Tabel 1.1 Uji Konveksitas untuk Fungsi Dua Variabel Kuantitas Konveks
Konveks Ketat
Konkaf Kankaf Ketat
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
−
2 2
2 1
2 1
2 2
2 2
1 2
2 1
2 1
2
, ,
, dx
dx x
x f
d dx
x x
f d
dx x
x f
d
2 1
2 1
2
, dx
x x
f d
2 2
2 1
2
, dx
x x
f d
≥ ≥
≥ ≥
≤ ≤
n
x x
x f
,..., ,
2 1
adalah konveks jika dan hanya jika matriks Hessian nya
n n
− ×
positif definite untuk semua nilai
n
x x
x ,...,
,
2 1
yang mungkin. Uji konveksitas selalu diperlukan sebagai sifat umum fungsi. Akan tetapi, beberapa fungsi
nonkonveks memenuhi syarat konveksitas pada interval tertentu dari variabel. Dengan demikian, penting untuk membicarakan fungsi yang menjadi konveks pada daerah
tertentu.
2.4 Matriks Hessian
Matrik Hessian adalah matrik yang setiap elemennya dibentuk dari turunan
parsial kedua dari suatu fungsi. Milsalkan fx fungsi dengan n variabel yang memiliki
turunan parsial kedua dan turunan-turunannya kontinu, Matriks Hessian dari fx ditulis H adalah
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎣ ⎡
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
2 2
2 2
1 2
2 2
2 2
2 1
2 2
1 2
2 1
2 2
1 2
n n
n n
n
x f
x x
f x
x f
x x
f x
f x
x f
x x
f x
x f
x f
H L
L O
L L
L L
Amalia : Peranan Persyaratan Karush-Kuhn-Tucker Dalam Menyelesaikan Pemrograman Kuadratis, 2010.
Matrik Hessian dapat digunakan untuk melakukan uji turuanan kedua fungsi lebih dari satu variabel, yaitu untuk mengidentifikasi optimum relatif dari nilai fungsi
tersebut. Penggolongan titik stasioner fungsi dua variabel dengan menggunakan Matriks Hessian misalkan fx= Fx
1
,......,x
n
adalah fungsi bernilai real dimana semua turunan parsialnya kontinu. Misalkan
x adalah titik stasioner dari F
dan kita definisikan H = H x dengan persamaan
x F
H
j i
y x
ij
= dimana
xt
H adalah Hessian dari F pada
x
Titik stasioner dapat digolongkan sebagai berikut : 1.
x adalah suatu minimum relatif dari F jika H x definite positif
2. x adalah suatu maksimum relatif dari F jika H
x definite negatif 3.
x adalah suatu titik pelana dari F jika H x indefinite
Teorema 2.2 :
Misalkan nilai eigen dari matriks H
nxn
adalah
1
,
2
,
3,
…,
n
yang didefinisikan oleh =
− H I
λ dengan I adalah matriks identitas ukuran nxn.
Maka : i H adalah definite negatif jika dan hanya jika nilai eigen dari matriks H yaitu
1
,
2
,
3,
…,
n
kesemuanya bertanda negatif. ii H adalah definite positif jika dan hanya jika nilai eigen dari matriks H yaitu
1
,
2
,
3,
…,
n
kesemuanya bertanda positif. iii H adalah Semi definite negatif jika dan hanya jika nilai eigen dari matriks H yaitu
i
≤ 0, i = 1, 2, 3, …, n iv H adalah Semi definite positif jika dan hanya jika nilai eigen dari matriks H yaitu
i
≥ 0, i = 1, 2, 3, …, n
Contoh :
6 4
2 ,
2 2
2 1
3 2
3 1
2 1
+ +
+ +
= x
x x
x x
x f
Titik-titik ekstrem harus memenuhi syarat:
Amalia : Peranan Persyaratan Karush-Kuhn-Tucker Dalam Menyelesaikan Pemrograman Kuadratis, 2010.
4 3
4 3
1 1
1 2
1 1
= +
= +
= ∂
∂ x
x x
x x
f
8 3
8 3
2 2
2 2
2 2
= +
= +
= ∂
∂ x
x x
x x
f Persamaan di atas dipenuhi oleh titik-titik
0, 0; 0, –83; –43, 0; dan –43, –83 Untuk mengetahui titik yang mana yang maximum dan yang mana yang minimum,
harus diselidiki matrik Hessiannya. Derivasi kedua dari f adalah: ,
4 6
1 2
1 2
+ =
∂ ∂
x x
f ,
8 6
2 2
2 2
+ =
∂ ∂
x x
f dan
2 1
2
= ∂
∂ x
x f
Jadi matrik Hessiannya menjadi ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎣
⎡ +
+ =
8 6
4 6
2 1
x x
H sehingga
[ ]
4 6
1 1
+ = x
H dan
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
+ +
= 8
6 4
6
2 1
2
x x
H Nilai matrik Hessian untuk masing-masing titik ekstrem disajikan di bawah ini.
2 1
, x x
Matriks H
1
H
2
H Sifat H
Sifat
2 1
, x x
2 1
, x x
f ,
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
8 4
4 +
32 +
Definite positif
Minimum 6 ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ − 3
8 ,
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
− 8 4
4 +
32 −
Tak tentu Titik belok
27 418
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛− 0,
3 4
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡−
8 4
4 −
32 −
Tak tentu Titik belok
27 194
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
− −
3 8
, 3
4 ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎣
⎡ −
− 8
4 4
− 32
+ Definite
negatif Maksimum
3 50
Gambar 1.2 Plot dari 6
4 2
,
2 2
2 1
3 2
3 1
2 1
+ +
+ +
= x
x x
x x
f
Amalia : Peranan Persyaratan Karush-Kuhn-Tucker Dalam Menyelesaikan Pemrograman Kuadratis, 2010.
2.5 Matriks Definite Positif
