2.5 Matriks Definite Positif
Bentuk kuadrat pada
n
x x
x ,...,
,
2 1
adalah ekspresi yang dapat kita tulis
sebagai
[ ]
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎣ ⎡
n n
x x
x A
x x
x M
2 1
2 1
. .
,..., ,
. Dengan A adalah matriks simetrik nxn . Jadi misalkan
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎣ ⎡
=
n
x x
x X
M
2 1
maka bentuk ini dapat ditulis sebagai AX
X
t
Definisi
Bentuk kuadrat AX
X
t
disebut definite positif jika AX
X
t
0 untuk semua x ≠ 0,
sedangkan matriks simetrik A kita sebut matriks definit positif jika AX
X
t
adalah bentuk kuadrat definit positif.
Contoh :
Dipunyai matriks simetrik berikut :
⎥ ⎥
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎢ ⎢
⎣ ⎡
− −
− −
= 2
1 1
2 1
1 2
a
Untuk mengkaji apakah matriks A bersifat definte positif, maka:
[ ]
3 2
1
x x
x AX
X
t
= ⎥
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎣
⎡ −
− −
− 2
1 1
2 1
1 2
⎥ ⎥
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎢ ⎢
⎣ ⎡
3 2
1
x x
x
=
[ ]
3 2
1
x x
x ⎥
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎣
⎡ +
− −
+ −
−
3 2
3 2
2 2
1
2 2
2 x
x x
x x
x x
x 2
x x
x x
2 x
x x
x 2
x
3 2
3 3
2 1
2 2
1 1
+ −
+ −
+ −
+ −
=
2 3
3 2
3 2
2 2
2 1
2 1
2 1
2 x
x x
x 2
x x
x x
2 x
x x
+ −
− +
− −
=
2 3
3 2
2 2
2 1
2 1
2 x
x 2
2 x
x 2
2 x
x x
+ −
+ −
=
Amalia : Peranan Persyaratan Karush-Kuhn-Tucker Dalam Menyelesaikan Pemrograman Kuadratis, 2010.
=
2 3
2 3
3 2
2 2
2 2
2 1
2 1
2 1
2 2
x x
x x
x x
x x
x x
+ +
− +
+ −
+
2 3
2 3
2 2
2 1
2 1
x x
x x
x x
+ −
+ −
+ =
Dari sini dapat disimpulkan bahwa matrik A bersifat definit positif karena memenuhi:
2 3
2 3
2 2
2 1
2 1
+ −
+ −
+ x
x x
x x
x kecuali jika
3 2
1
= =
= x
x x
Sebaliknya matrik A dan bentuk kuadrat AX
X
t
disebut :
1. Definite negatif jika AX
X
t
0 , untuk semua x ≠ 0 .
2. Semidefinite positif jika AX
X
t
≥ 0 , untuk semua x. 3. Semidefinite negatif jika
AX X
t
≤ 0 , untuk semua x. 4. Indefinite bila tidak termasuk golongan diatas.
Himpunan syarat perlu dan syarat cukup untuk bentuk-bentuk definit positif dan negatif. yaitu :
1. Syarat perlu dan syarat cukup untuk bentuk definite positif.
Suatu himpunan syarat perlu dan syarat cukup bentuk AX
X
t
sebagai definite positif adalah
11
h ,
22 21
12 11
h h
h h
,
33 32
31 23
22 21
13 12
11
h h
h h
h h
h h
h , . . . ,
A
Jika n minor dari A adalah positif, maka AX
X
t
adalah definite positif.
Dan AX
X
t
hanya definite positif, jika minor-minor ini positif. 2. Syarat perlu dan syarat cukup untuk bentuk definite negatif
Suatu himpunan syarat perlu dan syarat cukup bentuk AX
X
t
menjadi definite negatif atau setaranya untuk
X A
X
t
− sebagai definite positif adalah
11
h ,
22 21
12 11
h h
h h
,
33 32
31 23
22 21
13 12
11
h h
h h
h h
h h
h , . . . ,
1 −
A
n
Dimana
ij
a adalah elemen-elemen dari A bukan –A
Amalia : Peranan Persyaratan Karush-Kuhn-Tucker Dalam Menyelesaikan Pemrograman Kuadratis, 2010.
2.6 Persyaratan Karush Khun Tucker
Kategori