Persyaratan Karush Khun Tucker

2.6 Persyaratan Karush Khun Tucker

Pada tahun 1951 Kuhn Tucker mengemukakan suatu teknik optimisasi yang dapat digunakan untuk pencarian titik optimum dari suatu fungsi yang berkendala. Metode Karush Kuhn Tucker ini dapat dipergunakan untuk mencari solusi yang optimum dari suatu fungsi tanpa memandang sifat dari fungsi tersebut apakah linier atau nonlinier. Jadi metode Kuhn Tucker ini bersifat teknik yang umum dalam pencarian titik optimum dari setiap fungsi. Metode Karush Kuhn Tucker dapat digunakan untuk memecahkan persoalan baik yang nonlinier maupun yang linier. Jika kita menghadapi masalah optimasi dalam bentuk : Maksimumkan minimumkan : X f Z = dengan t n x x x X } ,..., , { 2 1 = Dengan kendala : ≥ ≤ X g i dengan m , … 1,2,3, = i ≥ X n m ≤ jumlah kendala lebih kecil dari variabel Pertama tuliskan kembali persyaratan-persyaratan yang tak negative seperti ,..., , 2 1 ≤ − ≤ − ≤ − n x x x , sehingga himpunan kendalanya adalah n m + persyaratan ketidaksamaan yang masing-masing dengan tanda lebih kecil dari pada atau sama dengan. Kemudian tambahkan variabel-variabel kurang 2 2 2 2 2 1 ,..., , m n n n x x x + + + berturut- turut pada ruas kiri dari kendala-kendala tadi, yang dengan demikian merubah tiap- tiap ketidaksamaan menjadi suatu kesamaan. Variabel-variabel kendur slack variables yang ditambahkan disini berbentuk suku-suku kuadrat untuk menjamin bahwa mereka tak negatif. Kemudian bentuk fungsi Lagrange : [ ] [ ] 2 1 1 1 2 i n i n m m i m i i n i i x x x X g X f L + + + = = + + − − − − ≡ ∑ ∑ λ λ Untuk n m + λ λ λ ,..., , 2 1 adalah pengali-pengali Lagrange. Terakhir selesaikan sistem persamaan Amalia : Peranan Persyaratan Karush-Kuhn-Tucker Dalam Menyelesaikan Pemrograman Kuadratis, 2010. = ∂ ∂ i x L m n i + = 2 ,..., 2 , 1 = ∂ ∂ i L λ n m i + = ,..., 2 , 1 ≥ i λ n m i + = ,..., 2 , 1 Untuk fungsi konveks, syarat perlu dan cukup untuk mencapai titik minimum dapat dicari menggunakan syarat Karush Kuhn Tucker. Tetapi untuk fungsi nonkonvek, syarat Karush Kuhn Tucker merupakan syarat perlu saja, tetapi belum cukup untuk mencapai optimal. Jadi untuk masalah jenis konveks, syarat Karush Kuhn Tucker menjadi syarat perlu dan cukup untuk sebuah minimummaksimum global. Teorema 1 Frederick S. Hillier dan Gerald J. Lieberman, 1994 Misalkan fx,y merupakan fungsi 2 variabel. fx,y merupakan fungsi konveks jika dan hanya jika dipenuhi ketiga syarat berikut : i 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 , , . , ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = dx dx x x f d dx x x f d dx x x f d ii , 2 1 2 1 2 ≥ dx x x f d iii , 2 2 2 1 2 ≥ dx x x f d Teorema 2 Frederick S. Hillier dan Gerald J. Lieberman, 1994 Suatu fungsi 2 variabel fx,y merupakan fungsi konkaf jika tidak memenuhi paling tidak satu dari ketiga syarat pada teorema 1, atau dengan kata lain fx,y merupakan fungsi konveks. Teorema 3 Frederick S. Hillier dan Gerald J. Lieberman, 1994 Untuk permasalahan dengan asumsi fx konkaf dan g j x konveks, maka syarat perlu dan cukup keoptimalannya