Aturan pengisian tempat ( f illing slot s)

A. Aturan pengisian tempat ( f illing slot s)

Misalkan ada n t empat t ersedia dengan k 1 adalah banyaknya cara mengisi t empat pert ama, k 2 adalah banyaknya cara mengisi t empat kedua, dan set erusnya hingga k n adalah banyaknya cara mengisi

t empat ke-n. Maka banyaknya cara mengisi t empat adalah k 1 xk 2 x ⋅⋅⋅ xk n . Cara ini disebut sebagai at uran pengisian t empat dan sering disebut dengan kaidah perkal ian.

Sebagai ilust rasi penyelesaian soal cont oh 1 adalah sebagai berikut : Tempat pert ama adalah memilih celana. Karena banyaknya celana ada 3, maka banyaknya cara memilih celana ada 3 sedangkan banyaknya cara memilih baj u ada 4. Maka banyaknya cara memilih pasangan celana dan baj u ada 4 ⋅ 3 = 12 cara.

Unt uk soal pada cont oh 2, banyaknya cara memilih t empat pert ama ada 3 cara karena bukunya ada 3. Unt uk memilih buku yang kedua hanya t inggal 2 cara karena sat u buku sudah dipilih pada t empat pert ama. Banyaknya cara memilih dua buku adalah 3 ⋅ 2 = 6 cara.

Cont oh 3 : Berapa banyak cara menyusun huruf -huruf R, A, J, I, N j ika

a) huruf pert ama dimulai dari huruf hidup (vokal)

b) huruf pert ama dimulai dari huruf mat i (konsonan)

Solusi :

a) Banyaknya cara memilih huruf pert ama ada 2 yait u A at au I. Karena huruf A at au I sudah dipakai sebagai huruf pert ama maka banyaknya cara memi lih huruf kedua t inggal 4 cara. (Misalkan huruf pert ama adalah A maka kemungkinan huruf kedua ada 4 yait u R, J, I at au N. ) Banyaknya cara memilih huruf ket iga ada 3 cara, huruf keempat ada 2 cara dan huruf kelima t inggal 1 cara. Banyaknya cara menyusun huruf t ersebut ada 2 x 4 x 3 x 2 x 1 = 48 cara.

b) Banyaknya cara memilih huruf pert ama ada 3 yait u R, J at au N. Banyaknya cara memilih huruf kedua, ket iga, keempat dan kelima bert urut -t urut ada 4, 3, 2, dan 1 cara. Banyaknya bilangan yang dapat dibent uk ada 3 x 4 x 3 x 2 x 1 = 72 cara.

Sembilan orang siswa akan duduk pada 5 kursi sej aj ar. Ada berapa cara susunan mereka ?

Solusi : Kursi pert ama ada 9 kemungkinan. Karena seorang siswa t idak akan mungkin duduk pada 2 kursi dalam wakt u yang bersamaan maka banyaknya kemungkinan yang duduk pada kursi kedua t inggal 8. Dan set erusnya. Banyaknya cara susunan mereka adal ah 9 x 8 x 7 x 6 x 5 = 15120.

Cont oh 5 : Dari lima angka 0, 3, 4, 5, 7 akan dibent uk sebuah bilangan yang t erdiri dari 4 angka. Berapa banyak bilangan yang dapat dibent uk j ika :

a) angka-angkanya boleh berulang

b) angka-angkanya t idak boleh berulang

Solusi :

a) Angka pert ama sebagai ribuan dapat dipilih 4 kemungkinan yait u 3, 4, 5 at au 7. Angka 0 t idak mungkin menj adi angka pert ama sebab akan menyebabkan bilangan yang dibent uk hanya t erdiri dari 3 angka. Karena boleh berulang maka angka rat usan, puluhan dan sat uan masing-masing dapat dipilih 5 kemungkinan. Banyaknya bilangan yang t erbent uk ada 4 x 5 x 5 x 5 = 500 bil angan.

b) Angka pert ama sebagai ribuan dapat dipilih 4 cara. Karena t idak boleh berulang sedangkan sat u angka sudah dipakai pada angka pert ama maka banyaknya cara memilih angka kedua hanya t inggal 4 cara. (Misalkan angka pert ama dipilih 3 maka pilihan pada angka kedua adalah 0, 4, 5 at au 7. ) Banyaknya pilihan pada angka ket iga ada 3 cara dan banyaknya pilihan pada angka keempat ada 2 cara. Banyaknya bilangan yang dapat dibent uk ada 4 x 4 x 3 x 2 = 96 bilangan.

