahwa t erdapat urut an karena ada yang berperan sebagai j uru bicara dan ada yang berperan sebagai pendamping t et api dua orang yang berperan sebagai pendamping t idak diperhat ikan urut annya. Sebagai ilust rasi adalah j ika A sebagai j uru bicara,
B dan C sebagai pendamping maka hal t ersebut sama dengan A sebagai j uru bicara, C dan B sebagai pendamping yang berart i urut an pada pemilihan pendamping t idak diperhat ikan. Jika kit a menj awab bahwa banyaknya cara dari persoalan di at as adalah 5 C 3 = 10 cara, maka kesalahan yang dibuat adalah bahwa pada pemilihan j uru bicara dan pendamping ada urut an yang diperhat ikan. Sebagai ilust rasi j ika A sebagai j uru bicara, B dan C sebagai pendamping berbeda dengan B sebagai j uru bicara, A dan C sebagai pendamping. Berikut adalah beberapa alt ernat if penyelesaian soal t ersebut dengan beberapa sudut pandang yang berbeda.
Alt ernat if 1 : Dari 5 orang siswa kit a pilih salah sat u sat u siswa yang akan berperan sebagai j uru bicara. Karena hanya ada sat u yang dipilih maka dapat dipandang sebagai permut asi maupun kombinasi. Banyaknya
cara adalah 5 C 1 at au 5 P 1 = 5 cara.
Sisanya adalah memilih dua siswa dari 4 siswa yang akan berperan sebagai pendamping. Karena
urut an t idak diperhat ikan maka banyaknya cara adalah 4 C 2 = 6 cara.
Dengan kaidah perkalian banyaknya cara memilih adalah 5 x 6 = 30 cara.
Alt ernat if 2 : Yang dipilih t erlebih dahulu adalah 2 orang siswa dari 5 siswa yang berperan sebagai pendamping.
Karena urut an t idak diperhat ikan maka banyaknya cara adalah 5 C 2 = 10 cara. Selanj ut nya adalah memilih 1 siswa dari 3 siswa yang berperan sebagai j uru bicara. Banyaknya cara ada 3 cara. Dengan kaidah perkalian banyaknya cara memilih adalah 10 x 3 = 30 cara.
Terlebih dahulu dipilih 3 siswa dari 5 siswa t ersebut t anpa memperhat ikan urut an. Banyaknya cara adalah 5 C 3 = 10 cara. Dari 3 orang t ersebut akan disusun. Pada susunan t ersebut akan t erdapat dua obyek yang sama. Hal ini sama saj a dengan menyusun huruf A, A, B sebagaimana t elah dij elaskan pada persoalan
sebelumnya. Banyaknya cara menyusuan 3 obyek dengan t erdapat 2 obyek yang sama = 3 2 ! ! = 3 cara. Dengan kaidah perkalian banyaknya cara memilih adalah 10 x 3 = 30 cara.
Cont oh 36 : Dari 4 orang akan dipilih 3 orang yang akan duduk pada 3 kursi yang membent uk lingkaran. Ada berapa banyak susunan yang dapat dibuat ?
Solusi : Langkah pert ama adalah memilih 3 orang dari 4 orang, banyaknya cara adalah 4 C 3 = 4 cara. Banyaknya cara menyusun 3 orang yang duduk pada 3 kursi yang membent uk lingkaran adalah (3 − 1)! = 2 cara. Dengan kaidah perkalian banyaknya cara menyusun 3 orang dari 4 orang yang akan duduk pada 3 kursi yang membent uk lingkaran adalah 4 x 2 = 8 cara. Dapat kah ada menyebut kan semua kemungkinan t ersebut j ika keempat orang t ersebut adalah A, B, C dan D.
Cont oh 37 : Sebuah bangun segienam berat uran dibagi menj adi 6 buah segit iga sama sisi. Keenam segit iga t ersebut akan diberi warna yang berbeda. Jika t erdapat 2007 bangun segienam berat uran sert a diinginkan t idak ada corak yang sama di ant ara dua buah bangun segienam, maka ada berapa minimal warna yang diperlukan ?
Solusi : Sebuah bangun segienam berat uran j ika dibagi menj adi 6 buah segit iga sama sisi, maka keenam segit iga t ersebut akan membent uk lingkaran. Enam buah warna j ika digunakan unt uk mewarnai sat u buah segienam berat uran maka banyaknya corak yang dapat dibent uk adalah (6 − 1)! = 120.
Misalkan ada n buah warna. Dari n warna ini akan dipilih 6 buah warna. Banyaknya cara n C 6 . Maka j ika ada n buah warna maka banyaknya corak yang dapat dibent uk = n C 6 ⋅ (6 − 1)! ≥ 2007 n ( n − 1 )( n − 2 )( n − 3 )( n − 4 )( n − 5 )
6 ≥ 2007 n(n − 1)(n − 2)(n − 3)(n − 4)(n − 5) ≥ 12042 Jika n = 7 maka n(n − 1)(n − 2)(n − 3)(n − 4)(n −
Jika n = 8 maka n(n − 1)(n − 2)(n − 3)(n − 4)(n −
Maka banyaknya warna minimal yang diperlukan = 8 warna.
Cont oh 38 : Tent ukan banyaknya susunan 3 huruf yang t erdapat pada kat a COMBINATION ?
Solusi : Terdapat 8 huruf berbeda dari combinat ion yait u C, O, M, B, I, N, A, T. Ada t erdapat 2 buah huruf O yang sama, 2 buah hur uf I yang sama dan 2 buah huruf N yang sama. Susunan 3 huruf t ersebut dapat berupa ket iga-t iganya berbeda huruf at au dari t iga huruf t ersebut t erdapat 2 huruf yang sama dan 1 huruf berbeda t et api t idak mungkin ket iganya huruf nya sama. • Jika ket iga huruf nya berbeda.
Banyaknya susunan adalah sama dengan memili h 3 huruf dari 8 huruf berbeda yang ada.
Banyaknya susunan = 8 P 3 = 336
• Jika t erdapat 2 huruf yang sama.
t erakhir dapat dipilih dari 7 kemungkinan huruf t ersisa. Susunan 3 huruf dengan 2 huruf yang sama t ersebut merupakan permut asi dengan ada unsur yang sama.
2 ! x 3 x 7 = 63 Maka banyaknya susunan 3 huruf yang t erdapat pada COMBINATION = 336 + 63 = 399.
3 Banyaknya susunan 3 huruf dengan 2 huruf yang sama pada soal = !
LAT IHAN 1. D
1. Kelompok A t erdiri dari 3 orang, kelompok B t erdiri dari 5 orang dan kelompok C t erdiri dari 10 orang. Dari anggot a kelompok A dan B masing-masing akan dipilih 1 orang sedangkan dari kelompok C akan dipilih 2 orang. Keempat orang t ersebut akan dipilih kembali unt uk menj abat sebagai Ket ua, Wakil Ket ua dan 2 orang Sekret aris. Ada berapa banyak cara memilih dari 18 orang t ersebut ?
2. (OSN 2003) Balairung sebuah ist ana berbent uk segi-6 berat uran dengan panj ang sisi 6 met er. Lant ai balairung t ersebut dit ut upi dengan ubin-ubin keramik berbent uk segit iga samasisi dengan panj ang sisi 50 cm. Set iap ubin keramik dibagi ke dalam 3 daerah segit iga yang kongruen, lihat gambar. Set iap daerah segit iga diberi sat u warna t ert ent u sehingga set iap ubin memiliki t iga warna berbeda. Raj a menginginkan agar t idak ada dua ubin yang memiliki pola warna sama. Paling sedikit berapa warna yang diperlukan ?
3. Ada berapa banyak susunan 5 huruf dengan t epat 1 huruf R dan 1 huruf I j ika huruf -huruf t ersebut diambil dari kat a “ BERANI” ?
4. Lima huruf yang t idak harus berbeda diambil dari kat a SOEHARTO lalu disusun. Ada berapa banyak susunan kelima huruf t ersebut ?
5. Hansen mencoba menyusun 4 huruf yang huruf -huruf nya diambil dari kat a TERCECER. Ada berapa susunan yang didapat ?
6. Denny mencoba menyusun 4 huruf yang huruf -huruf nya diambil dari kat a MATEMATIKA. Ada berapa susunan yang didapat ?
E. Kombinasi dengan Pengulangan
Misalkan ada n obyek ident ik yang akan dilet akkan pada r t empat dengan r ≤ n. Jika disyarat kan bahwa sat u t empat hanya bisa menampung paling banyak 1 obyek maka banyaknya cara adalah n C r yang t elah kit a bahas sebelumnya. Jika disyarat kan bahwa seluruh obyek akan dibagikan dengan masing-masing t empat dapat t idak dit empat i maupun dit empat i sat u at au lebih obyek. Pert anyaannya adalah ada berapa banyak cara menyusunnya ? Karena ident ik maka urut an dalam persoalan ini t idak diperhat ikan. Taruh n obyek t ersebut dalam sat u baris. Tambakan r − 1 bat as di ant ara bola-bola t ersebut sehingga kini seolah-olah ada n + r − 1 ’ t empat ’ . Akibat penambahan r − 1 bat as t ersebut maka n bola t ersebut akan t erbagi dalam r bagian, yait u di sebelah kiri bat as ke-1, di ant ara bat as ke-1 dan ke-2 sampai dengan di sebelah kanan bat as ke-(r − 1). Masing-masing bagian t ersebut melambangkan banyaknya bola pada masing-masing t empat . Sehingga persoalannya sekarang adalah memilij (r −
1) t empat dari n + r − 1 t empat yang t ersedia. Banyaknya cara adalah
⎝ r − 1 ⎟⎟ ⎜⎜
Cont oh 39 :
4 buah bola akan dibagian seluruhnya ke dalam 3 buah kant ong. Ada berapa banyak cara menyusunnya ?
Solusi : Sebagaimana penj elasan sebelumnya, banyaknya cara = 4+3-1 C 4 = 6 C 4 = 15 cara. Yang kalau dij abarkan susunannya adalah (4, 0, 0), (3, 1, 0), (3, 0, 1), (2, 2, 0), (2, 0, 2), (2, 1, 1), (1, 3, 0), (1, 2, 1), (1, 1, 2), (1, 0, 3), (0, 4, 0), (0, 3, 1), (0, 2, 2), (0, 1, 3) dan (0, 0, 4) dengan (a, b, c) menyat akan kant ong pert ama berisi a bola, kant ong ke-2 berisi b bola dan kant ong ke-3 berisi c bola.
Kombinasi dengan pengulangan j uga dapat menyelesaikan persoalan mengenai perhit ungan banyaknya penyelesaian persamaan linier. Misalkan saj a t erdapat persamaan x 1 +x 2 + ⋅⋅⋅ +x r = n. Jika x i merupakan bilangan bulat t ak negat if , maka ada berapa banyak penyelesaian yang memenuhi. Persoalan ini sama saj a dengan membagi n obyek ident ik ke dalam r buah t empat . Banyaknya
penyelesaian adalah n+r-1 C n .
Cont oh 40 : Tent ukan banyaknya t upel bilangan bulat t ak negat if (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) yang memenuhi persamaan linier x 1 +x 2 +x 3 +x 4 =3?
Solusi : Dari penj elasan sebelumnya akan didapat banyaknya t upel bilangan bulat t ak negat if yang memenuhi
adalah 3+4-1 C 3 = 6 C 3 = 20. Tupel (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) yang memenuhi adalah (0, 0, 0, 3), (0, 0, 1, 2), (0, 0, 2, 1), (0, 0, 3, 0), (0, 1, 0, 2), (0, 1, 1, 1), (0, 1, 2, 0), (0, 2, 0, 1), (0, 2, 1, 0), (0, 3, 0, 0), (1, 0, 0, 2), (1, 0, 1, 1), (1, 0, 2, 0), (1, 1, 0, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 2, 0, 0), (2, 0, 0, 1), (2, 0, 1, 0), (2, 1, 0, 0) dan (3, 0, 0, 0).
Misalkan t erdapat n obyek berbeda yang akan dilet akkan pada r t empat . Jika diperbolehkan ada pengulangan obyek yang akan dit empat kan sert a urut an diperhat ikan, maka banyaknya cara = n r . Persoalan ini sudah dibahas sebelumnya. Sebagai cont oh adalah menent ukan banyaknya bilangan 3 angka dengan angka-angkanya diambil dari 1, 2, 3, 4 dengan bolehnya ada angka yang berulang.
Banyaknya bilangan ada 4 3 = 64, yait u 111, 112, 113, 114, 121, 122, ⋅⋅⋅ , 444. Bilangan 112, 121 dan 211 diangap berbeda. Bagaimana persoalannya j ika 112, 121, 211 dianggap sama karena urut annya t idak diperhat ikan ? Pandang n obyek t ersebut sebagai ’ t empat ’ . Persoalannya adalah sepert i menempat kan r ’ obyek’
ident ik pada n ’ t empat ’ . Banyaknya cara adalah r+n-1 C r.
