LAT IHAN 1 :

LAT IHAN 1 :

1 Jika A + B = 45 dan cos A sin B =

1. o

6 2 maka cos (B −

⋅⋅⋅⋅⋅ A) =

2. Diket ahui bahwa A, B dan C adalah sudut -sudut dalam segit iga ABC. Maka bukt ikan bahwa pada ∆ ABC t ersebut berlaku t an A + t an B + t an C = t an A ⋅ t an B ⋅ t an C.

3. α , β dan γ adalah besar sudut -sudut suat u segit iga. Jika cot α = − 3 dan cot β = 1, maka cot γ = ⋅⋅

4. Bukt ikan bahwa

(a) sin 3x = 3 sin x − 4 sin 3 x

(b)

3 cos 3x = 4 cos x − 3 cos x

5. o o cos 75 + cos 15 = ⋅⋅⋅⋅⋅

tan 2 + cos 6. 2 Bukt ikan bahwa x x

= sec x − sin x.

sin x + sec x

7. Bukt ikan bahwa cos 3 x − sin 6 x − cos 9 x sin 9 x − cos 6 x − sin 3 x = t an 6x.

8. Jika cos A + cos B = cos C, bukt ikan bahwa cos 3A + cos 3B − cos 3C = − 12 cos A cos B cos C.

9. Jika A + B + C = 180 o , bukt ikan bahwa t an 1 A t an 1 B + t an 1 A t an 1 C + t an 1 B t an 2 1 2 2 2 2 2 C = 1.

10. (AHSME 1999) Misalkan x ∈ R yang memenuhi sec x − t an x = 2. Nilai dari sec x + t an x adalah ⋅⋅⋅⋅

11. (OSP 2009/ AIME 1986) Jika t an x + t an y = 25 dan cot x + cot y = 30, maka nilai t an (x + y) adalah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅

12. 5 (AIME 1995) Jika (1 + sin t )(1 + cos t ) = 4 maka nilai dari (1 − sin t )(1 − cos t ) adalah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅

Tent ukan nilai eksak dari t an 1 o ⋅

13. o t an 2 ⋅

o t an 3 ⋅ ⋅⋅⋅ ⋅ t an 89 .

14. (OSK 2005) Nilai sin 8 75 o − cos 8 75 o = ⋅⋅⋅⋅⋅⋅

15. (OSK 2008) Diket ahui bahwa a dan b adalah besar dua sudut pada sebuah segit iga. Jika sin a + sin b =

2 6 dan cos a + cos b = 2 2 , maka sin (a + b) = ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

16. (AIME 1996) Tent ukan nilai n bulat posit if t erkecil yang memenuhi t an 19n o cos 96 sin 96 = ° + ° cos 96 ° − sin 96 ° .

17. Hit unglah t anpa menggunakan kalkulat or

cosec 10 o + cosec 50 o − cosec 70 o

18. 2 Hit unglah nilai dari sin 6 o + sin 2 42 o + sin 2 66 o + sin 2 78 o .

19. (OSP 2009) Jika x 1 , x 2 , ⋅⋅⋅ , x 2009 bilangan real, maka nilai t erkecil dari cos x 1 sin x 2 + cos x 2 sin x 3 + ⋅⋅⋅ + cos x 2009 sin x 1

adalah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

20. Tent ukan nilai eksak dari sin 18 o .

2. GARIS

Misalkan AB adalah suat u ruas garis dengan koordinat A(x A , y A ) dan B(x B , y B ).

2 Panj ang ruas AB = 2 (

x A − x B )( + y A − y B ) .

Persamaan garis AB akan memenuhi persamaan

Dalam bent uk lain persamaan garis AB dapat j uga berbent uk y = mx + c dengan

B m A = dan nilai c x B − x A

dicari dari t it ik sembarang yang diket ahui t erlet ak pada garis AB. Bent uk lain suat u persamaan garis lurus adalah y − y 1 = m(x − x 1 ) yait u persamaan garis lurus dengan gradien m dan melalui t it ik (x 1 , y 1 )

m pada persamaan garis AB disebut j uga dengan gradien. Nilai m dapat j uga dicari dengan persamaan m = t an α dengan α adalah sudut ant ara garis dengan sumbu X+.

Apa hubungan ant ara dua garis dikait kan t erhadap gradien ?

Dua buah garis l 1 dan l 2 dikat akan sej aj ar j ika m 1 =m 2 .

Dua buah garis l 1 dan l 2 dikat akan t egak lurus j ika m 1 ⋅ m 2 = − 1.

Misalkan sebuah t it ik P t erlet ak pada ruas AB dengan perbandingan AP : PB = m : n maka koordinat

⎛ nx A + mx B ny A + my

Bagaimana hubungan sudut -sudut di ant ara beberapa garis ? Diberikan dua buah garis sej aj ar sert a sebuah garis yang memot ong kedua garis t ersebut .

(i) Dua sudut berpelurus sama dengan 180 o

Sebagai cont oh ∠ A 2 o + ∠ A 3 = 180

(ii) Dua sudut bert olak belakang sama besar

Sebagai cont oh ∠ A 1 = ∠ A 3

(iii) Dua sudut yang sehadapan sama besar

Sebagai cont oh ∠ A 1 = ∠ B 1

(iv) Dua sudut dalam berseberangan selalu sama besar

Sebagai cont oh ∠ A 2 = ∠ B 4

(v) Dua sudut luar berseberangan selalu sama besar

Sebagai cont oh ∠ A 1 = ∠ B 3

(vi) Dua sudut dalam sepihak j umlah sudut nya 180 o

Sebagai cont oh ∠ A 2 + ∠ B 1 = 180 o

(vii) o Dua sudut dalam sepihak j umlah sudut nya 180

Sebagai cont oh ∠ A + ∠ B 1 o 2 = 180

Cont oh 9 : (OSK 2003) Suat u gari s melalui t it ik (m, − 9) dan (7, m) dengan kemiringan m. Berapakah nilai m ?

Solusi :

Gradien =

m = 7 − m m + 9 = 7m − m 2

m − () − 9

m 2 − 6m + 9 = 0 (m − 3) 2 =0 Jadi, m = 3

Cont oh 10 : (OSK 2006) Sebuah garis l 1 mempunyai kemiringan − 2 dan melalui t it ik (p, − 3). Sebuah garis lainnya l 2 , t egaklurus t erhadap l 1 di t it ik (a, b) dan melalui t it ik (6, p). Bila dinyat akan dalam p, maka a =

Solusi :

Persamaan garis l 1 adalah y + 3 = − 2(x − p)

Karena l 2 t egak lurus l 1 maka gradien garis l

2 adalah 2 .

Persamaan garis l 2 adalah y − p= 1 2 (x − 6)

Kedua garis melalui (a, b) maka :

b+3= − 2(a − p) dan b − p= 1 2 (a − 6) Eliminasi b pada kedua persamaan didapat 3 + p = − 2(a − p) − 1 2 (a − 6)

6 + 2p = − 4a + 4p − a+6 Jadi, a = 2 5 p