BAB 2 LANDASAN TEORI
2.1 Pemrograman Nonlinier
Pemrograman nonlinier merupakan pemrograman dengan fungsi tujuannya saja atau bersama dengan fungsi kendala berbentuk nonlinier yaitu pangkat dari
variabelnya lebih dari satu. Salah satu bentuk umun masalah pemrograman nonlinier
adalah untuk menentukan
n
x x
x x
,..., ,
2 1
=
sehingga mencapai tujuan untuk:
Maksimumkan Minimumkan :
x f
Dengan kendala :
≥ x
g
m
dan ≥
x Dengan
x f
dan x
g
m
merupakan fungsi yang diketahui dengan n variabel keputusan.
Terdapat banyak jenis masalah pemrograman nonlinier dalam berbagai bentuk. Hal ini tergantung pada karakteristik fungsi tujuan dan kendalanya. Pemrograman
nonlinier dapat mempunyai kendala ataupun tidak mempunyai kendala.
2.1.1 Pemrograman Nonlinier Tak Berkendala
Pemrograman nonlinier tak berkendala merupakan masalah optimasi yang tidak memiliki batasan-batasan, sehingga untuk
n
x x
x x
,..., ,
2 1
= mempunyai fungsi
tujuan adalah Maksimumkan Minimumkan
: x
f
Syarat perlu dan cukup agar suatu penyelesaian x = x merupakan
penyelesaian optimal saat fx merupakan fungsi yang dapat diturunkan adalah
Amalia : Peranan Persyaratan Karush-Kuhn-Tucker Dalam Menyelesaikan Pemrograman Kuadratis, 2010.
= ∂
∂
j
x f
Pada x = x , untuk
n j
,..., 2
, 1
=
Dimana x
f merupakan fungsi konkaf, kondisi ini juga mencukupi, sehingga
mencari solusi untuk x tereduksi menjadi penyelesaian dari sistem n persamaan
yang diperoleh dengan n turunan parsial sama dengan nol. Ketika variabel
j
x memiliki kendala nonnegativitas atau ≥
j
x , kondisi yang
diperlukan dan mungkin cukup akan berubah menjadi ⎩
⎨ ⎧
= ≤
∂ ∂
j
x f
pada pada
, ,
x x
x x
= =
jika jika
=
j j
x x
Untuk setiap . j
Setelah titik kritis yang memenuhi kondisi diketahui, masing-masing titik digolongkan sebagai maksimum atau minimum lokal jika fungsi tersebut bersifat
konveks ataupun konkaf disekitar titik tersebut. Maksimum dan minimum global akan ditemukan dengan membandingkan minimum lokal dan maksimum lokal dan
kemudian menguji nilai dari fungsi tersebut dengan sebagian variabel mendekati ∞ −
atau ∞
+ . Jika fungsi diketahui konveks maupun konkaf, maka titik kritisnya pastilah merupakan minimum global maupun mkasimum globalnya.
2.1.2 Pemrograman Nonlinier Berkendala
Pemrograman nonlinier berkendala merupakan masalah optimasi yang memiliki batasan-batasan, sehingga untuk
n
x x
x x
,..., ,
2 1
= , maka bentuk standard
untuk program-program tak linier yang mengandung hanya kendala-kendala kesamaan equality adalah
Maksimumkan Minimumkan :
x f
Dengan kendala :
1
= x
g …………
= x
g
m
Amalia : Peranan Persyaratan Karush-Kuhn-Tucker Dalam Menyelesaikan Pemrograman Kuadratis, 2010.
Disini n
m ≤ jumlah kendala lebih kecil daripada variabel , jika terjadi
bahwa m n, maka biasanya tidak dapat diselesaikan. Pada program minimasi dapat diubah ke dalam bentuk program maksimasi dengan mengalikan fungsi objektif -1.
Suatu metode yang dapat dipakai untuk menyelesaikan masalah optimasi ini adalah metode pengali Lagrange. Metode pengali Lagrange dipilih karena prinsip
kerjanya sederhana dan mudah dimengerti. Metode ini dimulai dengan pembentukan fungsi Lagrangian yang didefinisikan sebagai:
X g
X f
X L
m j
m j
∑
=
+ =
1
, λ
λ
Teorema: Syarat perlu bagi sebuah fungsi fX dengan kendala g
i
X=0, dengan m
j ,...,
2 ,
1 =
agar mempunyai minimum relatif pada titik X adalah derivasi parsial pertama dari
fungsi Lagrangenya yang didefinisikan sebagai
m n
x x
x L
L λ
λ λ
,..., ,
, ,...,
,
2 1
2 1
= terhadap setiap argumennya mempunyai nilai nol.