Cont oh 41 : Dua angka dipilih dari himpunan {1, 2, 3, 4} dengan pengulangan diperbolehkan. Ada berapa cara memilih dua angka t ersebut ? Solusi : Pandang 4 buah kant ong. Dua bola akan dit empat kan pada kant ong-kant ong t ersebut . Jika bola t ersebut dit empat kan pada kant ong 1 dan 4 maka berart i angka-angka yang dipilih adalah (1, 4). Jika kedua bola t ersebut dit empat kan pada kant ong 3 maka berart i angka yang dipilih adalah (3, 3).
Banyaknya cara memilih = 2+4-1 C 2 = 5 C 2 = 10.
Pasangan angka-angka t ersebut (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4) dan (4, 4).
1. (OSP 2004) Berapakah banyaknya barisan bilangan bulat t ak negat if (x, y, z) yang memenuhi persamaan x + y + z = 99 ?
2. Sebuah t oko memiliki 10 buah balon merah, 9 buah balon kuning dan 11 buah balon hij au. Seorang pembeli ingin membeli 8 buah balon. Ada berapa banyak cara pembeli t ersebut membeli balon ?
3. Tent ukan banyaknya t upel bilangan asli (a, b, c, d) yang memenuhi a + b + c + d = 17.
4. Tent ukan banyaknya t ripel bilangan bulat (x, y, z) yang memenuhi persamaan x + y + z = 18 dengan syarat x ≥
4 dan z ≥ 5.
5. (OSP 2009) Tiga dadu berwarna hit am, merah, dan put ih dilempar bersama-sama. Macam hasil lemparan sehingga j umlah ket iga mat a dadu adalah 8 sebanyak ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
6. Tent ukan banyaknya t ripel bilangan bulat (x, y, z) yang memenuhi persamaan x + y + z = 9 dengan syarat 0 ≤ x ≤
5 dan 0 ≤ z ≤ 3.
F. Penj abaran Binom Newton dengan Notasi Kombinasi
Pada saat SMP, siswa t elah diaj arkan menj abarkan bent uk (a + b) n yang unt uk nilai n = 2 dapat dilakukan dengan perkalian langsung sedangkan unt uk n yang besar dapat dilakukan dengan menggunakan segit iga pascal unt uk mendapat kan koef isien-koef isien penj abaran.
Bilangan yang di bawah merupakan penj umlahan dua bilangan di at asnya. Dari segit iga pascal t ersebut akan didapat
(a − 2b) 5 = (1)(a) 5 ( − 2b) o + (5)(a) 4 ( − 2b) 1 + (10)(a) 3 ( − 2b) 2 + (10)(a) 2 ( − 2b) 3 + (5)(a) 1 ( − 2b) 4 + (1)(a) 0 ( − 2b) 5
(a − 2b) 5 =a 5 − 10a 4 b + 40a 3 b 2 − 80a 2 b 3 + 80ab 4 − 32b 5
Cara lain adalah dengan menggunakan rumus kombinasi. Jika (a + b) n kit a j abarkan akan didapat rumus sebagai berikut :
n C 1 (a) (b) + n C 2 (a) (b) + ⋅⋅⋅ + n C n-1 (a) (b) + n C n (a) (b) …………. . (1. E. 1)
at au dapat j uga dit ulis
(a + b) n = n C o (a) 0 (b) n + n C 1 (a) 1 (b) n-1 + n C 2 (a) 2 (b) n-2 + ⋅⋅⋅ + n C n-1 (a) n-1 (b) 1 + n C n (a) n (b) 0 …………. (1. E. 2)
Cont oh 42 :
Jabarkan (2m + n) 5 .
Solusi :
5 5 0 4 1 3 2 2 3 1 4 0 (2m + n) 5 =
5 C o (2m) (n) + 5 C 1 (2m) (n) + 5 C 2 (2m) (n) + 5 C 3 (2m) (n) + 5 C 4 (2m) (n) + 5 C 5 (2m) (n) (2m + n) 5 = (1)(32m 5 )(1) + (5)(16m 4 )(n) + (10)(8m 3 )(n 2 ) + (10)(4m 2 )(n 3 ) + (5)(2m)(n 4 ) + (1)(1)(n 5 )
(2m + n) 5 = 32m 5 + 80m 4 n + 80m 3 n 2 + 40m 2 n 3 + 10mn 4 +n 5
Cont oh 43 : Jabarkan bent uk (2x − 3y) 3
Solusi : (2x − 3y) 3 =
3 C o (2x) ( − 3y) 0 +
3 C 1 (2x) ( − 3y) 1 + 3 C (2x) 1 (
2 − 3y) + 3 C 3 (2x) 0 ( − 3y) 3
(2x − 3y) = (1)(8x 3 )(1) + (3)(4x 2 )( − 3y) + (3)(2x)(9y 2 ) + (1)(1)( − 27y 3 ) (2x − 3y) 3 = 8x 3 − 36x 2 y + 54xy 2 − 27y 3
Persoalan t imbul adalah bila variabel yang akan dij abarkan t idak t erdiri dari hanya 2 variabel. Sebenarnya hal ini t idak t erlalu sulit sebab dengan menggunakan pemisalan maka dari beberapa variabel dapat diubah menj adi 2 variabel saj a. Misalkan penj abaran (x + y + z) n dapat diubah menj adi (A + B) n dengan pemisalan A = x dan B = y + z.
Cont oh 44 :
Jabarkan bent uk (a + b + c) 3 .
Solusi : Karena persoalannya t erdiri dari 3 variabel maka dapat kit a pecah seolah-olah menj adi 2 variabel yait u a dan b + c.
(a + b + c) 3 = C (a) 3 (b + c) 0 + C (a) 2 (b + c) 1 3 2 o 3 1 + 3 C 2 (a) 1 (b + c) + 3 C 3 (a) 0 (a + b) 3
Dengan menggunakan penj abaran binom sebelumnya dapat diket ahui bahwa :
(b + c) 2 =b 2 + 2bc + c 2 (b + c) 3 =b 3 + 3b 2 c + 3bc 2 +c 3
Sehingga didapat :
3 3 2 2 2 (a + b + c) 3 =a + 3a ( b + c) + 3a(b + 2bc + c ) + (b + c)
(a + b + c) 3 =a 3 + 3a 2 b + 3a 2 c + 3ab 2 + 6abc + 3ac 2 +b 3 + 3b 2 c + 3bc 2 +c 3 (a + b + c) 3 =a 3 +b 3 +c 3 + 3a 2 b + 3a 2 c + 3ab 2 + 3ac 2 + 3b 2 c + 3bc 2 + 6abc
Persoalan berikut nya adalah bagaimana caranya dapat diket ahui koef isien dari suat u variabel t ert ent u t anpa harus menj abarkan semua suku-sukunya.
Cont oh 45 :
Tent ukan koef isien x 6 y 5 dari penj abaran (2x − 5y) 11 .
Solusi : Karena yang dimint a hanya koef isien x 6 y 5 maka kit a hanya berkonsent rasi pada penj abaran bent uk
6 (2x) 5 (5y) saj a.
(2x − 5y) 11 = ⋅⋅⋅ + 11 C 5 (2x) 6 ( − 5y) 5 + ⋅⋅⋅ (2x − 5y) 11 = ⋅⋅⋅ + (462)(64x 6 )( − 3125y 5 )+ ⋅⋅⋅ (2x − 5y) 11 = ⋅⋅⋅ − 92400000 x 6 y 5 + ⋅⋅⋅ Maka koef isien x 6 y 5 dari penj abaran (2x − 5y) 11 adalah − 92400000.
Cont oh 46 : pada penj abaran
1 Apakah koef isen x 10 6
Solusi :
Jika 10 ( x 1 − x ) dij abarkan akan didapat :
( x − x ) = L + 10 C r () x () − x + L
1 10 10 − r
⎛− x ⎟ = L + 10 C r ()() − 1 x + L .
10 −r ⎜ 2
⎝ x ⎠ Karena yang dit anyakan adalah koef isien x 6 maka harus dipenuhi 10 − 2r = 6 sehingga r = 2. Unt uk r = 2 didapat :
⎛− ⎜ x ⎟ = L + 10 C 2 ()() − 1 x + L = L + 45 x + L
( x − x ) adalah 45.
6 1 Maka koef isen x 10 pada penj abaran
Selain digunakan dalam penj abaran suku-suku dari suat u binom, met ode yang digunakan dalam segit iga pascal j uga dapat dit erapkan pada suat u persoalan menarik.
Cont oh 47 : Tent ukan banyaknya cara menyusun kat a SUKA dari at as ke bawah pada susunan berikut j ka huruf - huruf yang diambil harus berdekat an.
Solusi : Jika dit uliskan sebagaimana met ode pascal didapat
Angka-angka di at as menyat akan banyaknya cara unt uk sampai pada angka t ersebut . Dari angka-angka t ersebut didapat banyaknya cara unt uk menyusun kat a SUKA = 1 + 3 + 3 + 1 = 8.
K K K AAAA
Jadi, banyakya cara menyusun kat a SUKA adalah 8.
Cont oh 48 : Ada berapa banyak cara menyusun kat a MATHEMATICS dimulai dari at as ke bawah j ika huruf -huruf yang diambil harus berdekat an.
Solusi : Kit a ubah huruf -huruf t ersebut dengan angka-angka sebagai berikut .
Maka banyaknya cara menyusun kat a MATHEMATICS adalah 252.
LAT IHAN 1. F
1. Bukt ikan bahwa n C r = n-1 C r-1 + n-1 C r .
2. Jabarkan bent uk (3x − y) 6 .
3. Nur Faj ri berhasil menj abarkan bent uk (2x + 3y) 10 . Apakah koef isien x 6 y 4 yang didapat nya ?
( x − x 3 ) adalah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
5 2 4. 8 (OSP 2010) Suku konst an dari
5. Tent ukan koef isien ab 2 c pada penj abaran (a + 3b − c) 4 .
6. Tent ukan koef isien x 3 y 2 z 4 pada penj abaran (x + y − 2z) 9 .
7. Berapakah perbandingan koef isien suku x 5 dengan koef isien suku x 6 pada penj abaran (2x + 3) 20 ?
8. Jika (3x − 1) 7 dij abarkan dalam suku-sukunya maka akan berbent uk a 7 7 x +a
6 x 6 +a 5 x + ⋅⋅⋅ +a 1 x+
a o . Berapakah nilai a 1 +a 2 +a 3 +a 4 +a 5 +a 6 +a 7 ?
9. n Tent ukan nilai n dalam penj abaran (1 + x) dengan n > 1, j ika diket ahui
a. koef isien suku x 2 sama dengan koef isien suku x 3 .
b. koef isien suku x 3 sama dengan lima kali koef isien suku x 5 .
10. Berapakah penj umlahan semua koef isien suku-suku pada penj abaran :
a. (x + y) 6
b. (a − 2b) 8
11. Tent ukan nilai dari n C 0 + n C 1 + n C 2 + ⋅⋅⋅ + n C n .
12. (OSK 2009) Nilai eksak dari ⎜⎜
adalah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
13. (OSP 2010) Nilai
j = 0 ⎜ ⎝ ⎝ j ⎟⎟ ⎜⎜
⎟⎟ ⎟ ⎝ i ⎠ ⎠ ⎠
14. Tent ukan banyaknya cara menyusun kat a OLIMPIADE j ika dimulai dari kiri at as ke kanan bawah
c. O L I M P I LIMP
a. O L I M
b. O L I M P
LIMPIA IMPI
LIMPI
IMPIA
IMPIAD M P IA M P IA D M P IA D E
P IA D P IA D E IA D E
15. (AIME 1983) Tent ukan sisanya j ika 6 83 +8 83 dibagi 49.
16. (AIME 1986) Suku banyak 1 − x+x 2 − x 3 + ⋅⋅⋅ − 15 x +x 16 − x 17 dapat dit ulis sebagai suku banyak
dalam variabel y dengan y = x + 1. Koef isien dari y 2 adalah ⋅⋅⋅⋅⋅
17. (AIME 2001) Tent ukan penj umlahan semua akar-akar persamaan polinomial x 2001 +( 1
2 − x) 2001 =0 .
2. KEJADIAN DAN PELUANG SUATU KEJADIAN, PENGAMBILAN CONTOH DENGAN DAN TANPA PENGEMBALIAN
A. Percobaan
Misalkan kit a melempar sekeping uang logam, maka kegiat an ini disebut dengan percobaan. Hasil percobaan yang didapat biasanya adalah munculnya si si gambar, G, at au munculnya sisi t ulisan, T. Sedangkan j ika kit a melempar sebuah dadu, maka hasil percobaan yang didapat adalah mat a dadu 1,
2, 3, 4, 5 at au 6.
B. Ruang Contoh atau Ruang Sampel
Ruang cont oh at au ruang sampel adalah himpunan dari semua hasil percobaan yang mungkin. Ruang cont oh at au ruang sampel biasanya dilambangkan dengan S yang dalam t eori himpunan disebut dengan himpunan semest a. Pada percobaan melempar uang logam, ruang sampelnya adalah {G, T} sedangkan pada percobaan melempar sat u buah dadu, ruang sampelnya adalah {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Jika {G, T} adalah ruang sampel, maka anggot a-anggot a dari ruang sampel t ersebut disebut t it ik cont oh. Tit ik cont oh dari {G, T} adalah G dan T. Pada percobaan melempar sat u buah dadu, t it ik sample yang didapat ada 6 yait u 1, 2, 3, 4, 5, 6 sedangkan j ika melempar dua buah dadu akan didapat
36 buah t it ik cont oh, yait u (1, 1), (1, 2), (1, 3), ⋅⋅⋅ , (6, 6).
