BILANGAN BULAT, RASIONAL DAN PRIMA

7. BILANGAN BULAT, RASIONAL DAN PRIMA

Secara umum bilangan dibagi menj adi dua yait u bilangan real dan bilangan t idak real. Bilangan real dibagi menj adi dua yait u bilangan rasional dan bilangan t ak rasional.

Bilangan rasional adalah bilangan real yang dapat diubah ke dalam bent uk a b dengan a dan b keduanya bilangan bulat dan b ≠

0 sedangkan bilangan t ak rasional adalah bilangan real yang t idak dapat diubah ke dalam bent uk a b dengan a dan b keduanya bilangan bulat dan b ≠ 0.

Cont oh bilangan t ak rasional adalah √ 2, π , e, 2 log 3 dan sebagainya.

Bilangan rasional dapat dibagi menj adi dua yait u bilangan bulat dan bilangan pecahan. Sebuah bilangan bulat posit if dapat diuraikan menj adi dalam bent uk angka-angkanya. Misalkan

L ABCDE n-1 N adalah suat u bilangan yang t erdiri dari n digit , maka dapat diuraikan menj adi A ⋅ 10 +

B ⋅ 10 n-2 +C ⋅ 10 n-3 +D ⋅ 10 n-4 + ⋅⋅⋅ + N. Sebuah bilangan bulat selalu dapat diubah menj adi bent uk pq + r dengan 0 ≤ r < p. Sehingga j ika sebuah bilangan bulat dibagi oleh p maka kemungkinan sisanya ada p yait u 0, 1, 2, ⋅⋅⋅ , p − 1. Sebagai cont oh j ika sebuah bilangan bulat dibagi ol eh 3 maka kemungkinan sisanya adalah 0, 1 at au 2. Maka set iap bilangan bulat dapat diubah menj adi salah sat u bent uk 3k, 3k + 1 at au 3k + 2 unt uk suat u bilangan bulat k.

Bilangan bulat posit if p > 1 merupakan bilangan prima j ika hanya memiliki t epat dua f akt or posit if yait u 1 dan p it u sendiri sedangkan bilangan bulat n merupakan bilangan komposit j ika n memiliki lebih dari dua

f akt or posit if . Bilangan prima genap hanya ada sat u yait u 2. Beberapa sif at bilangan prima :

(1) Jika p prima maka unt uk sebarang bilangan asli n berlaku p ⏐ n at au FPB(p, n) = 1. (2) Bilangan prima hanya memiliki dua f akt or posit if yait u 1 dan p

(3) Jika p prima membagi n 2 unt uk suat u bilangan asli n maka p ⏐ n.

(4) Jika p ⏐ ab unt uk a dan b bilangan asli maka p ⏐ a at au p ⏐ b. (5) Semua bilangan prima p > 3 memiliki bent uk 6k ± 1.

(6) Fakt or prima t erkecil dari n yang bukan bilangan prima ≤ √ n.

Cont oh 21 : (OSP 2002) Bilangan real 2, 525252 ⋅⋅⋅ adalah bilangan rasional, sehingga dapat dit ulis dalam bent uk m n ,

dimana m, n bilangan-bilangan bulat , n ≠

0. Jika dipilih m dan n yang relat if prima, berapakah m + n ?

Solusi : Misal X = 2, 525252 ⋅⋅⋅ maka 100X = 252, 525252 ⋅⋅⋅ 100X −

X = 252, 525252 ⋅⋅⋅ − 2, 525252 ⋅⋅⋅

99X = 250

X = 250 99 Karena 250 dan 99 relat if prima, maka m = 250 dan n = 99

m + n = 349.

Cont oh 22 : Tent ukan semua kemungkinan sisa j ika bilangan kuadrat dibagi oleh 5.

Solusi : Sebuah bilangan bulat past i t ermasuk ke dalam salah sat u bent uk 5k, 5k + 1, 5k + 2, 5k + 3 at au 5k + 4 unt uk suat u bilangan bulat k.

Jika n = 5k maka n 2 = (5k) 2 ≡ 0 (mod 5) Jika n = 5k + 1 maka n 2 = (5k + 1) 2 ≡ 1 2 (mod 5) ≡ 1 (mod 5) Jika n = 5k + 2 maka n 2 = (5k + 2) 2 ≡ 2 2 (mod 5) ≡ 4 (mod 5) Jika n = 5k + 3 maka n 2 = (5k + 3) 2 ≡ 3 2 (mod 5) ≡ 4 (mod 5) Jika n = 5k + 4 maka n 2 = (5k + 4) 2 ≡ 4 2 (mod 5) ≡ 1 (mod 5)

Jadi, j ika bilangan kuadrat dibagi oleh 5 maka kemungkinan sisanya adalah 0, 1 at au 4.

Cont oh 23 : Carilah bilangan bulat yang t erdiri dari 6 angka dengan angka t erakhir 7 yang menj adi 5 kali bilangan semula j ika angka t erakhir t ersebut t empat nya dipindahkan menj adi angka pert ama.

Solusi : Misal bilangan t ersebut adalah N = ABCDE7, maka 700000 + 10000A + 1000B + 100C + 10D + E = 5 (100000A + 10000B + 1000C + 100D + 10E + 7) 490000A + 49000B + 4900C + 490D + 49E = 699965 10000A + 1000B + 100C + 10D + E = 14285 Maka : A = 1 ; B = 4 ; C = 2 ; D = 8 ; E = 5 Jadi, b ilangan t ersebut adalah 142857

Cont oh 24 : Suat u bilangan t erdiri dari 2 angka. Bilangan t ersebut sama dengan 4 kali j umlah kedua angka t ersebut . Jika angka kedua dikurangi angka pert ama sama dengan 2, t ent ukan bilangan t ersebut .

Solusi : Misal bilangan it u adalah ab maka 10a + b = 4(a + b) sehingga 2a = b Karena b − a = 2 maka 2a − a = 2.

a = 2 dan b = 4 Jadi bilangan t ersebut adalah 24.

Cont oh 25 : Berapakah banyaknya bilangan 3 angka abc (dengan a > 0) sehingga nilai a 2 +b 2 +c 2 membagi 26 ?

Solusi :

Karena a 2 +b 2 +c 2 membagi 26 maka a 2 +b 2 +c 2 memiliki 4 kemungkinan nilai.

2 2 Jika a 2 +b +c =1 Tripel (a, b, c) yang memenuhi adal ah (1, 0, 0) sebanyak 1 bilangan.

• Jika a 2 +b 2 +c 2 =2 Tripel (a, b, c) yang memenuhi adalah (1, 1, 0) besert a permut asinya kecuali unt uk a = 0 yang t erdiri

• Jika a 2 +b 2 +c 2 = 13

Tripel (a, b, c) yang memenuhi adalah (2, 3, 0) besert a permut asinya kecuali unt uk a = 0 yang t erdiri dari 4 bilangan, yait u 203, 230, 302, 320.

• Jika a 2 +b 2 +c 2 = 26

Tripel (a, b, c) yang memenuhi adalah (1, 5, 0) dan (1, 3, 4) besert a permut asinya kecuali unt uk a = 0 yang t ot alnya t erdiri dari 10 bilangan, yait u 105, 150, 501, 510, 134, 143, 314, 341, 413, 431.

Jadi, banyaknya bilangan = 1 + 2 + 4 + 10 = 17.