berdasarkan teorema berikut. Misalkan ,..., , , 2 1 x g x g x g x f m merupakan fungsi-fungsi yang dapat diturunkan maka Amalia : Peranan Persyaratan Karush-Kuhn-Tucker Dalam Menyelesaikan Pemrograman Kuadratis, 2010. ,..., , 2 1 n x x x x ′ ′ ′ = merupakan penyelesaian optimal untuk masalah program nonlinier apabila terdapat sejumlah i λ untuk m i ,..., 2 , 1 = sehingga semua syarat terpenuhi : i 1 = ∂ ∂ + ∂ ∂ ∑ = i j m j i i x g x f λ n i ,..., 2 , 1 = ii 0 = j j g λ m j ,..., 2 , 1 = iii ≤ j g m j ,..., 2 , 1 = iv ≥ j λ m j ,..., 2 , 1 = Syarat Karush Kuhn Tucker untuk program nonlinier berkendala : Teorema Diasumsikan ,..., , , 2 1 x g x g x g x f m merupkan fungsi yang dapat diturukan maka ,..., , 2 1 n x x x x ′ ′ ′ = menjadi solusi optimal untuk permasalahan pemrograman nonlinier hanya jika terdapat sejumlah m bilangan m μ μ μ ,..., , 2 1 sehingga semua syarat kondisi Karush Kuhn Tucker berikut ini terpenuhi : i 1 ≤ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∑ = j m i i j x g x f λ pada x x = untuk n j ,..., 2 , 1 = ii 1 = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∑ = j m i i j j x g x f x λ pada x x = untuk n j ,..., 2 , 1 = iii 0 ≤ − i i b x g untuk m j ,..., 2 , 1 = iv [ ] = − i i i b x g λ untuk m j ,..., 2 , 1 = v ≥ j x untuk m j ,..., 2 , 1 = vi 0 ≥ j λ untuk m j ,..., 2 , 1 = Dapat dilihat darik kondisi ii dan iv memerlukan hasil perkalian dua kuantitas sama dengn nol. Oleh karena itu, tiap kondisi ini menyatakan bahwa setidaknya salah satu dari kuantitas itu harus sama dengan nol. Akibatnya, kondisi iv dapat digabung dengan kondisi iii untuk menyatakan mereka dalam bentuk lain sebagai berikut.: = − i i b x g atau ≤ jika 0 = i μ untuk m i ,..., 2 , 1 = Amalia : Peranan Persyaratan Karush-Kuhn-Tucker Dalam Menyelesaikan Pemrograman Kuadratis, 2010. Demikian pula kondisi ii dapat digabung dengan kondisi i menjadi : 1 = ∂ ∂ − ∂ ∂ ∑ = j i m i i j x g x f λ atau 0 ≤ jika = j x untuk m j ,..., 2 , 1 = Ketika m=0 tidak ada kendala yang berbentuk fungsi, jumlahan berbilai 0 dan fungsi gabungan i,ii menjadi kondisi yang ada. Oleh karena itu, untuk m0, tiap suku dalam jumlahan mengubah kondisi untuk m=0 dengan memasukkan pengaruh dari kendala berbentuk fungsi yang bersangkutan. Dalam kondisi diatas, i μ setara dengan variabel dual dalam pemrogramana linier dan memiliki interpretasi ekonomi yang juga dapat diperbandingkan. Akan tetapi, i μ juga ada dalam penurunan matematika seperti dalam faktor pengali Lagrange. Pada kondisi iii dan v hanya melakukan penegasan kelayakan dari solusi. Kondisi yang lainnya menghilangkan sebagian besar solusi layak lainnya menjadi kandidat yang mungkin untuk menjadi solusi optimal. Corollary Diasumsikan bahwa x f merupakan fungsi konkaf dan ,..., , 2 1 x g x g x g m merupakan fungsi konveks misalakan saja masalah ini merupakan masalah pemrograman konveks, dengan semua fungsi ini memenuhi kondisi biasa. Lalu ,..., , 2 1 n x x x x = adalah solusi optimal jika dan hanya jika semua kondisi teorema terpenuhi.

2.7 Masalah Komplementaritas