C. Kej adian
Kej adian at au perist iwa (event ) adalah himpunan bagian dari ruang cont oh yang dapat berupa kej adian sederhana maupun kej adian maj emuk. Kej adian sederhana adalah suat u kej adian yang hanya mempunyai sebuah t it ik cont oh. Jika suat u kej adian memiliki lebih dari sat u t it ik cont oh disebut dengan kej adian maj emuk. Kej adian munculnya mat a dadu sat u {1} pada percobaan melempar sebuah dadu adalah cont oh kej adian sederhana. Cont oh dari kej adian maj emuk adalah munculnya mat a dadu genap pada percobaan melempar sebuah dadu.
D. Peluang Suatu Kej adian
1) Menghit ung peluang dengan pendekat an f rekuensi Dari suat u percobaan yang dilakukan sebanyak n kali, t ernyat a kej adian A munculnya sebanyak k kali, maka f rekuensi nisbi munculnya kej adian A sama dengan
F ( A ) = ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (2. D. 1)
Kalau n semakin besar dan menuj u t ak t erhingga maka nilai F(A) akan cenderung konst an mendekat i suat u nilai t ert ent u yang disebut dengan peluang munculnya kej adian A.
2) Menghit ung peluang dengan pendekat an def inisi peluang klasik Jika kit a melempar sekeping mat a uang logam secara berulang-ulang, f rekuensi nisbi muculnya sisi gambar maupun sisi t ulisan masing-masing akan mendekat i ½ sehingga dapat dikat akan bahwa sisi gambar dan sisi t ulisan mempunyai kesempat an yang sama. Misalkan dalam suat u percobaan menyebabkan dapat munculnya salah sat u dari n hasil yang mempunyai kesempat an yang sama. Dari hasil n t adi, kej adian A muncul sebanyak k kali maka peluang munculnya kej adian A sama dengan
P ( A ) = ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (2. D. 2. 1)
Selain it u, pengert ian peluang dapat j uga dij elaskan sebagai berikut . Misalkan S adalah ruang cont oh dari suat u percobaan dengan t iap angot anya S memiliki kesempat an muncul yang sama. Jika A adalah suat u kej adian dengan A merupakan himpunan bagian dari S, maka peluang kej adian A sama dengan :
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (2. D. 2. 2)
n(A) menyat akan banyaknya anggot a dalam humpunan A n(S) menyat akan banyaknya anggot a dalam humpunan ruang cont oh S.
Dari pendekat an it u semua, j ika peluang suat u kej adian bernilai 0 maka art inya kej adian t ersebut t idak mungkin t erj adi sedangkan j ika peluang suat u kej adian bernilai 1 art inya kej adian t ersebut past i
t erj adi. Peluang suat u kej adian akan berkisar 0 ≤ p(A) ≤ 1.
Berikut adalah beberapa cont oh persoalan menghit ung peluang suat u kej adian :
Berapa peluang kej adian munculnya angka ganj il pada percobaan melempar sebuah dadu ?
Solusi : Pada percobaan melempar sebuah dadu bersisi enam ada 6 hasil yang mungki n muncul dan t iap hasil mempunyai kesempat an yang sama, maka n = 6. Kej adian munculnya angka ganj il ada 3 yait u 1, 3 dan 5. Maka k = 3.
Jadi, peluang kej adian = P (A ) = k n = 3 6 = 0, 5.
Cont oh 50 : Sebuah kot ak berisi 4 bola merah dan 5 bola put ih. Dari kot ak diambil sebuah bola secara acak. Berapakah peluang bola yang t erambil adalah :
a. berwarna merah
b. berwarna put ih
Solusi : Jumlah seluruh bola ada 9.
a.
4 Banyaknya bola merah ada 4 maka peluang yang t erambil bola merah adalah
b.
5 Banyaknya bola put ih ada 5 maka peluang yang t erambil bola put ih adalah
Cont oh 51 : Sebuah kot ak berisi 3 kelereng merah, 4 kelereng hij au dan 5 kelereng biru. Jika dari dalam kot ak diambil 3 buah kelereng, maka berapa peluang :
a. semua kelereng yang t erambil berwarna merah
b. semuanya biru
c. 2 buah berwarna merah dan 1 berwarna hij au
d. 1 berwarna merah, 1 hij au dan 1 biru
Solusi : Jumlah seluruh kelereng ada 12.
Banyaknya cara memilih 3 dari 12 kelereng adalah 12 C 3 = 220.
a. Banyaknya cara memilih 3 kelereng merah dari 3 kelereng merah adalah 3 C 3 =1
Peluang 3 kelereng yang t erambil semuanya merah = 1 220
b. Banyaknya cara memilih 3 kelereng biru dari 5 kelereng biru adalah 5 C 3 = 10 Peluang 3 kelereng yang t erambil semuanya biru = 10 = 220 1 22
c. Banyaknya cara memilih 2 kelereng merah dari 3 kelereng merah adalah 3 C 2 =3 Banyaknya cara memilih 1 kelereng hij au dari 4 kelereng hij au adalah 4 C 1 =4 Maka sesuai kaidah perkalian, banyaknya cara memilih 2 buah berwarna merah dan 1 berwarna hij au = 3 x 4 = 12
Peluang 3 kelereng yang t erambil 2 buah berwarna merah dan 1 berwarna hij au = 12 220
d. Banyaknya cara memilih 1 kelereng merah dari 3 kelereng merah adalah 3 C 1 =3 Banyaknya cara memilih 1 kelereng hij au dari 4 kelereng hij au adalah 4 C 1 =4 Banyaknya cara memilih 1 kelereng biru dari 5 kelereng biru adalah 5 C 1 =5 Maka banyaknya cara memilih 1 buah kelereng merah, 1 hij au dan 1 biru = 3 x 4 x 5 = 60 Peluang 3 kelereng yang t erambil 1 berwarna merah, 1 hij au dan 1 biru = 60
Cont oh 52 : Dua buah dua dilempar secara bersamaan. Berapakah peluang munculnya j umlah mat a dadu sama dengan 9 ?
Solusi : Himpunan semest anya ada 36 kemungki nan yait u (1, 1), (1, 2), (1, 3), ⋅⋅⋅ , (6, 6). Banyaknya kemungkinan j umlah mat a dadu kedua dadu t ersebut sama dengan 9 ada 4 kemungkinan yait u (3, 6), (4, 5), (5, 4) dan (6, 3).
Maka peluang munculnya j umlah mat a dadu sama dengan 9 adalah 4 36 at au 1 9 .
Cont oh 53 : Masing-masing sat u huruf diambil dari kat a “ MUDAH” dan “ BANGET” . Berapakah peluang bahwa kedua huruf t ersebut t erdiri dari sat u vokal dan sat u konsonan ?
Solusi : Kemungkinannya adalah sat u vokal dari kat a “ MUDAH” dan sat u konsonan dari kat a “ BANGET” at au sat u konsonan dari kat a “ MUDAH” dan sat u vokal dari kat a “ BANGET”
Peluang kasus pert ama = 2 x 4 5 4 6 = 15 Peluang kasus kedua = 3 2 5 1 ⋅ 6 = 5 Maka peluang kej adian t ersebut adalah 4 1 15 7 + 5 = 15 .
LAT IHAN 2. D
1. Dua buah dadu dilempar secara bersamaan. Berapakah peluang munculnya j umlah mat a dadu paling t idak 9 ?
2. Alan melempar dua buah dadu bersamaan sat u kali. Berapakah peluang munculnya j umlah mat a dadu ganj il dan bilangan prima ?
3. Di dalam sebuah kot ak t erdapat 4 bola merah dan 5 bola put ih. Jika Nindya mengambil 3 bola secara acak maka berapakah peluang t erambilnya :
a. Ket iga-t iganya merah
b. Ket iga-t iganya put ih
c. 2 bola merah dan 1 bola put ih
d. 1 bola merah dan 2 bola put ih Berapakah j umlah hasil a, b, c dan d t ersebut ?
4. (OSK 2006) Dalam sebuah kot ak t erdapat 5 bola merah dan 10 bola put ih. Jika diambil dua bola secara bersamaan, peluang memperoleh dua bola berwarna sama adalah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅
5. Sat u huruf diambil secara acak masing-masing dari kat a “ MAKAN” dan “ MANDI” . Berapakah peluang t erambil dua huruf yang berbeda ?
6. Sebuah kot ak berisi 2006 bola yang t erdiri dari 500 bola merah, 501 bola biru, 502 bola kuning, 502 bola hij au dan 1 bola put ih. Jika dari dalam kot ak diambil bola sat u persat u t anpa pengembalian, maka t ent ukan peluang bahwa t epat pada pengambilan kelima, bola t ersebut adalah berwarna put ih.
dengan 6. Unt uk n berapakah peluang t ersebut paling besar ?
8. Sepuluh buah bola masing-masing bert uliskan sat u huruf dari kat a MATEMATIKA. Dua bola diambil secara acak dari sepuluh bola t ersebut . Peluang dua bola yang t erambil bert uliskan huruf yang
berbeda adalah ········
9. Denny berhasil menemukan 2007 kunci dan 1 buah pet i berisi hart a karun dengan 1 buah lubang kunci. Hanya ada 1 dari 2007 kunci t ersebut yang bisa membuka pet i hart a karun. Ia memberi t anda pada kunci yang t elah ia gunakan unt uk mencoba membuka pet i hart a karun, sehingga kunci yang t elah digunakan unt uk mencoba, t idak akan digunakan lagi. Berapakah peluang t epat pada percobaan ke-7 ia berhasil membuka pet i hart a karun t ersebut ?
10. (OSK 2010) Perempat f inal Liga Champion 2010 diikut i 8 t eam A, B, C, D, E, F, G dan H yang bert emu sepert i t ampak dalam undian berikut
Set iap t eam mempunyai peluang 1 2 unt uk melaj u ke babak berikut nya. Peluang kej adian A bert emu G di f inal dan pada akhirnya A j uara adalah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅
11. Sebuah bilangan empat angka berbeda dibent uk dari angka-angka 3, 4, 5 dan 6. Berapakah peluang bahwa bilangan t ersebut habis dibagi 11.
12. Ahmadi melempar sebuah dadu dilempar 3 kali . Ada berapa cara munculnya j umlah mat a dadu sama dengan 13 ?
2 (OSK 2010) Misalkan S menyat akan himpunan semua f akt or posit if dari 2010 . Sebuah bilangan diambil secara acak dari S. Peluang bilangan yang t erambil habis dibagi 2010 adalah ⋅⋅⋅⋅⋅
14. Terdapat dua buah kant ong. Kant ong pert ama berisi 5 bola merah dan 3 bola put ih. Kant ong kedua berisi 4 bola put ih dan 6 bola biru. Sebuah bola diambil dari kant ong pert ama lalu dimasukkan ke dalam kant ong kedua. Sebuah bola diambil secara acak dari kant ong kedua. Berapa peluang bola yang t erambil berwarna :
a. biru
b. merah
c. put ih
15. Lima buah huruf diambil dari huruf -huruf A, B, C, D, E, F, G, H, I. Berapakah peluang yang t erambil it u t erdiri dari 2 huruf hidup (vokal) dan 3 huruf mat i (konsonan) ?
16. Jika dua buah dadu dilempar bersamaan, berapakah peluang munculnya nilai mut lak selisih dua dadu t ersebut t idak lebih dari dua ?
17. Dua buah bilangan diambil dari bilangan-bilangan 0, 1, 3, 5, 6, 8, 9. Tent ukan peluang bahwa selisih kedua buah bilangan t ersebut adalah bilangan ganj il.
Diket ahui bahwa a dan b adalah bilangan asli berbeda. Jika a dan b dipilih secara acak maka peluang kedua akar persamaan x 2 + ax + b = 0 merupakan bilangan real adalah ······
19. Diket ahui a, b, c adalah t iga bilangan berbeda yang angka-angkanya diambil dari himpunan {2005, 2006, 2007, 2008, 2009}. Peluang ab + c genap adalah ⋅⋅⋅⋅⋅
20. Tiga buah dadu dilempar sekaligus. Berapakah peluang bahwa hasil kali ket iga mat a dadu menghasilkan bilangan genap dan penj umlahan ket iga mat a dadu j uga genap ?
21. Eka Yulit a memberi t anda pada sembilan buah kart u dengan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 dan 9. Secara acak ia mengambil 4 buah kart u dari t umpukan kart u t ersebut sehingga membent uk sebuah bilangan yang t erdiri dari 4 angka. Berapakah peluang bahwa bilangan t ersebut lebih dari 8000 dan habis dibagi 5 ?