Cont oh 6 : Denny akan membent uk bilangan genap 3 angka yang angka-angkanya diambil dari 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Berapa banyak bilangan yang dapat dibent uk j ika :

a) angka-angkanya boleh berulang

b) angka-angkanya t idak boleh berulang

Solusi :

a) Angka pert ama sebagai rat usan dapat dipilih 7 kemungkinan. Angka kedua dapat dipilih j uga dari

7 kemungkinan. Karena bilangan t ersebut genap maka angka sat uan hanya dapat dipilih dari 4 kemungkinan yait u 2, 4, 6 at au 8. Banyaknya bilangan yang t erbent uk ada 7 x 7 x 4 = 196 bilangan.

b) Sebuah bilangan dikat akan genap at au ganj il cukup dengan melihat angka sat uannya. Karena bilangan t ersebut genap maka pemilihan pert ama dilakukan pada angka sat uan. Angka sat uan dapat dipilih dari 4 kemungkinan, yait u 2, 4, 6 at au 8. Angka puluhan dapat dipilih dari 6 cara sedangkan angka rat usan dapat dipilih dari 5 kemungkinan. Banyaknya bilangan yang dapat dibent uk ada 5 x 6 x 4 = 120 bilangan.

Cont oh 7 : Dari t uj uh angka 1, 3, 5, 6, 7, 8, 9, Furkan akan membent uk sebuah bilangan 3 angka dan lebih dari 600. Berapa banyak bilangan yang dapat dibent uk j ika :

a) angka-angkanya boleh berulang

b) angka-angkanya t idak boleh berulang

Sebuah bilangan 3 angka dikat akan lebih dari 600 j ika digit rat usan sekurang-kurangnya 6.

a) Angka pert ama sebagai rat usan dapat dipilih 4 kemungkinan, yait u 6, 7, 8 at au 9. Angka kedua dapat dipilih j uga dari 7 kemungkinan. Angka sat uan j uga dapat dipilih dari 7 kemungkinan. Banyaknya bilangan yang t erbent uk ada 4 x 7 x 7 = 196 bilangan.

b) Angka pert ama sebagai rat usan dapat dipilih 4 kemungkinan, yait u 6, 7, 8 at au 9. Angka puluhan dapat dipilih dari 6 cara sedangkan angka sat uan dapat dipilih dari 5 kemungkinan. Banyaknya bilangan yang dapat dibent uk ada 4 x 6 x 5 = 120 bilangan.

Cont oh 8 : Hansen mendapat kan t ugas membent uk sebuah bilangan t iga angka kurang dari 500 yang angka-angka adalah 2, 3, 4, 5, 6, 7 at au 9. Berapa banyak bilangan yang dapat dibent uk j ika :

a) angka-angkanya boleh berulang

b) angka-angkanya t idak boleh berulang

Solusi : Sebuah bilangan 3 angka dikat akan kurang dari 500 j ika digit rat usan kurang dari 5.

a) Angka pert ama sebagai rat usan dapat dipilih 3 kemungkinan, yait u 2, 3 at au 4. Angka kedua dapat dipilih dari 7 kemungkinan. Angka sat uan j uga dapat dipilih dari 7 kemungkinan. Banyaknya bilangan yang t erbent uk ada 3 x 7 x 7 = 147 bilangan.

b) Angka pert ama sebagai rat usan dapat dipilih 3 kemungkinan, yait u 2, 3 at au 4. Angka puluhan dapat dipilih dari 6 cara sedangkan angka sat uan dapat dipilih dari 5 kemungkinan. Banyaknya bilangan yang dapat dibent uk ada 3 x 6 x 5 = 90 bilangan.

Cont oh 9 : Dari t uj uh angka 1, 3, 4, 5, 6, 8, 9 akan dibent uk sebuah bilangan 3 angka dan lebih dari 500. Berapa banyak bilangan genap yang dapat dibent uk j ika :

a) angka-angkanya boleh berulang

b) angka-angkanya t idak boleh berulang

Solusi :

a) Angka pert ama sebagai rat usan dapat dipilih 4 kemungkinan, yait u 5, 6, 8 at au 9. Angka kedua dapat dipilih dari 7 kemungkinan. Angka sat uan dapat dipilih dari 3 kemungkinan. Banyaknya bilangan yang t erbent uk ada 4 x 7 x 3 = 84 bilangan.