Teorema: Syarat harus bagi sebuah fungsi fX agar mempunyai minimum atau maximum
relatif pada titik X adalah jika fungsi kuadrat, Q, yang didefinisikan sebagai
j i
n i
n j
j i
x x
x x
L Q
∂ ∂
∂ ∂
∂ =
∑ ∑
= =
1 1
2
dievaluasi pada X = X harus definit positif atau negatif untuk setiap nilai dX yang memenuhi semua kendala.
Syarat perlu agar
j i
n i
n j
j i
x x
x x
L Q
∂ ∂
∂ ∂
∂ =
∑∑
= =
1 1
2
menjadi definit positif atau negatif untuk
setiap variasi nilai dX adalah setiap akar dari polinomial,
i
z , yang didapat dari determinan persamaan di bawah ini harus positif atau negatif.
Amalia : Peranan Persyaratan Karush-Kuhn-Tucker Dalam Menyelesaikan Pemrograman Kuadratis, 2010.
3 2
1 2
23 22
21 1
13 12
11 2
1 3
2 1
2 22
12 2
23 22
21 1
21 11
1 13
12 11
K K
M K
M M
M K
M M
M K
K K
K K
K M
K M
M M
K O
M M
K K
K K
mn m
m m
n n
m m
nn n
n n
n n
n n
g g
g g
g g
g g
g g
g g
gn g
g z
L L
L L
g g
g L
L z
L L
g g
g L
L L
z L
− −
−
Dengan
j i
ij
x x
X L
L ∂
∂ ∂
= λ
,
2
dan
j i
ij
x X
g g
∂ ∂
=
Pengali Lagrange mempunyai arti secara fisik yang menarik. Misalkan terdapat permasalahan optimasi dengan satu kendala sebagai berikut:
Maksimumkan Minimumkan :
x f
Dengan kendala :
b x
g =
Fungsi Lagrange-nya adalah X
g b
X f
X L
− +
= λ
λ ,
Syarat perlu untuk penyelesaian diatas adalah : =
∂ ∂
i
x L
untuk n
i ,...,
2 ,
1 =
dan =
∂ ∂
λ L
Persamaan diatas menghasilkan : =
∂ ∂
− ∂
∂
i i
x g
x f
λ untuk
n i
,..., 2
, 1
= =
− X g
b atau
g b
=
Amalia : Peranan Persyaratan Karush-Kuhn-Tucker Dalam Menyelesaikan Pemrograman Kuadratis, 2010.
Maka : =
∂ ∂
∂ −
∂ ∂
∂
i i
i i
x x
g x
x f
λ untuk
n i
,..., 2
, 1
=
atau
1 1
= ∂
∂ ∂
− ∂
∂ ∂
∑ ∑
− −
i n
i i
i n
i i
x x
g x
x f
λ
atau
i n
i i
i n
i i
x x
g x
x f
∂ ∂
∂ =
∂ ∂
∂
∑ ∑
− −
1 1
λ
atau 43
42 1
4 3
42 1
dg i
n i
i df
i n
i i
x x
g x
x f
∂ ∂
∂ =
∂ ∂
∂
∑ ∑
− −
1 1
λ
Menghasilkan hasil yang final yaitu : db
df λ
= atau
db df
λ =
Dari Persamaan ini dapat ditarik kesimpulan bahwa: pada penyelesaian optimum, perubahan fungsi tujuan f, berbanding lurus dengan perubahan kendala b
dengan faktor sebesar pengali Lagrange . Bentuk standard dari program-program tak linier yang mengandung hanya
kendala-kendala ketidaksamaan adalah : Maksimumkan Minimumkan
: x
f Dengan kendala
: ≤
x g
i
untuk n
i ,...,
2 ,
1 =
≥ x
Kunci dari penanganan permasalahan di atas adalah merubah kendala pertidaksamaan menjadi persamaan dengan menambah variabel slack. Masalah
pemrograman ini ditandai dengan adanya kendala-kendala yang sama sepenuhnya dengan pemrograman linier. Semua fungsi kendala
x g
i
adalah linier, tetapi fungsi tujuan
x f
berbentuk nonlinier. Masalah ini dipertimbangkan secara sederhana dengan hanya memiliki satu fungsi nonlinier yang diperhitungkan, bersama dengan
daerah layak dari pemrograman linier. Sejumlah algoritma khusus yang didasari atas perluasan metode simpleks telah dikembangkan untuk memperhitungkan fungsi tujuan
yang nonlinier.
Amalia : Peranan Persyaratan Karush-Kuhn-Tucker Dalam Menyelesaikan Pemrograman Kuadratis, 2010.
2.2 Permasalahan Pemrograman Kuadratis