1, n}. Peluang bahwa kedua bilangan yang t erambil merupakan 2 bilangan yang berurut an adalah 20%. Tent ukan n.
22. Triesna mengambil 2 bilangan dari himpunan bilangan {1, 2, 3, ⋅⋅⋅ , n −
23. Dua buah bent eng dilet akkan secara acak pada pet ak-pet ak papan cat ur 8 x 8. Berapakah peluang kedua bent eng ini t idak saling memakan ?
24. Hansen memiliki 11 koin perak dan 1 koin emas. Furkan memiliki 12 koin perak. Secara acak 8 koin diambil dari Hansen lalu diberikan ke Furkan. Kemudian dari 20 koin yang dimiliki Furkan t ersebut diambil 8 koin secara acak lalu diberikan kepada Hansen. Berdasarkan kej adian ini, berapakah peluang koin emas ada pada Hansen ?
25. Suat u set soal t erdiri dari 2 soal pilihan j awaban Benar (B) at au Salah (S) sert a 2 soal pilihan ganda dengan pilihan j awaban A, B at au C. Jika seorang menj awab ke-4 soal secara acak, maka peluang ia benar t epat dua soal adalah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
26. Dari bilangan-bilangan 2006, 2007, 2008, 2009 dan 2010 akan diambil 3 bilangan. Berapakah peluang j umlah ket iga bilangan t ersebut habis dibagi 3 ?
27. Pada sebuah dek kart u yang t erdiri dari 20 kart u, kart u pert ama berisi gambar segi-4 berat uran, kart u kedua berisi gambar segi-5 berat uran, kart u ket iga berisi gambar segi-6 berat uran dan set erusnya sehingga sehingga kart u ke-20 berisi gambar segi-23 berat uran. Sebuah kart u secara acak diambil dari 20 t umpukan kart u t ersebut . Misalkan sudut dalam dari segi-n berat uran pada kart u t ersebut adalah x o , maka berapakah peluang bahwa x adalah bilangan bulat ?
28. ABCD adalah persegi panj ang dengan AB = 2 dan BC = 1. Tit ik P secara acak t erlet ak pada sisi CD. Misalkan ∠ PAB = α , ∠ PBA = β dan ∠ APB = θ . Besarnya peluang θ adalah yang t erbesar di ant ara α , β dan θ adalah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅
29. (OSP 2006) Win memiliki dua koin. Ia akan melakukan prosedur berikut berulang-ulang selama ia masih memiliki koin : lempar semua koin yang dimilikinya secara bersamaan; set iap koin yang muncul dengan sisi angka akan diberikannya kepada Albert . Tent ukan peluang bahwa Win akan mengulangi prosedur ini lebih dari t iga kali.
E. Pengambilan Contoh Dengan dan Tanpa Pengembalian
Sebelum menj elaskan t ent ang pengambilan cont oh dengan dan t anpa pengembalian, maka akan dij elaskan t erlebih dulu mengenai kej adian bersyarat . Kej adian bersyarat adalah kej adian munculnya
B dengan persyarat an t elah munculnya kej adian A. Rumus peluang munculnya kej adian B dengan syarat kej adian A t elah muncul adalah :
P () B A =
dengan P(A) ≠ 0. ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (2. E. 1)
At au j ika ingin menghit ung P(A ∩ B)
P(B ∩
A) = p(B ⏐
A) x p(A)
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (2. E. 2)
Misalkan kit a akan mengambil dua kart u bridge dari t umpukan 1 set kart u bridge secara berurut an sat u persat u. Ada 2 cara pengambilan dua kart u t ersebut . Yang pert ama adalah set elah pengambilan kart u pert ama maka kart u pert ama t ersebut dikembal ikan lagi ke dalam t umpukan 1 set kart u bridge dan kemudian mengambil kart u kedua. Ini di namakan dengan pengambilan cont oh dengan pengembalian. Cara kedua adalah set elah pengambilan kart u pert ama maka kart u pert ama t ersebut t idak dikembalikan lagi ke dalam t umpukan 1 set kart u bridge dan kemudian mengambil kart u kedua. Ini dinamakan dengan pengambilan cont oh t anpa pengembalian. Pengambilan Cont oh dengan dan t anpa pengembalian merupakan kej adian bersyarat .
1) Pengambilan Cont oh dengan Pengembalian
Cont oh 54 : Dari sebuah t umpukan kart u bridge, diambil dua kart u sat u persat u dengan pengembalian. Berapakah peluang kart u pert ama yang t erambil adalah kart u As dan kart u kedua adalah kart u berwarna merah ?
Solusi : Misalkan A adalah kej adian t erambilnya kart u pert ama adalah kart u As.
B adalah kej adian t erambilnya kart u kedua adalah kart u merah. Kart u pert ama yang t erambil adalah kart u As maka peluangnya adalah = p(A) = 4 52 .
Set elah dikembalikan, j umlah kart u t et ap 52 dengan kart u berwarna merah t et ap 26 buah. Maka peluang pengambilan kart u kedua adalah kart u berwarna merah set elah pengambilan kart u pert ama adalah kart u As adalah = p(B ⏐
52 A) = .
Maka peluang pengambilan pert ama adalah kart u As dan pengambilan kedua adalah kart u berwarna merah adalah = P(A ∩
B) = p(B ⏐
A) x p(A) = 4 26 52 1 x 52 = 26 .
Cont oh 55 : Dalam sebuah kot ak t erdapat 3 bola merah dan 4 bola biru. Berapakah peluang j ika diambil dua bola sat u persat u dengan pengembalian dengan bola pert ama berwarna merah dan bola kedua berwarna biru ?
Solusi : Misalkan A adalah kej adian t erambilnya bola pert ama adalah bola merah.
B adalah kej adian t erambilnya bola kedua adalah bola biru. Bola pert ama yang t erambil adalah bola merah maka peluangnya adalah = p(A) = 3 7 . Set elah dikembalikan, j umlah bola t et ap 7 dengan bola biru t et ap 4 buah.
Maka peluang pengambilan bola kedua adalah bola biru set elah pengambilan bola pert ama adalah merah adalah = p(B 4 ⏐
7 A) = .
Maka peluang pengambilan pert ama adalah bola merah dan pengambilan kedua adalah bola biru adalah = P(A ∩
B) = p(B ⏐
A) x p(A) = 3 4 7 12 x 7 = 49 .
2) Pengambilan Cont oh Tanpa Pengembalian
Cont oh 56 : Dari sebuah t umpukan kart u bridge, diambil dua kart u sat u persat u t anpa pengembalian. Berapakah peluang kart u pert ama yang t erambil adalah kart u As dan kart u kedua adalah kart u King ?
Solusi : Misalkan A adalah kej adian t erambilnya kart u pert ama adalah kart u As.
B adalah kej adian t erambilnya kart u kedua adalah kart u King. Kart u pert ama yang t erambil adalah kart u As maka peluangnya adalah = p(A) = 4 52 . Karena kart u t idak dikembalikan maka j umlah kart u t inggal 51 dengan kart u King t et ap 4 buah
j ika kart u pert ama yang t erambil adalah kart u As. Maka peluang pengambilan kart u kedua adalah kart u berwarna King set elah pengambilan kart u pert ama adalah kart u As adalah = p(B ⏐
51 A) = .
Maka peluang pengambilan pert ama adalah kart u As dan pengambilan kedua adalah kart u King adalah = P(A ∩
B) = p(B ⏐
A) x p(A) = 4 4 52 4 x 51 = 663 .
Cont oh 57 : Dalam sebuah kot ak t erdapat 3 bola merah dan 4 bola biru. Berapakah peluang j ika diambil dua bola sat u persat u t anpa pengembalian dengan bola pert ama berwarna biru dan bola kedua berwarna j uga biru ?
Solusi : Misalkan A adalah kej adian t erambilnya bola pert ama adalah bola biru.
B adalah kej adian t erambilnya bola kedua adalah bola biru. Bola pert ama yang t erambil adalah bola biru maka peluangnya adalah = p(A) = 4 7 . Karena t anpa pengembalian, j umlah bola t inggal 6 dengan bola bi ru t inggal 3 buah j ika bola
pert ama yang t erambil adalah bola biru. Maka peluang pengambilan bola kedua adalah bola biru set elah pengambilan bola pert ama adalah biru adalah = p(B ⏐
6 A) = .
Maka peluang pengambilan pert ama adalah bola biru dan pengambilan kedua adalah j uga bola biru adalah = P(A ∩
B) = p(B ⏐
A) x p(A) = 4 3 7 2 x 6 = 7 .
LAT IHAN 2. E
1. Dalam sebuah kant ong t erdapat 6 manik kuning, 4 manik biru dan 3 manik hit am. Jika diambil 2 manik sat u persat u, maka berapakah peluang manik pert ama yang t erambil berwarna kuning dan kedua hit am apabila :
a. dengan pengembalian
b. t anpa pengembalian
2. Dalam sebuah kot ak t erdapat 5 kelereng merah, 3 kelereng hij au dan 2 kelereng hit am. Jika diambil 3 kelereng sat u persat u, maka berapakah peluang kelereng pert ama yang t erambil berwarna merah, kedua hij au dan ket iga merah apabila :
a. dengan pengembalian ?
b. t anpa pengembalian ? b. t anpa pengembalian ?
a. bola merah pada pengambilan pert ama maupun kedua ?
b. bola merah pada pengambilan pert ama dan bola biru pada pengambilan kedua ?
c. bola biru pada pengambilan pert ama dan bola merah pada pengambilan kedua ?
d. bola biru pada pengambilan pert ama maupun kedua ? Berapakah penj umlahan a, b, c dan d ? Apa kesimpulan Anda.
4. Dari 1 set kart u bridge diambil dua buah kart u sat u persat u t anpa pengembalian. Berapakah peluang kart u pert ama yang t erambil adalah kart u As dan kart u kedua adalah kart u hat i ?
5. Dua kert u bridge diambil berurut an secara random dari sat u set kart u bridge. Kart u pert ama dikembalikan dan kart u diacak kembali, set elah it u kart u kedua diambil. Berapa peluang paling sedikit sat u dari kedua kart u yang diambil adalah kart u As ?
F. Peluang Komplemen
Misalkan saj a kej adian yang t erj adi adalah huj an at au t idak huj an sert a t idak ada kej adian di ant ara huj an at au t idak huj an. Seandainya kit a t ahu t ahu bahwa peluang hari ini huj an adalah 60 % maka t ent unya kit a bisa menghit ung peluang hari ini t idak huj an, yait u 40 %. Kej adian huj an dan kej adian t idak huj an adalah dua kej adian yang saling komplemen. Jika kej adian
huj an dit ulis dengan A maka kej adian t idak huj an dit ulis dengan A’ at au A c yang dibaca komplemen dari A. Jika A dan A’ adalah dua kej adian yang saling komplemen, maka peluang A’ (dit ulis p(A’ )) dirumuskan dengan :
p(A’ ) = 1 − p(A) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (2. F. 1)
Cont oh 58 : Peluang Ahmadi unt uk lulus uj ian adalah 0, 8. Berapakah peluang Ahmadi t idak lulus uj ian ?
Solusi : Peluang Ahmadi unt uk t idak lulus uj ian = 1 −
Cont oh 59 : Dalam sebuah kot ak t erdapat 4 manik merah dan 3 manik hij au. Jika diambil 3 buah manik, berapakah peluang manik yang t erambilnya paling banyak 2 buah berwarna merah ?
Solusi : Alt ernat if 1 : Kemungkinan kasus-kasus ini adalah 2 manik merah dan 1 manik hij au at au 1 manik merah dan 2 manik hij au at au ket iga-t iganya manik hij au.
Banyaknya cara memilih adalah 4 C 2 x 3 C 1 + 4 C 1 x 3 C 2 + 4 C 0 x 3 C 3 = 18 + 12 + 1 = 31 cara.
Tiga manik diambil dari 7 manik, banyaknya cara = 7 C 3 = 35.
Peluang yang t erambil adalah paling banyak 2 manik merah = 31
Alt ernat if 2 : Komplemen paling banyak 2 manik merah dalam soal ini adalah ket iga manik yang t erambil semuanya
berwarna merah. Banyaknya cara memilih adalah 4 C 3 x 3 C 0 = 4 cara. Peluang yang t erambil adalah 3 manik merah = 4 35 .
Peluang yang t erambil adalah paling banyak 2 manik merah =
1. Banyaknya bilangan t iga angka yang mempunyai sedikit nya sat u angka genap adalah ⋅⋅⋅⋅⋅
2. Pada papan cat ur 4 x 4 dilet akkan secara acak 4 buah pion ident ik. Berapakah peluang bahwa keempat pion t ersebut t idak berada pada sat u garis ?
3. Dalam sebuah kot ak t erdapat 7 bola hit am dan 6 bola put ih. Jika diambil 5 buah bola, berapakah peluang bola yang t erambilnya sedikit nya 2 buah berwarna hit am ?
4. Dalam sebuah kot ak t erdapat 7 bola hit am, 4 bola put ih dan 3 bola merah. Jika diambil 5 buah bola, berapakah peluang bola yang t erambilnya sedikit nya 2 buah berwarna hit am ?