b) Pada bagian inilah t imbul sebuah permasalahan. Jika kit a menj awab banyaknya bilangan adalah 4 x 5 x 3 dengan alasan bahwa banyaknya bilangan yang mungkin unt uk angka rat usan ada 4 dan angka sat uan ada 3 sedangkan sisa bilangan t inggal 5 maka j awaban t ersebut adalah keliru. Jika angka rat usan yang dipilih adalah 5 at au 9 maka banyaknya kemungkinan angka sat uan memang benar ada 3 yait u 4, 6 at au 8. Tet api bila angka rat usan yang dipilih adalah 6 at au 8 maka angka sat uan yang mungkin dipi lih hanya t inggal 2. Sedangkan j ika kit a menj awab banyaknya bilangan adalah 4 x 5 x 2 j uga mengandung kesalahan dengan alasan bahwa j ika angka rat usan yang ki t a pilih adalah 5 at au 9 maka kemungkin angka sat uan yang dipilih adalah t et ap 3. Lalu bagaimana cara kit a menj awab soal ini ? Ada dua alt ernat if yang akan dibahas.

Alt ernat if 1 : Sudah dij elaskan bahwa banyaknya kemungkinan unt uk angka rat usan ada 4 namun pemilihan angka rat usan t ernyat a menimbulkan dampak yang berbeda unt uk angka sat uan. Maka penyelesaian soal ini adalah dengan membagi kasus t erhadap pemilihan angka rat usan. Kasus pert ama adalah j ika angka rat usannya adalah 5 at au 9. Banyaknya cara memilih angka rat usan ada 2. Banyaknya kemungkinan angka sat uan t et ap ada 3 sedangkan angka puluhan t inggal 5 kemungkinan. Banyaknya bilangan unt uk kasus pert ama ini adalah 2 x 5 x 3 = 30 bilangan.

ada 2, yait u 6 at au 8 t ersebut . Banyaknya kemungkinan angka sat uan t inggal 2. Penj elasannya adalah j ika angka rat usan yang dipilih adalah 6 maka kemungkinan angka sat uannya adalah 4 at au

8 sedangkan j ika angka rat usan yang dipilih adal ah 8 maka kemungkinan angka sat uannya adalah 4 at au 6. Sedangkan angka puluhan t inggal 5 kemungkinan. Banyaknya bilangan unt uk kasus kedua ini adal ah 2 x 5 x 2 = 20 bilangan. Banyaknya bilangan yang dapat dibent uk ada 30 + 20 = 50 bilangan.

Alt ernat if 2 : Caranya sebenarnya sama dengan alt ernat if 1, t et api kit a memulainya dari angka sat uan. Kit a bagi kasus pemilihan angka sat uan menj adi 2 kasus. Kasus pert ama adalah j ika angka sat uan yang dipilih adalah 4. Banyaknya cara memilih hanya ada

1. Angka rat usan yang dipilih t et ap ada 4 kemungkinan yait u 5, 6, 8 at au 9. Sedangkan angka puluhan t inggal 5 kemungkinan. Banyaknya bilangan unt uk kasus pert ama ini adalah 1 x 5 x 4 = 20 bilangan. Kasus kedua adalah j ika angka sat uan yang dipilih adal ah 6 at au 8. Banyaknya cara memilih ada 2. Angka rat usan yang dipilih t inggal 3 kemungkinan. Sedangkan angka puluhan t inggal 5 kemungkinan. Banyaknya bilangan unt uk kasus kedua ini adalah 2 x 5 x 3 = 30 bilangan. Banyaknya bilangan yang dapat dibent uk ada 20 + 30 = 50 bilangan.

LAT IHAN 1. A

1. Berapa banyak cara menyusun huruf -huruf K, A, N, T, O, R j ika

a. huruf pert ama dimulai dari huruf hidup (vokal)

b. huruf pert ama dimulai dari huruf mat i (konsonan)

2. Tuj uh orang siswa akan duduk pada 7 kursi sej aj ar. Ada berapa cara susunan mereka ?

3. Suat u keluarga t erdiri dari 2 orang put era dan 3 orang put eri. Apabila kelima orang t ersebut berdiri sej aj ar dengan posisi yang put ra selalu mengapit yang put ri, maka ada berapa f ormasi yang mungkin ?

4. Sebagai panit ia perlombaan sepakbola, Furkan mencoba menyusun t uj uh buah bendera A, B, C, D,

E, F dan G pada posisi sej aj ar. Ada berapa banyak cara penyusunan j ika diinginkan bendera A dan

B berada di uj ung ?

5. Weki mencoba membent uk sebuah bilangan 3 angka dengan angka-angkanya t idak boleh ada yang sama dan angka-angka t ersebut diambil dari 3, 5, 6, 7, 8 dan 9. Ada berapa banyak bilangan yang dapat dibent uk ?