5. Sebuah kot ak berisi 6 bola merah dan 6 bola put ih. Secara acak Lala mengambil dua bola sekaligus. Berapakah peluang unt uk mendapat kan dua bola berwarna sama ?
6. Dua kert u bridge diambil berurut an secara random dari sat u set kart u bridge. Kart u pert ama dikembalikan dan kart u diacak kembali, set elah it u kart u kedua diambil. Berapa peluang paling sedikit sat u dari kedua kart u yang diambil adalah kart u As ?
7. (OSP 2009) Ada empat pasang sepat u akan diambil empat sepat u secara acak. Peluang bahwa yang t erambil ada yang berpasangan adalah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅
3. PRINSIP INKLUSI EKSKLUSI, PELUANG KEJADIAN MAJEMUK
A. Prinsip Inklusi Eksklusi
Prinsip Inklusi dan Eksklusi (PIE) adalah bent uk pali ng umum dari prinsip penambahan pada himpunan. Perhat ikan gabungan dua himpunan pada diagram venn di bawah.
Himpunan A
Himpunan A ∩ B Himpunan B − A
Misalkan S adalah suat u himpunan t erhingga dengan A dan B sembarang dua himpunan bagian dari S. Maka unt uk mencacah banyaknya unsur di dalam A ∪
B, kit a dapat melakukannya dengan mencacah banyaknya unsur himpunan A dan himpunan B −
A dan kemudian menj umlahkannya. Karena ⏐ B − A ⏐ = ⏐ B ⏐ − ⏐ A ∩ B ⏐ maka :
⏐ A ∪ B ⏐ = ⏐ A ⏐ + ⏐ B ⏐ − ⏐ A ∩ B ⏐ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (3. A. 1)
Cat at an : Not asi ⏐ A ∪ B ⏐ dalam buku lain kadang-kadang dit ulis dengan n(A ∪ B).
Dengan kat a lain, ket ika mencacah unsur-unsur A dan B sendiri-sendiri, unsur-unsur irisan A dan B t ercacah dua kali sehingga unt uk mengat asi pencacahan ganda ini, kit a harus mengurangkan hasil
pencacahan dari ⏐ A ⏐ + ⏐ B ⏐ dengan pada A ∩
B sekali.
Selain rumus pada persamaan 3. 1. 1, pada gabungan dua himpunan berlaku persamaan :
⏐ (A ∪ B)’ ⏐ = ⏐ S ⏐ − ⏐ A ∪ B ⏐ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (3. A. 2) ⏐ (A ∪ B)’ ⏐ = ⏐ S ⏐ − ⏐ A ∪ B ⏐ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (3. A. 2)
(A ∪ B)’ = A’ ∩ B’ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (3. A. 3)
(A ∩ B)’ = A’ ∪ B’ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (3. A. 4)
Perhat ikan gabungan t iga himpunan berikut :
Ket ika mencacah unsur-unsur A (a + d + f + g), B (b + d + e + g) dan C (c + e + f + g) sendiri-sendiri, unsur-unsur irisan t epat A dan B (d), irisan t epat A dan C (f ) sert a irisan t epat B dan C (e) t ercacah dua kali sedangkan irisan A, B dan C (g) t ercacah t iga kali. Maka unt uk mengat asi pencacahan ganda
ini, kit a harus mengurangkan hasil pencacahan ⏐ A ⏐ + ⏐ B ⏐ + ⏐ C ⏐ masing-masing sekali dengan A ∩ B,
C dan B ∩
C. Namun ket ika kit a menghit ung ⏐ A ∪ B ∪ C ⏐ = ⏐ A ⏐ + ⏐ B ⏐ + ⏐ C ⏐ − ⏐ A ∩ B ⏐ − ⏐ A ∩ C ⏐ −
⏐ B ∩ C ⏐ , irisan A, B dan C (A ∩ B ∩
C) belum t ercacah sama sekali. Unt uk mengat asi hal t ersebut kit a masih harus menambahkan ⏐ A ⏐ + ⏐ B ⏐ + ⏐ C ⏐ − ⏐ A ∩ B ⏐ − ⏐ A ∩ C ⏐ − ⏐ B ∩ C ⏐ dengan ⏐ A ∩ B ∩ C ⏐ sekali.
Maka didapat rumus :
⏐ A ∪ B ∪ C ⏐ = ⏐ A ⏐ + ⏐ B ⏐ + ⏐ C ⏐ − ⏐ A ∩ B ⏐ − ⏐ A ∩ C ⏐ − ⏐ B ∩ C ⏐ + ⏐ A ∩ B ∩ C ⏐ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (3. A. 5)
⏐ (A ∪ B ∪ C)’ ⏐ = ⏐ S ⏐ − ⏐ A ∪ B ∪ C ⏐ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (3. A. 6)
Jika dikembangkan unt uk gabungan 4 himpunan akan didapat kan :
⏐ A ∪ B ∪ C ∪ D ⏐ = ⏐ A ⏐ + ⏐ B ⏐ ⏐ + C ⏐ + ⏐ D ⏐ − ⏐ A ∩ B ⏐ − ⏐ A ∩ C ⏐ − ⏐ A ∩ D ⏐− ⏐ B ∩ C ⏐ − ⏐ B ∩ D ⏐ − ⏐ C ∩ D ⏐ + ⏐ A ∩ B ∩ C ⏐ + ⏐ A ∩ B ∩ D ⏐ + ⏐ A ∩ C ∩ D ⏐ + ⏐ B ∩ C ∩ D ⏐ − ⏐ A ∩ B ∩ C ∩ D ⏐ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (3. A. 7)
⏐ (A ∪ B ∪ C ∪ D)’ ⏐ = ⏐ S ⏐ − ⏐ A ∪ B ∪ C ∪ D ⏐ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (3. A. 8)
Demikian set erusnya.
Cont oh 60 : Dari 65 siswa yang disurvei didapat kan dat a bahwa ada 20 siswa yang menyukai Fisika dan 35 menyukai Mat emat ika. Jika t erdapat 25 siswa yang t idak menyukai Mat emat ika maupun Fisika maka ada berapa siswa yang menyukai Mat emat ika dan Fisika ?
Solusi : Misalkan F adalah himpunan siswa yang menyukai Fisika dan M adalah himpunan siswa yang menyukai Mat emat ika.
⏐ F ⏐ = 20 ; ⏐ M ⏐ = 35 ;
⏐ S ⏐ = 65 ;
⏐ (F ∪ M)’ ⏐ = 25 ⏐ S ⏐ = ⏐ F ∪ M ⏐ + ⏐ (F ∪ M)’ ⏐ sehingga ⏐ F ∪ M ⏐ = 40
40 = 20 + 35 − ⏐ F ∩ M ⏐ sehingga ⏐ F ∩ M ⏐ = 15
Banyaknya siswa yang menyukai Mat emat ika dan Fisika ada 15 orang.
Cont oh 61 : Sebuah survei dilakukan t erhadap sekumpulan siswa. Dari survei t ersebut didapat bahwa 133 orang menyukai sedikit nya sat u dari 3 pelaj aran Fisika, Mat emat ika at au Kimia. Sembilan puluh enam di ant aranya menyukai Mat emat ika, 70 menyukai Fisika dan 66 menyukai Kimia. Dari 96 siswa yang menyukai Mat emat ika, 40 di ant arnya menyukai Fisika dan 45 di ant aranya menyukai Kimia. Banyaknya siswa yang menyukai Fisika dan Kimia ada sebanyak 28 orang. Ada berapa banyak siswa yang menyukai ket iga mat a pelaj aran t ersebut ?
Solusi :
Misalkan banyaknya siswa yang menyukai ket iga pelaj aran = ⏐ F ∩ M ∩ K ⏐ =x
Dari dat a didapat yang menyukai Mat emat ika dan Fisika ada sebanyak 40 maka banyaknya siswa yang menyukai Mat emat ika dan Fisika t et api t idak menyukai Kimia = 40 − x Dari dat a didapat yang menyukai Mat emat ika dan Kimia ada sebanyak 45 maka banyaknya siswa yang menyukai Mat emat ika dan Kimia t et api t idak menyukai Fisika = 45 − x. Dari dat a didapat yang menyukai Fisika dan Kimia ada sebanyak 28 maka banyaknya siswa yang menyukai Fisika dan Kimia t et api t idak menyukai Mat emat ika = 28 − x. Banyaknya siswa yang hanya menyukai Mat emat ika = 96 − (40 − x) − x − (45 − x) = 11 + x Banyaknya siswa yang hanya menyukai Fisika = 70 − (40 − x) − x − (28 − x) = 2 + x Banyaknya siswa yang hanya menyukai Kimia = 66 − (28 − x) − x − (45 − x) = x − 7 Jika digambarkan dalam diagram venn maka :
96 + (2 + x) + (28 − x) + (x −
x = 14 Maka banyaknya siswa yang menyukai ket iga pelaj aran ada sebanyak 14 orang.
Cont oh 62 : Sebuah sekolah memiliki 760 siswa. Ada 71 siswa yang mengikut i Klub Musik dan 110 siswa yang t idak mengikut i Klub Sains. Pada Klub Sains, j umlah siswa laki-laki 30 lebih banyak daripada siswa perempuan. Lima puluh sembilan siswa dengan 35 di ant aranya perempuan mengikut i Klub Musik maupun Klub Sains. Diket ahui j uga bahwa 86 siswa laki-laki t idak mengikut i Klub Sains maupun Klub Musik. Set engah dari siswa yang mengikut i Klub Musik t et api t idak mengikut i Klub Sains adalah laki- laki. Hit unglah :
a. Banyaknya siswa laki-laki dan siswa perempuan di sekolah t ersebut ?
b. Banyaknya siswa perempuan yang t idak mengikut i Klub Musik maupun Klub Sains.
Solusi : Misalkan banyaknya siswa laki-laki yang mengikut i Klub Musik t et api t idak mengikut i Klub Sains = x. Maka banyaknya siswa perempuan siswa laki-laki yang mengikut i Klub Musik t et api t idak mengikut i Klub Sains j uga = x. ⏐ S ⏐ = 760 ; ⏐ Musik ⏐ = 71 ;
⏐ (Sains)’ ⏐ = 110 sehingga ⏐ Sains ⏐ = 760 − 110 = 650 Karena ada 59 siswa yang mengikut i Klub Sains maupun Klub Musik dengan 35 di ant aranya perempuan maka ada 24 siswa laki-laki mengikut i Klub Sains maupun Klub Musik. Misalkan banyaknya siswa perempuan yang mengikut i Klub Sains t et api t idak mengikut i Klub Musik = p. Karena pada Klub Sains, j umlah siswa laki-laki 30 lebih banyak daripada siswa perempuan maka banyaknya siswa laki-laki yang mengikut i Klub Sains t et api t idak mengikut i Klub Musik = p + 41.
Perhat ikan diagram venn berikut .
Pada Klub Sains berlaku :
24 + 35 + (p + 41) + (p) = 650 p = 275 Pada Klub Musik berlaku : x + x + 24 + 35 = 71 x=6 Secara keseluruhan :
86 + 650 + 6 + 6 + y = 760 y = 12
a. Banyaknya siswa l aki-l aki = 86 + 6 + 24 + (275 + 41) = 432 Banyaknya siswa perempuan = 12 + 6 + 35 + (275) = 328
b. Banyaknya siswa perempuan yang t idak mengikut i Klub Musik maupun Klub Sains = y = 12
Cont oh 63 : Sebanyak n orang pengurus sebuah organisasi akan dibagi ke dalam empat komisi mengikut i ket ent uan berikut : (i) set iap anggot a t ergabung kedalam t epat dua komisi, dan (ii) set iap dua komisi memiliki t epat sat u anggot a bersama. Berapakah n ?
Solusi : (a) set iap anggot a t ergabung ke dalam t epat dua komisi (b) set iap dua komisi memiliki t epat sat u anggot a bersama
Karena ada 4 komisi maka banyaknya pasangan komisi yang bisa dibuat adalah 4 C 2 = 6. Karena banyaknya pasangan komisi ada 6 maka banyaknya anggot a minimal adalah 6 sebab j ika kurang dari 6 maka akan ada seorang anggot a yang t ergabung dalam lebih dari 2 komisi. Jika t erdapat lebih dari 6 anggot a maka akan ada seorang anggot a yang masuk dalam sebuah komisi t et api t idak masuk ke dalam t iga komisi lain. Hal ini bert ent angan dengan (a) bahwa seorang anggot a t ergabung ke dalam t epat dua komisi. Akibat nya banyaknya anggot a ada 6 orang.
Cont oh pembagian keenam anggot a ke dalam empat komisi yang memenuhi (a) dan (b) adalah : Misalkan komisi t ersebut adalah A, B, C dan D dengan a i menyat akan anggot a ke-i dengan 1 ≤ i ≤ 6.
Komisi A Komisi B
Komisi C
Komisi D
Coba kerj akan dengan Prinsip Inklusi Eksklusi.
Cont oh 64 : Suat u kat a biner yang panj angnya n adalah suat u barisan/ sekuens angka-angka 0 at au 1 yang panj angnya n. Berapa banyak kat a biner dengan panj ang 10 yang diawali dengan t iga angka 0 at au diakhiri dengan dua angka 1 ?
Solusi : Banyaknya kat a biner dengan panj ang 10 yang diawali dengan t iga angka 0 adalah sama dengan memilih angka 0 at au 1 pada 7 angka t erakhir sebab 3 angka pert ama t idak dapat dipilih. Pilihannya
masing-masing angka hanya 0 at au 1. Banyaknya cara = ⏐ A ⏐ =2 7 .
Banyaknya kat a biner dengan panj ang 10 yang diakhiri dengan dua angka 1 adalah sama dengan memilih angka 0 at au 1 pada 8 angka pert ama sebab 2 angka t erakhir t idak dapat dipilih. Pilihannya
masing-masing angka hanya 0 at au 1. Banyaknya cara = ⏐ B ⏐ =2 8 .
Tet api ada kej adian kat a biner t ersebut diawali dengan t iga angka 0 dan diakhiri dengan dua angka 1.
Banyaknya kat a ini = ⏐ A ∩ B ⏐ =2 5 . Banyaknya kat a biner yang dapat disusun = ⏐ A ∪ B ⏐ = ⏐ A ⏐ + ⏐ B ⏐ − ⏐ A ∩ B ⏐ Maka banyaknya kat a biner yang dapat disusun = 2 7 +2 8 − 2 5 = 352
Cont oh 65 : Ada berapa banyak bilangan bulat ant ara 1 dan 1000 (t ermasuk 1 dan 1000) yang t idak habis dibagi 2 dan t idak habis dibagi 5 ?
Solusi : Misalkan A’ adalah himpunan bilangan bulat ant ara 1 dan 1000 (t ermasuk 1 dan 1000) yang t idak habis dibagi 2 dan B’ adalah himpunan bilangan bulat ant ara 1 dan 1000 (t ermasuk 1 dan 1000) yang t idak habis dibagi 5 sert a S adalah himpunan bilangan bulat ant ara 1 dan 1000 (t ermasuk 1 dan 1000). Maka A menyat akan himpunan bilangan bulat ant ara 1 dan 1000 (t ermasuk 1 dan 1000) yang habis dibagi 2 dan B menyat akan himpunan bilangan bulat ant ara 1 dan 1000 (t ermasuk 1 dan 1000) yang habis dibagi 5. ⏐ S ⏐ = 1000
Persoalan yang dit anyakan adalah A’ ∩ B’ . Dengan hukum de Morgan maka (A’ ∩ B’ ) = (A ∪ B)’ ⏐ A ⏐ = 1000
2 ⎦ = 500 dan ⏐ B ⏐ = ⎣ 5 ⎦ = 200
dengan t anda ⎣α⎦ menyat akan bilangan bulat t erbesar kurang dari at au sama dengan α . Maka A ∩
B akan menyat akan himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 2 dan 5 at au habis dibagi 10.
⏐ A ∩ B ⏐ = 1000 ⎣ 10 ⎦ = 100
⏐ A ∪ B ⏐ = ⏐ A ⏐ + ⏐ B ⏐ − ⏐ A ∩ B ⏐ = 600 ⏐ (A ∪ B)’ ⏐ = ⏐ S ⏐ − ⏐ (A ∪ B) ⏐ = 400 Maka banyaknya bilangan bulat ant ara 1 dan 1000 (t ermasuk 1 dan 1000) yang t idak habis dibagi 2 dan t idak habis dibagi 5 = 400 buah.
1. Pada suat u klub Musik, 14 orang bermain piano at au git ar, 8 orang adalah pemain piano dan 5 orang memainkan kedua alat t ersebut . Ada berapa orang yang memainkan git ar ?
2. Dari 100 orang siswa t erdapat 30 siswa yang hanya menyukai sepakbola saj a. yang menyukai bola volly ada 50 siswa. Ada berapa siswa yang t i dak menyukai sepak bola maupun bola volly ?
3. Dari 240 siswa kelas 3 suat u SMA, t erdapat 50 orang menyukai sepakbola, 60 orang menyukai bulut angkis dan 55 menyukai cat ur. Tiga puluh siswa menyukai sepakbola dan bulut angkis sement ara 10 siswa menyukai bulut angkis dan cat ur t et api t idak menyukai sepakbola. Ada 20 siswa yang menyukai ket iga hobi t ersebut . Jika ada 150 siswa yang t idak menyukai sat u pun di ant ara ket iga hobi t ersebut , maka ada berapa siswa yang menyukai sepakbola dan cat ur t et api t idak menyukai bulut angkis ?
4. Ada berapa banyak bilangan bulat ant ara 1 dan 1000 (t ermasuk 1 dan 1000) yang t idak habis dibagi 2 dan t idak habis dibagi 7 ?
5. Ada berapa banyak bilangan bulat ant ara 1 dan 1000 (t ermasuk 1 dan 1000) yang t idak habis dibagi 2, 3 dan 7 ?
6. Tent ukan banyaknya bilangan yang t idak habis dibagi 3, 7 dan 11 dan t erlet ak ant ara 79 dan 2120 (t idak t ermasuk 79 dan 2120).
7. Di dalam suat u kelas beberapa orang mempelaj ari Bahasa Inggris sedangkan sisanya mempelaj ari Bahasa Jerman t et api t idak ada siswa yang mempelaj ari keduanya. Jumlah siswa perempuan yang mempelaj ari Bahasa Inggris dan siswa laki-laki yang mempelaj ari Bahasa Jerman adalah 16 orang. Ada 11 siswa yang mempelaj ari Bahasa Inggris dan ada 10 siswa perempuan di kelas. Selain siswa perempuan yang mempelaj ari Bahasa Inggris, ada 16 orang siswa di kelas. Berapa banyakkah t ot al siswa di kelas ?
B. Peluang Kej adian Maj emuk
Jika persamaan-persamaan 3. 1. 1, 3. 1. 2, 3. 1. 5, 3. 1. 6 kit a bagi dengan ⏐ S ⏐ dan dengan memperhat ikan pengert ian peluang pada bagian 2. 4. 2 akan didapat rumus-rumus peluang sebagai berikut :
Unt uk gabungan 2 himpunan :
p(A ∪
B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B)
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (3. B. 1)
p(A ∪ B)’ = 1 − p(A ∪ B) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (3. B. 2)
Unt uk gabungan 3 himpunan :
p(A ∪ B ∪
C) = p(A) + p(B) +p(C) − p(A ∩ B) − p(A ∩ C) − ⏐ B ∩ C ⏐ + ⏐ A ∩ B ∩ C ⏐ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (3. B. 3)
p(A ∪ B)’ = 1 − p(A ∪ B) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (3. B. 4)
Khusus unt uk gabungan dua himpunan dikenal adanya dua himpunan saling lepas dan dua himpunan saling bebas. Dua himpunan dikat akan saling lepas j ika dua himpunan t ersebut t idak memiliki irisan at au dengan kat a lain (A ∩
B) = 0 yang berakibat p(A ∩
B) = 0. Maka unt uk dua himpunan yang saling lepas berlaku :
p(A ∪
B) = p(A) + p(B)
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (3. B. 5)
Dua himpunan dikat akan saling bebas j ika dua himpunan t ersebut t idak saling mempengaruhi. Misalkan A dan B adalah dua himpunan saling bebas dan berlaku :
p(A ∩
B) = p(A) ⋅ p(B) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (3. B. 6)
Pengambilan cont oh dengan pengembalian merupakan cont oh kej adian saling bebas.
Cont oh 66 : Sebuah dadu dilempar sekali. Berapakah peluang mat a dadu yang muncul adalah bilangan prima at au bilangan genap ?
Solusi : Misalkan A adalah munculnya mat a dadu prima dan B adalah munculnya mat a dadu bilangan prima.
Karena bilangan prima yang mungkin ada 3 yait u 2, 3 dan 5 maka p(A) = 1 dan p(B) = 2 1 2 . Irisan himpunan A dan B adalah {2}, maka p(A ∩
6 B) = .
p(A ∪
B) = p(A) + p(B) − p(A ∩
2 B) = + 1 2 − 1 6
Maka peluang mat a dadu yang muncul adalah bilangan prima at au bilangan genap = 5 6 .
Cont oh 67 : Peluang Ahmadi lulus uj ian 95% dan peluang Put u lulus uj ian 90 %. Jika dapat dianggap bahwa kej adian Ahmadi lulus dan Put u lulus merupakan dua kej adian yang saling bebas, berapakah peluang:
a. Ahmadi dan Put u lulus uj ian
b. Ahmadi at au Put u lulus uj ian
c. Ahmadi lulus uj ian dan Put u t idak lulus
Solusi : Misalkan A adalah kej adian Ahmadi lulus uj ian dan B adalah kej adian Put u lulus uj ian. p(A) = 0, 95 dan p(B) = 0, 90
a. p(A ∩
B) = p(A) ⋅ p (B) = 0, 95 ⋅
Peluang Ahmadi dan Put u lulus uj ian = 0, 855
b. p(A ∪
B) = p(A) + p(B) − p(A ∩
B) = 0, 95 + 0, 90 −
Peluang Ahmadi at au Put u lulus uj ian = 0, 995
c. p(A ∩ B’ ) = p(A) ⋅ p(B’ ) = 0, 95 ⋅
Peluang Ahmadi lulus uj ian dan Put u t idak lulus = 0, 095
LAT IHAN 3. B
1. Dari hasil penelit ian pada suat u wilayah didapat : 20% penduduk memiliki TV, 40% memiliki radio sert a 15% memiliki TV dan radio. Berapakah peluang seorang penduduk di wilayah t ersebut yang dipilih secara acak unt uk memiliki TV at au radio ?
2. Dari 200 orang siswa suat u sekolah yang disurvei diket ahui 100 orang gemar Mat emat ika, 60 orang gemar Biologi dan 90 orang gemar Fisika, 30 orang gemar Mat emat ika dan Biologi, 25 orang gemar Mat emat ika dan Fisika, 20 orang gemar Biologi dan Fisika sedangkan 10 orang lagi t idak gemar ket iga pelaj aran t ersebut . Jika sat u orang diambil dari 200 orang t ersebut secara acak, maka berapakah peluang yang t erambil menyukai paling sedikit 2 dari 3 pelaj aran t ersebut ?
3. Kej adian A dan B adalah kej adian saling bebas t et api t idak saling lepas. Jika p(A) = 1 3 dan p (A ∪
5 B) = , maka t ent ukan p(B).
4. Dua buah dadu bersisi enam dilemparkan serent ak sat u kali. Berapakah peluang munculnya j umlah mat a dadu sama dengan 7 at au 10 ?
5. Dua buah dadu dilempar bersamaan sat u kali. Berapakah peluang munculnya j umlah mat a dadu genap at au bilangan prima ?
6. Sebuah kart u diambil secara acak dari 1 set kart u bridge. Berapakah peluang bahwa yang t erambil it u adalah kart u berwarna hit am at au kart u King ?
7. Peluang Barcelona menang at as Albacet e adalah 85 % sedangkan peluang Real Madrid menang at as Albacet e adalah 80 %. Berapakah peluang :
a. Barcelona at au Real Madrid menang at as Albacet e
b. Barcelona dan Real Madrid keduanya menang at as Albacet e
c. Barcelona menang at as Albacet e dan Real Madrid t idak menang at as Albacet e
d. Barcelona t idak menang at as Albacet e dan Real Madrid menang at as Albacet e
e. Barcelona dan Real Madrid keduanya t idak menang at as Albacet e Berapakah penj umlahan hasil b, c, d dan e ?
4. PIGEON HOLE PRINCIPLE (PRINSIP LUBANG MERPATI)
Pigen Hol e Principl e (Prinsip Lubang Merpat i) mengat akan bahwa j ika lebih dari n benda dimasukkan ke dalam n kot ak, maka sedikit nya ada sat u kot ak yang berisi lebih dari sat u benda. Secara umum bahwa j ika ada lebih dari pn benda dimasukkan ke dalam n kot ak maka sedikit nya ada sat u kot ak berisi lebih dari p benda.
Bent uk Lain : Jika n bilangan bulat m 1 , m , m 3 , ⋅⋅⋅ , m n memiliki rat a-rat a
> r − 1 , maka
sedikit nya sat u di ant ara bilangan-bilangan bulat t ersebut lebih besar at au sama dengan r.
Cont oh 68 : Jika ada 101 surat yang akan dimasukkan ke dalam 50 kot ak pos, bukt ikan bahwa ada sedikit nya sat u kot ak pos berisi sekurang-kurangnya 3 surat .
Solusi : Jika seluruh kot ak pos maksimal hanya berisi 2 surat , maka j umlah maksimal surat yang dapat masuk kot ak pos adalah 100. Tet api j umlah surat yang ada yait u 101. Maka dapat dipast ikan ada sedikit nya sat u kot ak pos berisi sekurang-kurangnya 3 surat .
Cont oh 69 : Pada sebuah pest a set iap orang yang hadir diharuskan membawa permen. Jika pada pest a t ersebut j umlah orang yang hadir ada 10 sedangkan j umlah permen yang ada sebanyak 50 buah, bukt ikan bahwa ada sekurang-kurangnya 2 orang yang membawa permen dalam j umlah yang sama.