6. Ada berapa banyak bilangan posit if genap t erdiri dari 5 angka berbeda dapat dibuat j ika t idak ada sat u pun angka 5 sert a angka ribuan harus angka 0 ?

7. Pada sebuah klub dansa, t erdapat 6 laki-laki dan 6 perempuan yang akan melakukan lat ihan. Dalam lat ihan ini, laki-laki harus dipasangkan dengan perempuan. Ada berapa banyak carakah membent uk 6 pasangan ini ?

8. Edwin sedang menyusun suat u bilangan t iga angka dengan angka-angka : 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8. Jika bilangan it u t idak memuat angka yang sama, maka ada berapa banyaknya bilangan yang dapat dibent uk dengan syarat bilangan t ersebut genap ?

9. Dari angka 3, 5, 6, 7 dan 8 dibuat bilangan yang t erdiri dari t iga angka berbeda. Di ant ara bilangan-bilangan t ersebut yang t erlet ak ant ara 300 dan 800 ada sebanyak ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

10. Dari angka-angka : 1, 2, 4, 5, 7, 8 akan disusun suat u bilangan yang t erdiri at as 3 angka. Jika bilangan it u t idak memuat angka yang sama, maka ada berapa banyaknya bilangan yang dapat dibent uk dengan syarat bilangan t ersebut lebih dari 245 ?

11. (OSK 2003) Ada berapa banyak bilangan 4-angka (digit ) yang semua angkanya genap dan bukan merupakan kelipat an 2003 ?

12. Sebuah bilangan 4 angka dibent uk dengan 3 angka di ant aranya adalah 3, 4 dan 6. Jika keempat angkanya berbeda sert a bilangan t ersebut habis dibagi 3, maka ada berapa bilangan yang dapat dibent uk ?

13. Hansen sedang membent uk sebuah bilangan 3 angka kurang dari 600 yang angka-angkanya diambil dari 0, 3, 4, 6, 7, 8 dan 9. Ada berapa banyak bilangan yang dapat dibent uk j ika :

a. angka-angkanya boleh berulang

b. angka-angkanya t idak boleh berulang

14. Ada berapa banyak bilangan yang dapat dibent uk ol eh Furkan dengan syarat : bilangan t ersebut 4 angka, lebih dari 4000 dan angka-angkanya diambil dari 0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, dan 9 ?

a. angka-angkanya boleh berulang

b. angka-angkanya t idak boleh berulang

15. Put u Wira sedang merancang sebuah bendera 6 st rip vert ikal. Warna masing-masing st rip vert ikal harus menggunakan sebagian at au keseluruhan warna kuning, hij au, biru at au merah. Dalam berapa banyak rancangan ini dapat dibuat bila dua st rip berdekat an t idak boleh berwarna sama ?

16. Dari angka-angka : 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8 akan disusun suat u bilangan ganj il yang t ediri at as 3 angka. Jika bilangan it u t idak memuat angka yang sama dan kurang dari 500, maka ada berapa banyaknya bilangan yang dapat dibent uk ?

17. Ada berapa banyak bilangan genap 3 angka, angka-angkanya t idak berulang dan kurang dari 600 dapat dibent uk j ika angka-angkanya diambil dari 0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8 ?

18. (OSK 2004) Nomor polisi mobil-mobil di suat u daerah selalu t erdiri dari 4 angka. Jika j umlah keempat angka pada set iap nomor j uga harus genap sert a angka 0 t idak boleh menj adi angka pert ama, maka ada berapa banyak sist em penomoran mobil yang dapat dibent uk ?

19. Buah bent eng pada permainan cat ur mempunyai kemampuan unt uk bergerak at au ” memakan” buah lawan pada pet ak-pet ak yang berada pada sat u garis horizont al at au sat u garis vert ikal dengan dirinya. Hansen mencoba menyusun 3 buah bent eng yang ket iganya dianggap berbeda warna pada papan cat ur 8 x 8 sehingga ket iga bent eng t ersebut t idak saling ” makan” . Ada berapa cara penyusunan yang dapat dilakukannya ?

20. Pada suat u t urnamen diikut i oleh 6 t im dengan sist em pert andingan sebagai berikut : Tim F melawan Tim E dan t im yang kalah sebagai j uara 6 sedangkan yang menang menghadapi t im D. Yang kalah sebagai j uara 5 sedangkan pemenangnya menghadapi t im C. Yang kalah sebagai j uara

4 sedangkan pemenangnya menghadapi t im B. Yang kalah sebagai j uara 3 sedangkan pemenangnya menghadapi t im A. Yang kalah sebagai j uara 2 sedangkan pemenangnya j uara 1. Ada berapa banyak susunan j uara yang dapat dibuat ?