Solusi : Andaikan bahwa seluruh orang membawa permen dalam j umlah yang berbeda maka sedikit nya j umlah
permen yang ada sebanyak 1 + 2 + 3 + ⋅⋅⋅ + 10 = 55 > 50 (t idak memenuhi). Kont radiksi. Maka dapat dibukt ikan bahwa ada sekurang-kurangnya 2 orang yang membawa permen dalam j umlah yang sama.
Cont oh 70 : Jika t erdapat n 2 + 1 t it ik yang t erlet ak di dalam sebuah persegi dengan panj ang sisi n, bukt ikan bahwa
ada sekurang-kurangnya 2 t it ik yang memiliki j arak t idak lebih dari
2 sat uan.
Solusi :
Persegi dengan ukuran n x n dapat dibagi menj adi n 2 buah persegi berukuran 1 x 1.
Pada persegi dengan ukuran 1 x 1, j arak t erj auh 2 t i t ik adalah j ika keduanya t erlet ak pada t it ik sudut berlawanan yait u sej auh
2 sat uan.
Karena ada n 2 + 1 t it ik dengan ada n 2 persegi dapat sesuai Pigeon Hol e Principl e, akan t erdapat sedikit nya
2 t it ik yang t erlet ak pada sat u persegi dengan ukuran 1 x 1 yang sama. Maka dapat dibukt ikan ada sekurang-kurangnya 2 t it ik yang memiliki j arak t idak lebih dari
2 sat uan.
Cont oh 71 : Jika t erdapat n 2 + 1 t it ik yang t erlet ak di dalam sebuah segit iga sama sisi dengan panj ang sisi n, bukt ikan bahwa ada sedikit nya 2 t it ik yang j araknya sat u sama lain paling j auh 1.
Solusi : Bagi segit iga t ersebut menj adi n 2 buah segit iga sama sisi yang masing-masing panj ang sisinya 1 sat uan.
Pada segit iga sama sisi dengan panj ang sisi 1 sat uan, j arak t erj auh 2 t it ik adalah j ika keduanya t erlet ak pada t it ik sudut segit iga yait u sej auh 1 sat uan.
Karena ada n 2 + 1 t it ik dengan ada n 2 segit iga sama sisi dengan panj ang sisi 1 sat uan maka sesuai Pigeon Hol e Principle akan t erdapat sedikit nya 2 t it ik yang t erlet ak pada sat u segit iga dengan panj ang sisi 1 sat uan yang sama. Maka dapat dibukt ikan bahwa ada sedikit nya 2 t it i k yang j araknya sat u sama lain paling j auh 1
Cont oh 72 : Bukt ikan bahwa di ant ara 7 bilangan bulat , past i ada sekurang-kurangnya sepasang bilangan yang selisihnya habis dibagi 6.
Solusi : Kemungkian sisa j ika suat u bilangan bulat dibagi 6 adal ah 0, 1, 2, 3, 4, at au 5. Karena ada 6 kemungkinan dan ada 7 bilangan bulat maka sesuai Pigeon Hole Principle, sedikit nya dua bilangan akan memiliki sisa
yang sama j ika dibagi 6. Misalkan bilangan it u adalah n 1 dan n 2 dengan sisa j ika dibagi 6 adalah r. Maka
kit a dapat membuat n 1 = 6k 1 + r dan n 2 = 6k 2 + r dengan k 1 dan k 2 bilangan bulat .
n 1 − n 2 = 6(k 1 +k 2 ) yang merupakan bilangan yang habis dibagi 6 (t erbukt i)
Cont oh 73 : Bukt ikan bahwa di ant ara 5 bilangan bulat past i ada 3 di ant aranya memiliki j umlah habis dibagi 3.
Solusi : Kemungkian sisa j ika suat u bilangan bulat dibagi 3 adalah 0, 1 at au 2. Misalkan t erdapat t iga bilangan yang memiliki sisa yang sama j ika dibagi 3. Misalkan j uga sisanya adalah r. Dapat diandaikan bilangan
t ersebut adalah n 1 = 3k 1 + r, n 2 = 3k 2 + r dan n 3 = 3k 3 + r dengan k 1 , k 2 dan k 3 bilangan bulat . Jumlah ket iga bilangan ini akan habis dibagi 3 (t erbukt i). Andaikan t idak t erdapat 3 bilangan yang memiliki sisa yang sama j ika dibagi 3. Karena kemungkinan sisa bilangan j ika dibagi 3 ada 3 kemungkinan sedangkan t erdapat 5 bilangan, sesuai Pigeon Hol e Principle, akan ada 3 di ant aranya yang sat u bersisa 0 j ika dibagi 3, salah sat unya bersisa 1 j ika dibagi 3 dan sat unya
lagi bersisa 2 j ika dibagi 3. Misalkan ke-3 bilangan adalah n 1 = 3k 1 , n 2 = 3k 2 + 1 dan n 3 = 3k 3 + 2.
n 1 +n 2 +n 3 = 3(k 1 +k 2 +k 3 + 2) yang merupakan bilangan yang habis dibagi 3.
Cont oh 74 : Tit ik l et is pada bidang adalah t it ik yang mempunyai koordinat berupa pasangan bilangan bulat .
Misalkan P 1 , P 2 , P 3 , P 4 , P 5 adalah lima t it ik let is berbeda pada bidang.
Bukt ikan bahwa t erdapat sepasang t it ik (P i , P j ), i ≠ j , demikian, sehingga ruas garis P i P j memuat sebuah t it ik let is selain P i dan P j .
Solusi : Misal x ij adalah j arak t it ik P i dan P j dalam arah sumbu X dan Misal y ij adalah j arak t it ik P i dan P j dalam arah sumbu Y.
Jika x ij dan y ij keduanya genap, maka dapat dipast ikan bahwa sekurang-kurangnya sat u t it ik let is selain t it ik P i dan P j akan t erlet ak pada ruas garis P i P j , yait u pada pert engahan ruas garis P i P j yang akan berj arak
2 y ij pada arah sumbu Y t erhadap t it ik P i maupun P j dengan 1 x dan 2 1 ij 2 y ij adalah j uga bilangan bulat .
1 x pada arah sumbu X dan 1
2 ij
Sif at penj umlahan berikut j uga akan membant u menj elaskan : Bilangan Genap − Bilangan Genap = Bilangan Genap Bilangan Ganj il − Bilangan Ganj il = Bilangan Genap.
Kemungkinan j enis koordinat (dalam bahasa lain disebut parit as) suat u t it ik let is hanya ada 4 kemungkinan yait u (genap, genap), (genap, ganj i l), (ganj il, ganj il) dan (ganj il, genap). Jika 2 t it ik let is mempunyai parit as yang sama maka sesuai sif at penj umlahan maka dapat dipast ikan kedua t it ik let is memiliki j arak mendat ar dan j arak vert ikal merupakan bilangan genap yang berart i koordinat t it ik t engah dari garis yang menghubungkan kedua t it ik let is t ersebut j uga merupakan bilangan genap.
Karena ada 5 t it ik let is sedangkan hanya ada 4 parit as t it ik let is maka sesuai Pigeon Hol e Principl e (PHP) maka dapat dipast ikan sekurang-kurangnya ada dua t it ik let is yang memiliki parit as yang sama.
Dari penj elasan di at as dapat dibukt ikan bahwa j ika P 1 , P 2 , P 3 , P 4 , P 5 adalah lima t it ik let is berbeda pada bidang maka t erdapat sepasang t it ik (P i , P j ), i ≠ j , demikian, sehingga ruas garis P i P j memuat sebuah t it ik let is selain P i dan P j .
Cont oh 75 : Tunj ukkan bahwa di ant ara t uj uh bilangan bulat posit if berbeda yang t idak lebih dari 126, kit a selalu
dapat menemukan dua di ant aranya, kat akanlah x dan y dengan y > x sedemikian sehingga y 1 < x ≤ 2 .
Solusi : Karena x dan y berbeda maka y
Alt ernat if 1 : • Jika t erdapat salah sat u bilangan t ersebut adalah 1
Maka agar t idak memenuhi syarat maka bilangan t erkecil berikut nya adalah 3. Maka agar hal ini j uga t idak memenuhi syarat maka 4 bilangan t erkecil berikut nya adalah 7, 15, 31, 63. Tet api bilangan maksimal adalah 126 yang mengakibat kan 126 : 63 = 2 (memenuhi syarat pada soal)
• Jika 1 t idak t ermasuk ke dalam 7 bilangan t ersebut Buat bat asan bilangan menj adi enam bagian : 2 1 ≤ a i ≤ 2 2 ; 2 2 ≤ a i ≤ 2 3 ; 2 3 ≤ a i ≤ 2 4 ; 2 4 ≤ a ≤ 2 i 5 ;
Karena ada 7 bilangan dan 6 daerah bagian, maka sesuai Pigeon Hol e Principl e maka akan ada 2 bilangan berada pada sat u daerah yang sama. Pada masing-masing daerah nilai t erkecil adalah 2 k dan t ert ingginya adalah 2 k+1 yang menyebabkan rasio bilangan t erbesar dan t erkecil adalah 2.
sedemikian sehingga y 1 <
Alt ernat if 2 : Bagi 126 bilangan bulat posit if t ersebut ke dalam 6 himpunan : {1, 2}, {3, 4, 5, 6}, {7, 8, ⋅⋅⋅ , 14}, {15, 16, ⋅⋅⋅ , 30}, {31, 32, ⋅⋅⋅ , 62}, {63, 64, ⋅⋅⋅ , 126}. Karena ada 7 bilangan dan 6 himpunan maka sesuai Pigeon Hol e Principle (PHP) maka sedikit nya dua bilangan berada pada sat u himpunan yang sama. Misalkan dua bilangan x dan y berada pada sat u
himpunan yang sama t ersebut . Maka berlaku y 1 <
x ≤ 2 (t erbukt i)
Cont oh 76 : Seorang pemain cat ur memiliki wakt u 11 minggu unt uk menyiapkan diri mengikut i sebuah t urnamen. Ia memut uskan unt uk berlat ih sedikit nya sat u permainan set iap hari, namun t idak lebih dari 12 permainan selama seminggu. Perlihat kan bahwa ada beberapa hari bert urut -t urut yang selama it u pecat ur t ersebut berlat ih t epat 21 permainan.
Solusi : Misalkan a r menyat akan banyaknya permainan cat ur dalam r hari pert ama dengan 1 ≤ r ≤
77. Berdasarkan
soal maka kit a akan membukt ikan bahwa t erdapat a j − a i = 21. Jelas bahwa 1 ≤ a 1 <a 2 <a 3 < ⋅⋅⋅ <a 77 .
Karena dalam 1 minggu grandmast er memainkan paling banyak 12 permainan maka a 77 ≤ 12 ⋅
a 77 + 21 ≤ 153 Perhat ikan 154 bilangan a 1 , a 2 , a 3 , ⋅⋅⋅ , a 77 , a 1 + 21, a 2 + 21, a 3 + 21, ⋅⋅⋅ , a 77 + 21 yang semuanya t erlet ak
ant ara 1 dan 153. Karena banyaknya bilangan 154 sedangkan kemungkinan nilai bilangan hanya 153 maka berdasarkan
Pigeon Hol e Principl e maka akan t erdapat dua bilangan yang sama. Karena a 1 , a 2 , ⋅⋅⋅ , a 77 semuanya berbeda maka akan t erdapat a j dan a i + 21 yang sama.
a j =a i + 21 sehingga a j − a i = 21
Maka akan t erdapat banyaknya t ot al permainan hari ke-(i +1), (i + 2), ⋅⋅⋅ , j t epat sama dengan 21.
LAT IHAN 4
1. (OSP 2010) Pada suat u bidang t erdapat n t it ik yang berkoordinat pasangan bilangan bulat . Nilai n t erkecil agar t erdapat dua t it ik yang t it ik t engahnya j uga berkoordinat pasangan bilangan bulat adalah ⋅⋅⋅
2. (OSP 2006) Misalkan m bilangan asli yang memenuhi 1003 < m < 2006. Diberikan himpunan bilangan asli S = {1, 2, 3, ⋅⋅⋅ , m}, berapa banyak anggot a S harus dipilih agar selalu t erdapat paling sedikit sat u pasang anggot a t erpilih yang hasil t ambahnya 2006 ?
3. Tandai sat u buah kart u dengan angka 1, dua buah kart u dengan angka 2, t iga buah kart u dengan angka sat u hingga lima puluh buah kart u dengan angka 50. Semua kart u t ersebut dimasukkan ke dalam kot ak. Berapa buah kart u minimal yang harus diambil agar dapat dipast ikan t erdapat sekurang- kurangnya 10 buah kart u dengan t anda angka yang sama ?
4. Diambil n buah bilangan dari himpunan 2008 bilangan {1, 2, 3, …, 2008}. Tent ukan nilai n minimal sehingga past i akan didapat dua bilangan asli berbeda di ant aranya yang memenuhi penj umlahan kedua bilangan t ersebut habis dibagi 8.
5. Dua buah kot ak berisi bola. Jumlah t ot al bola di kedua kot ak t ersebut adalah 65. Ada 4 buah warna bola : merah, put ih, hit am dan hij au. Selain it u, j ika kit a mengambil 5 buah bola yang berwarna sama 5. Dua buah kot ak berisi bola. Jumlah t ot al bola di kedua kot ak t ersebut adalah 65. Ada 4 buah warna bola : merah, put ih, hit am dan hij au. Selain it u, j ika kit a mengambil 5 buah bola yang berwarna sama
6. Jika diket ahui m buah bilangan bulat a 1 , a 2 , a 3 , ⋅⋅⋅ , a m , t unj ukkan bahwa ada bilangan bulat k dan s dengan 0 ≤ k<s ≤ m sedemikian sehingga a k+1 +a k+2 + ⋅⋅⋅ +a s habis dibagi m.
7. Di ant ara bilangan-bilangan 1, 2, ⋅⋅⋅ , 200, j ika 101 bilangan diambil, maka t unj ukkan bahwa ada dua bilangan di ant ara yang t erambil sedemikian sehingga yang sat u habis dibagi yang lain.
8. Bukt ikan bahwa j ika 100 bilangan diambil dari himpunan 1, 2, 3, ⋅⋅⋅ , 200 sedemikian sehingga sedikit nya sat u diant aranya lebih kecil dari 15, maka ada dua di ant ara yang t erpilih sehingga yang sat u habis dibagi yang lain.
9. Misalkan bilangan-bilangan 1 sampai 20 dit empat kan dalam urut an bagaimana pun pada sebuah lingkaran. Tunj ukkan bahwa :
a. ada t iga bilangan berdekat an yang j umlahnya sedikit nya 32
b. ada empat bilangan berdekat an yang j umlahnya sedikit nya 42
10. Tit ik l et is pada ruang adalah t it ik yang mempunyai koordinat berupa t ripel bilangan bulat (Cont oh : (3, 4, 5); (3, − 4, 6)).
Misalkan P 1 , P 2 , P 3 , P 4 , P 5 , P 6 , P 7 , P 8 , P 9 adalah sembilan t it ik let is berbeda pada ruang. Bukt ikan bahwa t erdapat sepasang t it ik (P i , P j ), i ≠ j , demikian, sehingga ruas garis P i P j memuat sebuah t it ik let is selain P i dan P j .
11. Bukt ikan bahwa j ika dalam sebuah grup 6 orang, set iap 2 orang hanya dapat selalu bersahabat at au selalu bermusuhan, maka ada sedikit nya 3 orang yang saling bersahabat at au saling bermusuhan sat u sama lain.
12. Di dalam suat u pest a t erdapat n orang dan mereka saling bersalaman. Jika di ant ara 2 orang t idak ada yang bersalaman lebih dari 1 kali, bukt ikan bahwa ada sedikit nya 2 orang bersalamaan dalam j umlah yang sama.
13. Diberikan 7 bilangan real. Bukt ikan bahwa kit a dapat memilih dua di ant aranya kat akan a dan b
tan α − tan β sehingga 0≤ − 1 + ab ≤ 3 . (Pet unj uk : Rumus yang dapat digunakan adalah tan (α − β) = 1 + tan α tan β )
14. Terdapat 115 bola yang dij aj arkan pada sat u garis lurus dan t erdapat 60 bola merah di ant aranya. Masing-masing bola diberi nomor berbeda sesuai dengan urut annya yait u nomor 1 sampai 115. Tunj ukkan bahwa sedikit nya ada 2 bola merah yang t erpisah 4 bola (Misalnya bola merah dengan nomor 5 dan 9 sert a nomor 36 dan 40 memenuhi syarat ini).
15. Bukt ikan bahwa j ika t erdapat 19 t it ik dalam bidang XY yang memiliki koordinat berupa pasangan bilangan bulat dengan t idak ada t iga t it ik yang t erl et ak dalam sat u garis lurus, maka dapat dipast ikan ada t iga di ant aranya memiliki t it ik berat yang j uga merupakan pasangan bilangan bulat .
16. (ME V6N1) Dua puluh delapan bilangan bulat diambil dari himpunan H = {104, 105, 106, 107, ⋅⋅⋅ , 208}. Tunj ukkan bahwa t erdapat dua bilangan yang keduanya mempunyai f akt or persekut uan prima.
KUNCI JAWABAN LATIHAN
BAB I ALJABAR
LATIHAN 1 LATIHAN 2
LATIHAN 5A 1. 3
LATIHAN 2 LATIHAN 3 LATIHAN 4
5. 40300 23. 0 at au 5 5. 3x − 23 5. 3
10. a=b=c= 3 11. 6
10. 6 at au − 2 6 − 1 11. 27 32 1002 29. 2003 19 11. 2009
d = 3 5 2 − 1 12. 2
16. Terbukt i
14. x = 1 + 5 2 17. 1 24 4 n + 5 n 12 3 35. t erbukt i
17. Terbukt i 15. 20
+ 35 n 2 + 24 25 12 n 17. 727 18. 383 16. Terbukt i
19. Terbukt i 19. 6 20. Terbukt i
20. Terbukt i
LATIHAN 5B LATIHAN 5C
LATIHAN 7 1. 1 1. 12
LATIHAN 5D
LATIHAN 5E
1. t idak ada 1. 3
4. Terbukt i 5. 27
4. 1
or (x+3) 2 +(y+4) 2 =25
4. (1 + 2 3 , 0) 5. 18 5 4. 2
6. 4 √ 3 & (1 − 2 3 , 0) 6. 12
5. Terbukt i
6. x=y=u=v=1/ 4
8-10. Terbukt i
( − 2, − 2, − 2) 13-17. Terbukt i
11. 1 10. + ( 7 21 , 7 ) 19-20. Terbukt i
18. 0
11 + 4 7 22 8
( 21 , 7 ) 21. 5
16
11 4 7 22 8 7 12. 140 − −
13. 23 22-27. Terbukt i
BAB II TEORI BILANGAN
3. 60 4. Terbukt i
4. 1, 3, 16, 33 dan 67 4. 140 5. Terbukt i
5. 37 6. Terbukt i
11. Terbukt i
12. Terbukt i
11. Terbukt i
12. Terbukt i
13. ganj il = 12
14. Terbukt i
genap = 36
15. 630 16. Terbukt i
18. Terbukt i 19. Terbukt i
24. 0 4. Terbukt i
25. 3 5. Tidak ada
26. Tidak ada
7. 1 < x ≤ 4 3 8. 144
28. 2 8. Terbukt i
10. Terbukt i
13. Terbukt i
12000, ⋅⋅⋅ , 90 16. a. Belum ; b. Past i 17. Terbukt i 18. 173 19. 73 20. 1
BAB III GEOMETRI
LATIHAN 1
LATIHAN 2
LATIHAN 3A
LATIHAN 3C
LATIHAN 3D
1. 6 34 1. (2 √ √ 2, 4 2) 1. 36 o 1. 11 3 1. 3 + √ 3 2. Terbukt i
4. Terbukt i
4. 1 2 o
9 k 4. 60 4. 4 4. Terbukt i
6. Terbukt i
7. Terbukt i
7. 2 √ 10 7. 1 12 8. Terbukt i
8. 161 3 8. 441 9. Terbukt i
9. Terbukt i
9. Terbukt i
9. Terbukt i
10. 1 2 10. Terbukt i
12. 13 4 − √ 10 LATIHAN 3B 12. 27 13. 1
1. 12 5 13. PD=PE=PF=1 14. 16 7 2. 28 14. 5 168 295
15. 1 2 √ 3 3. 12 5 15. Terbukt i 16. 159
4. 5 16. Terbukt i
17. 6 5. Terbukt i
LATIHAN 3E
LATIHAN 3F
4. Terbukt i
5. Terbukt i 5. 2007
5. 70 o
6. Terbukt i
9. Terbukt i
9. 11 63 10. Terbukt i
11. Terbukt i 12. Terbukt i 13. Terbukt i
BAB IV KOMBINATORIK
LATIHAN 1. A
LATIHAN 1F 1. a. 240 ; b. 480
LATIHAN 1. B
LATIHAN 1. C
LATIHAN 1. D
1. Terbukt i 2. 5040
− 1458x 5 y 4. 240
+ 1215x 4 y 2 5. 120
− 540x 3 y 3 6. 8400
+ 135x 2 y 4 7. 720
9. 380 pert ; 140 seri
LATIHAN 1E
6. 20160 13. a. 98 ; b. 60
29. a. 210 ; b. 90 ; c. 45 30 Terbukt i 31. 56 32. 64 33. 120 34. 1
LATIHAN 2D
LATIHAN 4 1. 10/ 36
LATIHAN 2E
LATIHAN 3A
2. 1004 3. a. 1/ 21 ; b. 5/ 42
5. Terbukt i 5. 21/ 25
6. Terbukt i 6. 1/ 2006
7. Terbukt i
8. Terbukt i 8. 8/ 9
d. 2/ 15
9. Terbukt i 9. 1/ 2007
LATIHAN 3B 10. Terbukt i 10. 1/ 32
11. Terbukt i 11. 1/ 3
12. Terbukt i 12. 21
LATIHAN 2F
13. Terbukt i 13. 16/ 81
14. Terbukt i 14. a. 6/ 11 ; b. 5/ 88
15. Terbukt i c. 35/ 88
16. Terbukt i 15. 10/ 21
7. a. 0, 97 ; b. 0, 68
c. 0, 17 ; d. 0, 12
e. 1
DAFTAR PUSTAKA
1. Anderson, Ian. 2002. A Fi r st Cour se i n Di scr et e Mat hemat i cs. Springer-Verlag, London.
2. Budhi, Wono Set ya. 2006. Langkah Awal Menuj u ke Ol impi ade Mat emat ika. Ricardo, Jakart a.
3. Clark, W. Edwin. 2003. El ement ar y Number Theor y. Depart ment of Mat hemat ics Universit y of Sout h Florida.
4. Engel, Art hur. 1998. Pr obl em-Sol vi ng St r at egi es. Springer-Verlag, New York.
5. Haese, R. C. dan Haese, S. H. 1981. Compet it i on Mat hemat ics. Haese Publicat ions.
6. Manf rino RB, dkk. 2005. Inequal i t ies. Inst it ut o de Mat emat icas Universidad Nacional Mexico.
7. Posament ier, Alf red S dan Salkind, Charles. 1988. Chal l engi ng Pr obl ems i n Geomet r y. Dover Publicat ions Inc, Newyork.
8. Susant o H. , Sisworo, dan As’ ari, AR. 2006. Napak Ti l as Ol i mpi ade Sai ns Nasi onal : Mat emat i ka SMP. Universit as Negeri Malang Press.
9. Susiant o, Bambang. 2006, Ol i mpi ade Mat emat i ka dengan Pr oses Ber pi ki r : Al j abar dan Bi l angan. Grasindo, Jakart a.
10. Wirodikromo, Sart ono. 1995. Mat emat i ka unt uk SMU Kel as 1 Cat ur Wul an 3. Erlangga, Jakart a.
11. Wirodikromo, Sart ono. 2000. Mat emat i ka unt uk SMU Kel as 3 Cat ur Wul an 1. Erlangga, Jakart a.
12. Zeit h, Paul. 2007. The Ar t and Cr af t of Pr obl em Sol vi ng. Jon Wiley and Son.
RIWAYAT HIDUP PENULIS
Eddy Hermanto lahir di Desa Bunut Tinggi, Kecamatan Talo, Kabupaten Bengkulu Selatan (sekarang Kabupaten Seluma) pada tanggal 9 September 1979. Pendidikan SD dan SLTP diselesaikannya di Lampung, yaitu SD di SD Negeri 2 Bandar Jaya, Lampung Tengah dan SLTP di SMP Negeri Bandar Jaya, Lampung Tengah. Sedangkan pendidikan SLTA dilaluinya di SMU Negeri 5 Bengkulu. Penulis yang juga merupakan putera asli Bengkulu ini kemudian melanjutkan pendidikan S1 ke Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Gadjah Mada Yogyakarta pada tahun 1997 yang
diselesaikannya pada bulan Februari 2002 dengan predikat Cum Laude.
Saat ini Penulis bekerja sebagai PNS di Pemerintah Kota Bengkulu pada Bagian Penyusunan Program Setda Kota Bengkulu yang telah digeluti sejak Desember 2002. Selain bekerja di Pemerintah Kota Bengkulu, Penulis juga aktif membina siswa-siswa di SMA N 5 Bengkulu baik dalam persiapan menghadapi Ujian Masuk Universitas Gadjah Mada (UM-UGM), Seleksi Penerimaan Mahasiswa baru (SPMB) maupun ketika SMA N
5 Bengkulu akan menghadapi perlombaan-perlombaan baik tingkat kota, provinsi maupun nasional. Penulis juga pernah beberapa kali diminta membina siswa-siswa dari Provinsi Bengkulu yang akan mengikuti Olimpiade Sains Nasional Bidang Matematika.